2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义可求.

【详解】由，，所以．

故选：C.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】根据含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题“，”是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即，，

故选：A.

3．如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用不等式的基本性质逐一分析即可.

【详解】A.当时满足，但此时，故A选项错误；

B.当时满足，但此时，故B选项错误；

C.当时满足，但此时，故C选项错误；

D.由得：，即，故D选项正确.

故选：D.

4．已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.

【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，

该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．

故选：A

5．已知函数，若，实数（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】推导出，从而，进而，由此能求出实数的值．

【详解】解：函数，

，

，

，

解得实数．

故选：．

6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

7．若两个正实数x，y满足，则的最小值是（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【分析】“1”的活用，利用基本不等式即可求出最小值

【详解】由题意，

两个正实数x，y满，则，

当且仅，即，时，等号成立．

故选：C.

8．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断的大小，即可判断出答案.

【详解】依题意，，，，

即，所以函数在上单调递增．

又，，所以函数是R上的偶函数，

所以,则有，所以，

故选：B．

二、多选题

9．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（    ）

A．f(x)＝  B．f(x)＝－x3

C．f(x)＝x|x| D．f(x)＝－

【答案】BD

【解析】A项是奇函数，但是不符合减函数定义；B项符合；C项去绝对值求出分段函数，判断为增函数；D项结合定义判断正确

【详解】A．在定义域上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；

对于B，f(x)＝－x3在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意；

对于C，f(x)＝x|x|＝在定义域R上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；

对于D，f(x)＝－在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．

故选：BD．

10．下列说法正确的有（    ）

A．的最小值为2

B．任意的正数， 且，都有

C．若正数、满足，则的最小值为3

D．设、为实数，若，则的最大值为

【答案】BCD

【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算 ，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.

【详解】选项A： ，

当 时， ，当且仅当时有最小值.

故A不正确.

选项B：

对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，

当且仅当 时取得最大值.

所以 ，当且仅当时取得最大值.

故B正确.

选项C：对于正数， ,所以

所以

当且仅当 ，即时取得最小值.

故C正确.

选项D：因

所以 ，即

所以 ，当且仅当 时等号成立.

故D正确.

故选：BCD.

11．对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：，，则下列命题中的真命题是（    ）

A．，

B．，

C．函数的值域为［0，1）

D．方程有两个实数根

【答案】BCD

【分析】根据高斯函数的定义逐个分析判断即可

【详解】对于A，当时，，所以A错误，

对于B，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以B正确，

对于C，由选项B可知，所以，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以，所以函数的值域为［0，1），所以C正确，

对于D，由，得，令，则方程的解转化为两函数图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，由图象可知两函数图象只有两个交点，所以方程有两个实数根，所以D正确，

故选：BCD

12．已知，则（    ）

A．的最大值为

B．的最小值为4

C．的最小值为

D．的最小值为16

【答案】BCD

【分析】A选项，对不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最大值；B选项，将不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最小值；C选项，对不等式变形为，利用求解的最小值；D选项，不等式变形为，利用基本不等式求出和的最小值.

【详解】由得：，

因为，所以，所以，

由基本不等式可得：

当且仅当时，等号成立，此时，

解得：或，

因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；

由得：，

因为，所以，所以，

由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，

即，解得：或，

因为，所以舍去，

故的最小值为4，B正确；

由变形为，则，

由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，

此时，令，则由，

解得：或（舍去）

所以的最小值为，C正确；

由可得：，

从而

当且仅当时，即，等号成立，

故最小值为16.

故选：BCD，

三、填空题

13．计算______________．

【答案】

【分析】依据指数运算的运算律计算结果.

【详解】原式．

故答案为：.

14．不等式的解集是______________．

【答案】或

【分析】解一元二次不等式可得答案.

【详解】由，得，解集为或.

故答案为：或.

15．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是_______．

【答案】

【分析】根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．

【详解】若“x＜﹣1”是“x≤a” 必要不充分条件，

则（﹣∞，a]（﹣∞，﹣1），

则a<﹣1，

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1，

故答案为（﹣∞，﹣1

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键,是基础题.

16．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据分段函数的两段都单调递增，时最大值小于或等于时的下界列不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】当时，对称轴为，

因为函数在上是增函数，

则，解得，

故答案为：.

四、解答题

17．已知全集，集合，集合.

(1)当时，求与；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)

【分析】（1）先求解一元二次不等式得到集合，代入，得到集合，利用交集运算可得，利用补集运算得到，在利用并集运算可得；

（2）先求解集合时的解，再求解时，根据包含关系得到不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：集合，当时，

或，故，或.

（2）解：由题可知.或，若

①当时，即，符合题意.

②当时，即时

（ⅰ）不符合题意，舍去

（ⅱ）解得，

综上所述，.

18．已知定义在区间上的函数．

(1)求函数的零点；

(2)若方程有四个不等实根，且，证明．

【答案】(1)和；

(2)证明见解析.

【分析】（1）令，解方程即可；

（2）根据对勾函数图像结合韦达定理即可求解.

【详解】（1）令，解得，．

所以函数的零点是和.

（2）证明：

易知对勾函数的图像如下图所示：

则的图像如下：

如图，要使有四个根，则，

令，当，则，

由韦达定理知：；

当，则，

由韦达定理知：．

∴．

19．已知不等式的解集为

(1)求，的值；

(2)解不等式.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）依题意可得或是方程的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；

（2）由（1）可得原不等式可化为，再对参数分类讨论，即可得解；

【详解】（1）解：因为不等式的解集为或，

所以或是方程的根，

根据韦达定理，

解得，

（2）解：由（1）可知不等式化为，

即

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为

20．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明．

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

【分析】（1）根据奇函数求得，因为，可求得，即可得函数的解析式；

（2）根据函数的单调性的定义即可证明.

【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，

即，可得，则，

所以，，则，

因此．

（2）解：函数在上是增函数．

证明如下：

任取，且，

则，

因为，，

则，，

故，

即．

因此，函数在上是增函数．

21．已知函数，．

(1)当，且时，求函数的值域；

(2)若函数在的最小值为，求实数的值；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，结合二次函数的性质可求得最值，由此可得值域；

（2）令，可得，分别在、和的情况下，根据二次函数单调性确定最小值点，由最小值可构造方程求得结果.

【详解】（1）当时，；

令，则当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，，的值域为.

（2）令，则当时，，

，对称轴为；

当，即时，在上单调递增，，

解得：（舍）；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

，解得：（舍）或；

当，即时，在上单调递减，，

解得：（舍）；

综上所述：.

22．已知二次函数，当时，，当时，，且对任意，不等式恒成立.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，其中，求在时的最大值.

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)由已知可知-2，0是二次函数对应的二次方程的根，可设二次函数解析式为，再由不等式恒成立，可求得a的值;

(2)结合二次函数性质分类讨论，求得函数的最大值.

【详解】（1）由已知得，且和为方程的两根

∴可设

又由即恒成立  

则 ∴

∴

（2）

①当时，在时单调递减

∴

②当时，图像的对称轴方程为

∵   

∴只须比较与的大小

（Ⅰ）当即时，

∴

（Ⅱ）当即时，

∴

∴

【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数解析式的求解、二次函数最大值求解，其中重点考查了分类讨论的思想，综合型较强，属于高档题；解题中分类讨论应用了两次，意在考查对二次函数性质掌握的深度和熟练程度.