2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．下列各式中关系符号运用正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知，分析四个个选项，利用元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系即可作出判断.

【详解】由已知，

选项A，1为元素，而为集合，应为，该选项错误；

选项B，为集合，而为集合，应为，该选项错误；

选项C，为集合，为集合，所以，该选项正确；

选项D，为集合，而为集合，应为，该选项错误；

故选：C.

2．设命题，则的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：B

3．的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得的范围，再由单调性求值域．

【详解】解：因为，所以，，即函数的定义域为，

又在时单调递增，

所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，

故选：D.

4．集合，，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．或

C． D．{或}

【答案】A

【分析】解分式不等式求出集合，依题意可得，分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】由等价于，解得或，

所以或，又，所以，

①当时，即无解，此时，满足题意.

②当时，即有解，

当时，可得，即，要使，则需要，

解得.

当时，可得，即，要使，则需要，

解得.

综上，实数的取值范围是.

故选：A

5．若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先利用解集的区间端点值，代入方程中，解出，再将其代入中，直接解一元二次方程即可.

【详解】由题意可知，和是关于的方程的解，将其代入方程得解得,

所以即，化简得，解得.

即不等式的解集是.

故选：C

6．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.

【详解】因为函数的定义域是，

所以，所以

所以函数的定义域为，

要使有意义，则需要，解得，

所以的定义域是.

故选：D.

7．，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小．

【详解】，，

是增函数，，

∴

故选：C．

8．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得a的范围.

【详解】依题意得，当时，恒成立，

又因为，当且仅当时取等号，

所以，的最大值为，所以，解得a的取值范围为.

故选：B.

二、多选题

9．已知函数用列表法表示如表，若，则可取（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】BCD

【分析】根据，结合列表中的数据求解判断.

【详解】当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则，

故选：BCD

10．下列说法正确的有（    ）

A．已知集合，，全集，若，则实数m的集合为

B．命题p：，成立的充要条件是

C．设a，，则“或”的充要条件是“”

D．已知，，，则的最小值为

【答案】CD

【分析】对于A，先化简集合A，再由题设得到，分类讨论与两种情况即可求得的集合为，故A错误；对于B，利用能成立问题可得，从而得到，反之亦成立，即命题的充要条件是，故B错误；对于C，由等价于可知，“或”的充要条件是“”，故C正确；对于D，利用基本不等式“1”的妙用可求得，故D正确.

【详解】对于A，由得，故或，故，

因为，所以，

因为，

所以当时，；

当时，或，则或；

故实数的集合为，故A错误；

对于B，（必要性）若，则，

因为，所以，

（充分性）若，则由可知，

故，即命题成立，

所以命题成立的充要条件是，故B错误；

对于C，因为等价于，等价于，等价于或，故“或”的充要条件是“”，故C正确；

对于D，因为，即

所以，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以，即的最小值为，故D正确.

故选：CD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．若存在，，当时，有，则在上单调递增

B．函数在定义域内单调递减

C．若函数的单调递减区间是，则

D．若在上单调递增，则

【答案】CD

【分析】根据函数单调性的定义可判断A；由反比例函数的单调性可判断B；由二次函数的单调性可求得的值，从而判断C；由单调性的性质可判断D．

【详解】解：，，当时，有，则在上单调递增，所以A错误；

函数在区间内单调递减，在上单调递减，但是在定义域上不具有单调性，所以B错误；

函数的对称轴为，开口向上，所以单调递减区间为，

又函数的单调递减区间是，所以，故，所以C正确；

若在上单调递增，所以，所以D正确．

故选：CD．

12．对，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（    ）

A．

B．

C．函数的值域为

D．若，使得同时成立，则正整数的最大值是5

【答案】BCD

【分析】由取整函数的定义判断，由定义得，利用不等式性质可得结论．

【详解】是整数， 若，是整数，∴，矛盾，∴A错误；

，，∴，∴，B正确；

由定义，∴，∴函数的值域是，C正确；

若，使得同时成立，则，，，，，，

因为，若，则不存在同时满足，．只有时，存在满足题意，

故选：BCD．

【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．

三、填空题

13．________．

【答案】

【分析】直接利用指数的运算法则求解即可．

【详解】因为

故答案为:．

14．函数的值域为___________.

【答案】

【分析】分类讨论，分别求、时的取值范围，再取两者的并集.

【详解】当时，则

当时，则

综上所述：，即的值域为

故答案为：.

15．函数的单调减区间为__________.

【答案】##

【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.

【详解】函数是由函数和组成的复合函数，

，解得或，

函数的定义域是或，

因为函数在单调递减，在单调递增，

而在上单调递增，

由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．

故答案为：.

16．关于函数的性质，有如下说法：

①若函数的定义域为，则一定是偶函数；

②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；

③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；

④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.

其中正确说法的序号有___________.

【答案】①③④

【分析】对于①，根据奇偶性的定义，可得答案；

对于②，根据单调性的定义，可得答案；

对于③，根据奇偶性的性质和图象变换，可得答案；

对于④，根据奇偶性的定义和单调性的性质，化简不等式，可得答案.

【详解】对于①，由题意，的定义域为，，所以为偶函数，故①正确；

对于②，由题意，，，则，

即，由于与零的大小无法确定，故错误；

对于③，由题意，函数的图象关于原点对称，而的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，由原点向右平移个单位得到，故正确；

对于④，为偶函数，，则，即，由在上单调递增，则，

，解得，故正确；

故答案为：①③④.

四、解答题

17．己知为R上的奇函数，当时，．

(1)求的值；

(2)求的解析式；

(3)作出的图象，并求当函数与函数图象恰有三个不同的交点时，实数m的取值范围．

【答案】(1)0；

(2)；

(3)图象见解析，.

【详解】（1）是R上的奇函数，

，

；

（2）当时，，

故当时，，

，

；

（3）作出函数的图象如图示：

在时，在时取得最小值1，

在时，在时取得最大值，

故当函数与函数图象恰有三个不同的交点时，

实数m的取值范围为.

18．设p：实数x满足，q：实数x满足.

(1)若，且p，q都为真命题，求x的取值范围；

(2)若q是p的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式求出p：，从而求出p，q都为真命题时x的取值范围；

（2）分类讨论解含有参数的一元二次不等式，再根据q是p的充分而不必要条件，得到两集合的包含关系，从而比较端点值，列出不等式组，求出实数a的取值范围.

【详解】（1）时，，解得：，所以p：，

因为p，q都为真命题，所以与求交集得：，

故x的取值范围是

（2）变形为，

当时，解集为，不满足

当时，，解集为，

当时，解集为，

令，

因为q是p的充分而不必要条件，故是的真子集，

显然不满足要求，故不合要求，

当时，要满足，解得：，与取交集得，

当时，要满足，解得：，与取交集得，

综上：实数a的取值范围是.

19．已知函数，且.

(1)求m；

(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

(3)求函数在上的值域.

【答案】(1)

(2)函数在上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据函数求值，建立方程，可得答案；

（2）根据单调性的定义，利用作差法，可得答案；

（3）由（2）的单调性，可得答案.

【详解】（1）∵，且，解得..

（2）函数在上单调递增，

证明：设，则，

∵，∴，，故，即，

所以函数在上单调递增.

（3）由（2）得函数在上单调递增，

故函数在上单调递增，又，

所以函数在上的值域为.

20．已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用赋值法即得；

（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.

【详解】（1）因为，

令，得，

即；

（2）由题意知，

，

∴由，可得，

又在R上单调递增，

∴，即，

∴的取值范围是．

21．已知函数

(1)当时，解不等式；

(2)若时，函数的最大值为2，求的值.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）解一元二次不等式求出解集；

（2）结合对称轴，分类讨论，根据函数单调性求出不同情况下的最大值，列出方程，求出的值.

【详解】（1）当时，即为，

解得：或，

故不等式解集为或，

（2）的对称轴为，

当即时，在上单调递减，

故，解得：，经检验满足要求；

当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

故，解得：或，均不合题意，舍去；

当，即时，在上单调递增，

故，解得：，满足要求，

综上：或.

22．已知，

(1)若对任意实数x，恒成立，求证：；

(2)若在上与x轴有两个不同的交点，求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）不等式整理得对任意实数x恒成立，即，得，结合均值不等式放缩即可证明；

（2）设的两个零点为s，，则，由，结合解析式及基本不等式即可求的范围

【详解】（1）∵对任意实数x恒成立，∴，

∴，当且仅当且，即时等号成立；

（2）设的两个零点为s，，∴，

，

又，

当且仅当，即时取等，∴等号不能成立，

∴的取值范围为．