2022-2023学年湖北省武汉市江汉区高一上学期期中模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉市江汉区高一上学期期中模拟数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解绝对值不等式求得集合，解分式不等式求得集合，求得集合的补集，然后求此补集和集合的并集，由此得出正确选项.

【详解】由得或，解得或，故.由得，解得，所以.

故选D.

【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合补集、并集的计算，属于基础题.

2．下列函数，表示的是相同函数的是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据相同函数的概念，逐项判断，即可得出结果.

【详解】若函数相同，则定义域相同，对应关系一致；

A选项，函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是相同函数，故A错；

B选项，函数与的定义域为，且，对应关系也相同，故B正确；

C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是相同函数，故C错；

D选项，函数和的定义域均为，但对应关系不一致，故D错；

故选B

【点睛】本题主要考查相同函数的判定，熟记概念即可，属于基础题型.

3．已知，幂函数在上单调递减，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】等价于 ，

∵幂函数在上单调递减， 且 ，

解得 ，

∴是的的必要不充分条件，

故选B

4．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据根号下大于等于0，分母不为0以及对数的真数大于0，列出不等式组，解出即可.

【详解】由题意可得，，

解可得，，

即函数的定义域为．

故选：B．

5．若不等式的解集是，则不等式的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的解集求出、和的关系，再化简不等式，从而求出所求不等式的解集．

【详解】根据题意，若不等式的解集是，

则与1是方程的根，且，

则有，

解得﹐﹐且；

不等式化为：

，

整理得﹐

即﹐

解可得，

即不等式的解为；

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题．

6．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】选确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后再利用特殊的函数值的正负排除一个选项，得正确结论．

【详解】，

则为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，

当时，，

当时，，故排除A，

故选：C．

7．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理，验证函数在区间端点处的函数值符号即可.

【详解】因为在上单调递增，，，所以函数的零点所在的区间为.

【点睛】函数零点个数的3种判断方法

(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

8．已知函数是上的奇函数，且在单调递减，则三个数：，，之间的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，得函数在上单调递减，又，，然后结合单调性判断．

【详解】因为函数是上的奇函数，且在单调递减，

所以函数在上单调递减，

∵，，

∴，

即．

故选：D．

9．若在上单调递减，则的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令f（x）＝，由题意得f（x）在上单调递增，且f（﹣1），由此能求出a的取值范围．

【详解】∵函数在上单调递减，令f（x）＝，

∴f（x）＝在上单调递增，且f（﹣1）

∴，解得a≤8．

故选B．

【点睛】本题考查实数值的求法，注意函数的单调性的合理运用，属于基础题．

10．设，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先把代数式整理成，然后利用基本不等式可求出原式的最小值.

【详解】，当且仅当时，即当，，时，等号成立，

因此，的最小值是.

故选B.

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.

11．已知定义域为的奇函数满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】是周期为4的函数，且是奇函数，0在函数定义域内，故，得，先得到一个周期内的解析式，求出该周期内使成立的的范围，从而推出的范围，再分的范围讨论即可.

【详解】解：由题意，为周期为4的函数，且是奇函数0在函数定义域内，故，得，

所以当时，，

当时，，此时，

又知道，所以以为对称轴，

且当时单调递增，当时单调递减.

当时，令，得，或，

所以在内当时，

设，

若对于都有，

所以

因为，所以

①当时，在上单调递减，故

得，无解.

②时，，此时最大，最小，即

得.

③当时，即，此时最小，最大，即

得，

④当时，在上单调递增，故

解得，，

综上.

故选：B.

【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识属于难题.

12．已知函数满足：①对任意，都有；②函数的图象关于点对称.若实数a，b满足，则当时，的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据函数满足的①②条件得函数在上单调递减，再根据单调性得，解不等式得，再结合线性规划的知识解决即可.

【详解】由对任意，都有，可得，在上单调递减；由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；故在上单调递减.

于是得，∴，∴，∴.则当时，令，，则问题等价于点满足区域，如图阴影部分，由线性规划知识可知为与连线的斜率，由图可得，∴.故选B.

【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性，线性规划等，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.

二、填空题

13．已知或，（为实数）.若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【分析】求出和中实数的取值集合，然后根据题中条件得出两集合的包含关系，由此可得出实数的取值范围.

【详解】由题意可得，，，

由于的一个充分不必要条件是，则，所以，.

因此，实数的取值范围是.

故答案为.

【点睛】本题考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两集合的包含关系，考查化归与转化思想，属于中等题.

14．已知实数满足，则______.

【答案】

【详解】分析：先构造函数，根据函数单调性得，结合条件得，解得x,y，即得结果.

详解：令，因为，所以当时当时因此，即，

所以

因此

因为，

所以.

点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

15．设函数和函数，若对任意，都有使得，则实数的取值范围为__．

【答案】

【分析】求出函数的值域，设的值域为，题意等价于，然后分类讨论确定的值域，再根据集合的包含关系得结论．

【详解】是，上的递减函数，的值域为，，

令，，令的值域为，

因为对任意，都有，使得，则有，

因为，

当时，，不满足，

当时，在，上单调递增，，，故，，

当时，在，上单调递减，，，不满足，

综上所述，

故答案为：

16．函数在定义域内存在区间，，满足在，上的值域为，，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】利用对数函数的一般性质对进行化简，然后根据给定区间的增减性及正负性先确定，的取值范围，再利用恒成立问题进行求解.

【详解】，

由题意可知：，

则在区间，上是递减的，

所以在区间，上的值域为(b)，(a)，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，

因为，，

所以，

因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了对数相关性质，不等式的相关内容，综合性较强，属于中档题.

三、解答题

17．按要求完成下列各题

（1）求值  

（2）已知，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用对数的运算律、指数的运算律、对数的恒等式以及根式的运算性质可得出结果；

（2）在等式两边平方，可求出的值，由此可计算出，从而得出的值.

【详解】（1）原式；

（2），，则.

，因此，.

【点睛】本题考查指数幂的化简与计算、对数的运算性质，熟悉指数与对数的运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

18．已知全集为R，设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．

（1）求和；

（2）若集合，，求实数p的取值范围.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）求出后可求和；

（2）根据可得满足的不等式，其解即为实数p的取值范围.

【详解】（1），

.

故，.

（2）因为，故即.

故实数p的取值范围为.

【点睛】本题考查函数的定义域、集合的运算（交和补）、一元二次不等式的解、绝对值不等式的解以及集合的包含关系，依据集合的包含关系求参数的取值范围时，注意两个集合中的范围的端点是否可以重合，本题属于中档题.

19．已知一元二次方程．

(1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件；

(2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．

【答案】(1)

(2)方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是，证明见解析

【分析】（1）利用判别式及韦达定理即可得到不等式组，解出即可；

（2）首先由（1）知其充要条件为，故可以选取作为其必要不充分条件，再证明即可.

【详解】（1）若方程有一个正根和一个负根，

则，即，．

方程有一个正根和一个负根的充要条件是．

（2）方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是，

证明：若方程有一个正根和一个负根，

则由（1）知其充要条件为，

从而，故必要性成立．

若，则方程中，，，

方程有两个同号根，充分性不成立，

故是方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件．

20．设定义在上的函数对于任意实数，都有成立，且，当时，．

（1）判断的单调性，并加以证明；

（2）试问：当时，是否有最值?如果有，求出最值；如果没有，说明理由；

（3）解关于的不等式，其中．

【答案】（1）在上是减函数，证明见解析；（2）的最大值是，最小值是；（3）当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为．

【详解】（1）任意实数，且，不妨设，利用差比较法，计算，所以函数为减函数；（2）在上单调递减，所以有最大值，有最小值．利用赋值法求出；（3）化简不等式得，由于为减函数，所以，．由于，或，所以当时，，不等式的解集为或；当时，，不等式的解集为．

试题解析：

（1）在上是减函数，证明如下：对任意实数，且，不妨设，其中，则，

∴．故在上单调递减．

（2）∵在上单调递减，∴时，有最大值，时，有最小值．在中，令，得，

故，，所以．

故当时，的最大值是3，最小值是0．

（3）由原不等式，得，

由已知有，即．

∵在上单调递减，∴，∴．

∵，∴或．

当时，，不等式的解集为或；

当时，，不等式的解集为．

【方法点晴】本题主要考查抽象函数单调性的证明．证明出单调性后利用单调性求解最值和不等式．对于函数单调区间的求解，一般要根据函数的表达形式来选择合适的方法，对于基本初等函数单调区间的求解，可以在熟记基本初等函数的单调性的基础上进行求解；对于在基本初等函数的基础上进行变化的函数，则可以采用利用函数图象求出相应的单调区间来求得；复合函数的单调区间的求得宜采用复合函数法（同增异减）的方法来求得．抽象函数单调性利用定义法来求解．

21．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：（＞0）．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

【答案】（1）当v＝40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）25＜v＜64．

【分析】（1）根据基本不等式性质可知，进而求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．

（2）解不等式，即可求出v的范围．

【详解】（1）依题意知，，当且仅当v，即v＝40时，上式等号成立，∴ymax（千辆/时）．

∴当v＝40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时．

（2）由条件得，整理得v2﹣89v+1600＜0，

即．解得25＜v＜64．

22．已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

【答案】（1）．（2）．（3）．

【详解】试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.

试题解析：（1）由，得，解得．

（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．

即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，

即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①

则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，

即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，

当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立

当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立

当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，

若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，

若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，

则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．

综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，

则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．

（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，

由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，

即log2（a）﹣log2（a）≤1，

即a≤2（a），即a

设1﹣t＝r，则0≤r，

，

当r＝0时，0，

当0＜r时，，

∵y＝r在（0，）上递减，

∴r，

∴，

∴实数a的取值范围是a．

【一题多解】（3）还可采用：当时，，，

所以在上单调递减．

则函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

即，对任意成立．

因为，所以函数在区间上单调递增，

时，有最小值，由，得．

故的取值范围为．