2022-2023学年黑龙江省哈尔滨德强高级中学高一上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨德强高级中学高一上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数不等式求得，再求得即可.

【详解】由题意，，又

故

故选：A

2．不等式的解为（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法，即可得答案.

【详解】原不等式整理可得，

所以，解得.

故选：D

3．已知，则有（    ）

A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4

【答案】C

【分析】利用均值不等式求解即可.

【详解】因为，

所以，，当且仅当，即时等号成立，

所以，，即有最大值，

故选：C

4．幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（　　）

A．偶函数，单调递增区间 B．偶函数，单调递减区间

C．偶函数，单调递增区间 D．奇函数，单调递增区间

【答案】C

【分析】根据题意求得幂函数解析式，再求定义域，奇偶性和单调区间即可.

【详解】设幂函数为，则，

解得，所以，定义域为，关于原点对称，

又，故为偶函数；显然其单调增区间为.

故选：C.

5．设函数的定义域为R，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．值域为

C．在上单调递减 D．函数为偶函数

【答案】C

【分析】由题中所给定义，写出分段函数解析式，根据解析式，画出图象，结合图象判断即可.

【详解】由，得，解得，

∴，

函数图象如图所示：

对于A，，故A错误；

对于B，由函数解析式，结合图象可知，当时，取最小值，当或时，取最大值，的值域为，故B错误；

对于C，当时，，结合图象性质可知，在上单调递减，故C正确；

对于D，的图象为的图象向右平移一个单位，结合的图象可知，函数关于直线对称，向右平移一个单位后，的图象关于直线对称，不是偶函数，故D错误.

故选：C.

6．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，求出后再求得的值，从而可得的值.

【详解】令，则，故，故.

故选：A.

【点睛】本题考查复合函数中外函数的函数值的计算，一般可令求出的值后可求的值，本题属于基础题.

7．已知函数若有3个零点，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将问题转化为与函数的图象有3个交点，作出函数的大致图象，观察得到结果.

【详解】令，解得，作出函数的大致图象如图所示：

若有3个零点，

则与函数的图象有3个交点，

观察可知，，解得，

故选:C.

8．设，且实数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由整理可得,同理,,再根据可得均为正数,进而利用作商法比较大小即可.

【详解】由,可得,则,即；

同理,,

因为,所以均为正数,则,同理可得,，

所以,

故选:B

【点睛】本题考查利用作商法比较大小,考查指数对数的转化,考查对数的运算性质.

二、多选题

9．如果a，b，c，，那么（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BD

【分析】根据举例说明即可判断选项A、C，根据不等式的基本性质即可判断选项B、D.

【详解】A：令，满足，但，故A错误；

B：因为，所以，故B正确；

C：令，，

满足，，但，故C错误；

D：因为，，由不等式的性质，得，故D正确.

故选：BD

10．以下运算错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据对数的运算法则来进行判断，根据可以判断ABC，通过可以判断D选项

【详解】根据对数的运算，从而判断A，C都错误，，从而判断B错误，，从而判断D正确.

故选：ABC

11．下列命题正确的是（    ）

A．与不是同一个函数

B．的值域为

C．函数的值域为

D．若函数的定义域为，则函数的定义域为

【答案】AD

【分析】根据函数的定义可判断A;结合二次函数知识求得的值域，判断B;求出函数的值域判断C;根据抽象函数的定义域求法求得的定义域，判断D.

【详解】对于A, ，的定义域为R，与对应法则不相同，

故与不是同一个函数，A正确

对于B, ，由，可得，

又，当时，取到最大值4，

故的值域为，故B错误；

对于C, 函数,定义域为,且单调递增，此时，

故函数的值域为，C错误；

对于D，函数的定义域为，即，则，

即函数的定义域为，D正确，

故选:

12．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】AB

【解析】首先求函数，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求的取值范围.

【详解】由题意得与在区间上同增或同减.

若同增，则在区间上恒成立，即所以.

若同减，则在区间上恒成立，即无解，

所以A，B选项符合题意.

故选：AB

【点睛】思路点睛：本题考查指数函数单调性的综合应用，本题的关键是读懂“稳定区间”的定义，同时讨论函数同为增函数或同为减函数，去绝对值后转化为恒成立问题.

三、填空题

13．已知，，且，则的最小值为________．

【答案】##

【分析】妙用“1”，展开使用基本不等式可得.

【详解】因为，

所以

当且仅当，即时，等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

14．若3a＋2b＝2，则______．

【答案】3

【分析】化简分式，并利用a与b的关系，即可求出结果.

【详解】解：由题意，

，

在3a＋2b＝2中， ，

∴

故答案为：3.

15．已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范围为_________．

【答案】

【解析】根据幂函数的定义，可求得a值，代入点坐标，可求得b值，根据的奇偶性和单调性，化简整理，即可得答案.

【详解】因为为幂函数，所以，解得a=2

所以，又在上，代入解得，

所以，为奇函数

因为，所以，

因为在R上为单调增函数，

所以，解得，

故答案为：

16．是定义在上函数，满足且时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据题意可得函数为偶函数，当，为增函数，将不等式化为，可得对任意的成立，接下来分类讨论，与三种情况，将不等式转化为恒成立的问题求解即可.

【详解】对于函数满足，所以可知该函数为偶函数，又知时，，所以，从而，所以不等式可化为，等价于对任意的成立，即，得.

①当时，成立，符合题意；

②当时，则不等式等价于对恒成立，即，得，舍；

③当时，则不等式等价于对恒成立，即，得.

综上所述，.

故答案为：.

【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则；对于恒成立问题，恒成立，即；恒成立，即.

四、解答题

17．已知集合A={x∈R|＜8}，B={y∈R|y=+5，x∈R}

(1)求A∪B

(2)集合C={x|1m≤x≤m1}，若集合C（A∪B），求实数m的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先求出集合A，B，再求两集合的并集，

（2）由C（A∪B），分和两种情况求解即可

【详解】（1）由，得，所以，

因为，所以，所以，

所以或

（2）当时，，得，此时C（A∪B），

当时，因为C（A∪B），或，

所以或，

得或，

综上，，即实数m的取值范围为

18．已知指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）

（1）求函数f（x）的解析式

（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．

【答案】(1) ;(2) （4，+∞）.

【详解】试题分析：（1）将定点带入解析式即可；（2）利用单调性，把抽象不等式转化为具体不等式，解之，得：m＞4.

试题解析：

（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）=ax得a﹣2=9，解得a=，

∴f（x）=          

（2）∵f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，

∴f（2m﹣1）＜f（m+3），    

∵f（x）=为减函数，     ∴2m﹣1＞m+3，      解得m＞4，

∴实数m的取值范围为（4，+∞）  

19．设．

(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)在（1）的条件下，求的最小值；

(3)解关于的不等式

【答案】(1)

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）分别在和的情况下，根据恒成立可构造不等式组求得结果；

（2）将所求式子化为，利用基本不等式可求得最小值；

（3）分别在、、、和的情况下，解不等式即可得到结果.

【详解】（1）由恒成立得：对一切实数恒成立；

当时，不等式为，不合题意；

当时，，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

（2），，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

（3）由得：；

①当时，，解得：，即不等式解集为；

②当时，令，解得：，；

（i）当，即时，不等式解集为；

（ii）当，即时，不等式解集为；

（iii）当，即时，不等式可化为，，

不等式解集为；

（iv）当，即时，不等式解集为；

综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.

20．已知函数.

(1)用定义法证明：函数为减函数；

(2)解关于x的不等式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据单调性的定义可证函数为减函数；

（2）根据函数的单调性和奇偶性可求不等式的解.

【详解】（1）证明：设，

则

因为，

所以，，，，

因此，即，

所以函数在区间上是减函数.

（2）解：由可得，

因为，定义域为关于原点对称，

且，因此是奇函数，

所以不等式可化为.

又函数在区间上是减函数，

所以解得.

所以原不等式的解集为.

21．已知函数，

（1）当时，求该函数的最值；

（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）最小值；最大值0；  （2）

【解析】（1）由题意可得，令，则函数化为，利用二次函数的性质得到函数的最值；

（2）恒成立，即恒成立，令，则恒成立，利用三个二次的关系，得到结果.

【详解】解（1）：

令，则函数化为

因此当时，取得最小值

当时，取得最大值0

即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0.

（2）恒成立，

即恒成立

令，则恒成立

令

则，即，

解得

∴实数的取值范围.

【点睛】本题考查对数型函数的性质，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，换元法，属于中档题.

22．已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．．

(1)求的值，并证明为奇函数．

(2)若，，且，证明为上的增函数，并解不等式．

【答案】(1)；证明见解析

(2)证明见解析；解集为

【分析】（1）赋值法令，可得；由给定性质，证明即可.

（2）证明的单调性，再由单调性解不等式.

【详解】（1）令，得，

又函数的值域为，∴．

∵，

∴，

∴，

∴为奇函数．

（2）任取，．

．

∵，∴．

∵当时，，∴，∴．

又函数的值域为，

∴，即，

∴为上的增函数．

由，即，化简得．

∵，

∴，∴．

又为上的增函数，∴，

故的解集为．

【点睛】方法点睛：抽象函数的性质研究：

 ①赋值法求特定元素的函数值；

 ②利用已知抽象函数的等式性质，证明函数的单调性；

 ③利用单调性解相关表达式.