2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【分析】根据同一函数的定义，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；

对于B中，函数和的对应法则不同，所以不是同一函数；

对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；

对于D中，函数与的定义域都是，且对应法则相同，所以是同一函数.

故选：D.

2．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（    ）

A．或3 B．3 C． D．0

【答案】B

【分析】由题意可得，从而可求出实数的值

【详解】解：因为幂函数在上是减函数，

所以，

由，得或，

当时，，所以舍去，

当时，，

所以，

故选：B

3．已知，，若，则

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

【答案】A

【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.

【详解】由题意，可知，，且，

因为，则，即，

所以，

当且仅当时，等号成立，取得最小值，

故选A．

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．

【详解】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上为减函数，故A错误；

由反比例函数的性质可知，y=在区间(1，+∞)上为减函数，

由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；

由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增．

故选D．

【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．

5．函数的零点一定位于区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数在其定义域上连续，同时可判断f（2）＜0，f（3）＞0；从而可得解．

【详解】函数f（x）＝在其定义域上连续，

f（2）＝2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0，

f（3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；

故函数的零点在区间（2，3）上，

故选B．

【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题．

6．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】当时，直接分析即可；当时，根据一元二次不等式恒成立的思想进行分析.

【详解】当时，即，此时恒成立，满足条件；

当时，因为对任意实数都成立，

所以，解得，

综上可知，，

故选：D.

7．已知是上的减函数，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由为上的减函数，知递减，递减，

且，从而得，解出即可．

【详解】因为为上的减函数，

所以有，

解得：，

故选：A.

8．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数 m 的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等式的解法即得．

【详解】∵不等式有解，

∴，

∵，，且，

∴，

当且仅当，即，时取“＝”，

∴，

故，即，

解得或，

∴实数 m 的取值范围是．

故选：B．

二、多选题

9．下列说法不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质判断即可.

【详解】A选项：当时，，故A错；

B选项：当时，，故B正确；

C选项：当时，，故C错；

D选项：当时，，故D错.

故选：ACD.

10．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．命题“，”的否定是“，”

C．“”是“”的必要而不充分条件

D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件

【答案】BD

【解析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断.

【详解】解：A.命题“，”的否定是“，”，故错误；

B.命题“，”的否定是“，”，正确；

C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；

D.关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，

故选：BD.

【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题.

11．设，则“”成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．或

C．  D．

【答案】ACD

【解析】先求得不等式的解集，再结合选项，即可得到“”成立的一个充分不必要条件，得到答案.

【详解】由不等式，可化为，

解得或，

结合选项，可得“”成立的一个充分不必要条件是A、C、D.

故选：ACD

12．已知函数，若，不为零，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用定义可知是偶函数，根据解析式可知为上的增函数，根据偶函数和增函数可得，然后举特值可排除，利用平方差公式变形可知正确，利用对数的性质可知正确.

【详解】因为，

所以是偶函数.

当时，为增函数，

所以当时，为减函数.

故由可得，且不为零，可知.

当时，，由此排除AC选项.

因为，故B选项正确.

D选项，，故D选项正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，考查了对数的性质，属于基础题.

三、填空题

13．函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】求出使解析式有意义的自变量的范围即可．

【详解】由题意，解得或．

故答案为：

【点睛】本题考查求函数的定义域，求出使函数式有意义的自变量的取值范围即得，掌握对数函数性质是解题关键．

14．已知是上的奇函数，当时，，则_______.

【答案】

【分析】由函数奇偶性，结合时函数解析式，即可求解.

【详解】由是上的奇函数，当时，，

则，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求值问题，其中熟记函数奇偶性的转化作用是解答的关键，属于基础题.

15．若不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】分三种情况讨论：（1）当等于0时，原不等式变为，显然成立；

（2）当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；

（3）当时，二次函数开口向下，需时，由此可得结论．

【详解】解：（1）当时，得到，所以不等式的解集为；

（2）当时，二次函数开口向上，函数值不是恒小于等于0，所以解集为不可能．

（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，

得，即，解得，所以；

综上，的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】易错点点睛：对于一元二次不等式型的不等式恒成立问题，注意需讨论二次项系数为零的情况，当系数不为零时，再从根的判别式的符号上考虑．

16．函数在上的值域是_____.

【答案】

【分析】先化简函数的解析式，再利用函数的单调性求函数的值域．

【详解】解：当时，函数 在上是增函数，

故当时，函数取得最小值为1，

又，故函数的值域为，

故答案为：．

四、解答题

17．计算:

（1）

（2）

【答案】（1）6   （2）  0

【分析】指数式运算将各项转化为分数指数幂后计算；同底数对数相加，底数不变真数相乘，同底数对数相减，底数不变真数相除.

【详解】（1）；

（2）.

18．设集合，集合．

（1）若，求；

（2）设命题，命题，若p是q成立的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意得，，进而得 ；

（2）根据题意得，再根据集合关系即可得实数的取值范围是

【详解】解：（1）由，解得，可得： ．

当时，可得：，可化为： ，解得，∴．

∴．

（2）由，解得．

∴．

∵是成立的必要条件，∴，

由于，所以有：，解得： ．

∴实数的取值范围是．

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

19．已知，且函数满足．

（1）求实数的值；

（2）判断函数的单调性，并加以证明．

【答案】（1）；（2）函数在上为增函数，证明见解析．

【分析】（1） 即为奇函数，由求解，再验证即可 ；

（2）由单调性的定义证明即可．

【详解】（1）函数的定义域为R，又满足，

∴，即．∴，解得．经检验满足；

（2）在R上为增函数，证明如下：

设，得，

则，

∴，即，

∴在定义域上为增函数.

20．已知不等式．

（1）当时，解这个不等式；

（2）若对恒成立，求实数的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据分式不等式的求解方法可直接求得结果；

（2）将恒成立不等式化为，则，利用基本不等式可求得，由此可确定给结果.

【详解】（1）当时，原不等式可化为，解得：，

不等式的解集为；

（2）当时，，，

即；

（当且仅当，即时取等号），

，，则实数的最大值为.

21．已知函数．

(1)当时，求函数在的值域；

(2)当时，记在区间得最小值为．

①求的表达式；

②在给出的坐标系中作出的图象，并求满足的实数a的值．

【答案】(1)；

(2)①，②图象见解析，或.

【分析】（1）利用二次函数的图象分析得解；

（2）①对分三种情况讨论，结合二次函数的图象和性质得解；②画出分段函数的图象，再分类讨论解方程得解.

【详解】（1）当a＝1时，＝x2﹣2x+3，其图象是开口向上，对称轴为x＝1的抛物线，

当时，函数在上递减，在上递增，

所以＝＝2，＝＝6，

所以函数在的值域为．

（2）①＝x2﹣2ax+3，其图象是开口向上，对称轴为x＝a（a∈R）的抛物线，

当时，函数在上递增，；

当时，函数在上递减，在上递增，；

当时，函数在上递减，；

综上可得.

②图象如图所示，

当时，；

当时，或（舍去），所以；

当时，（舍去）.

综上所述，或.

22．习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．

(1)当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

【答案】(1)不会，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损

(2)400吨

【分析】（1）当时，由项目获利为求解；

（2）由生活垃圾每吨的平均处理成本求解.

【详解】（1）解：当时，该项目获利为S，

则，

∴当时，，

因此，该项目不会获利，当时，S取得最大值，

所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；

（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：

，

当时，，

所以当时，取得最小值240；

当时，

，

当且仅当，即时，取得最小值200，

因为，

所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．