2022-2023学年吉林省实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年吉林省实验中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合中的元素个数是（    ）

A．0 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】解出集合,数出集合中的元素即可.

【详解】解:由题知,

所以,

所以集合A中元素有5个.

故选:C

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由特称命题的否定是全称命题即可.

【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“，”的否定为，，

故选：C.

3．化简：（    ）

A．0 B． C．或0 D．

【答案】A

【分析】根据根式的性质即可求解.

【详解】因为 所以，

故，

故选：A

4．下列函数中为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义或反例可得正确的选项.

【详解】对于A，设，因为，

故，故不是偶函数；

对于B，设，因为，

故，故不是偶函数；

对于C，设，因为，

故，故不是偶函数；

对于D，设，因为，结合其定义域为，

可得是偶函数.

故选：D.

5．若，则的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数的性质比较大小即可

【详解】因为在上为减函数，且，

所以，即，

因为在上为增函数，且，

所以，即，

所以，

故选：C

6．已知幂函数的图象过点，则等于（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】A

【分析】根据题意，由幂函数的定义可得，将点的坐标代入解析式，计算可得的值，相加即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数为幂函数，则，

若其图象过点，则有，解可得，

则；

故选：．

【点睛】本题考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题．

7．若，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用换元法，令，则 ，，可求出的解析式，从而得出的解析式.

【详解】解：已知，

令，则 ，，

，

.

故选：B.

8．已知函数满足对任意，都有 成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得函数在上单调递增，则可根据单调性列不等式，即可得实数a的取值范围.

【详解】解：函数满足对任意，都有 成立，

则函数在上单调递增，所以，解得.

故选：B.

二、多选题

9．下列指数式与对数式互化正确的是（    ）

A． 与  B．与

C．与 D．与

【答案】BD

【分析】按照指数对数互化公式计算即可.

【详解】指数对数互化公式是如果 ，则有 ，

对于A， ，化成对数是 ，错误；

对于B，正确；

对于C， ，化成对数是 ，错误；

对于D，正确；

故选：BD.

10．下列四组函数中为同一函数的组是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】AC

【分析】依次判断函数的定义域与对应关系是否相同，即可得解.

【详解】对于A，函数定义域为R，函数定义域为R，定义域与对应关系相同，所以为同一函数，故A正确；

对于B，函数定义域为R，函数定义域为，定义域不同，所以不为同一函数，故B错误；

对于C，函数定义域为R，函数定义域为R，定义域与对应关系相同，所以为同一函数，故C正确；

对于D，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，所以不为同一函数，故D错误；

故选：AC

11．，关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】先求出，关于x的不等式恒成立的充要条件，再根据必要不充分条件的定义可求出答案.

【详解】当对于，关于x的不等式恒成立，

则，得，

对于A，是充要条件，所以A错误，

对于B，因为当时，一定成立，所以是关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件，所以B正确，

对于C，因为当时，成立，所以是关于x的不等式恒成立的一个充分不必要条件，所以C错误，

对于D，因为当时，一定成立，所以是关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件，所以D正确，

故选：BD.

12．设函数其中表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（    ）

A．函数为偶函数 B．当时，有

C．方程有6个实数解 D．当时，

【答案】ABC

【分析】在同一直角坐标系中画出，，，进而得的解析，结合图象可得奇偶性，由图象平移、两图象的关系以及特殊值，即可得到所求结论．

【详解】在同一直角坐标系中画出函数，，的图象如图（1）所示，

由图象可知：，

进而可得的图象，如图（2）

显然有，可得为偶函数；故A正确；

又当时，，的图象可看作的图象右移2个单位得到，显然时，的图象在图象之上，故当，时，有，故B正确；

由的图象可知直线与的图象有6个交点，故有6个实数根，故C正确；

若，，，显然，故D不正确，

故选：ABC．

三、填空题

13．函数的定义域是_________．

【答案】

【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．

【详解】解：由题意得，解得，

∴函数的定义域为，

故答案为：．

14．已知x＞2，则y＝的最小值是_____________．

【答案】4

【详解】试题分析：因为，x＞2，所以x－2＞0，

y＝，即y＝的最小值是4.

【解析】均值定理的应用

点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可．

15．函数的单调递增区间是______．

【答案】和

【分析】先求函数的定义域及函数的奇偶性，再求出时的解析式，借助对勾函数的单调性求出单调区间，最后利用偶函数的性质分析函数的单调性.

【详解】函数的定义域为，且为偶函数.

当时，函数变为，为“对勾函数”的右支，则函数在上单调递减，在上单调递增.

由偶函数的定义知，函数在上单调递减，在上单调递增.

故答案为：和.

四、双空题

16．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则______；不等式的解集为______．

【答案】     0    

【分析】（1）由函数图像过原点，可得；

（2）根据函数图像的渐近线求得b，进而求得a，及的解析式，代入原不等式，将换元求解关于的不等式，再解出x即可.

【详解】（1）因为函数的图象过原点，

所以.

故答案为：0.

（2）因为函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，

所以，

又，

所以，

所以，

故原不等式可化为.

令，则

原不等式等价于，解得

即，

所以.

故答案为：.

五、解答题

17．已知，．

(1)当时，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据并集的运算定义即可求解；(2)根据包含关系即可求参数的取值范围.

【详解】（1）当时, ,则.

（2）∵，∴.

18．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)6

(2)5

【分析】（1）根据幂的运算可得答案；

（2）根据对数的运算可得答案.

【详解】（1）原式；

（2）原式.

19．已知是定义域为R的_____，当时，．

条件1：奇函数；    条件2：偶函数．

在上述2个条件中任意选择一个，补充到上面的横线处，并解答以下两个问题．

(1)求的值；

(2)求在R上的解析式.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据奇函数、偶函数的性质可求的值.

（2）设，则，根据或可求在R上的解析式.

【详解】（1）选条件1：

由题得，所以．

选条件2：

由题得，所以．

（2）选条件1：

设，则，所以，

因为函数是R上的奇函数，∴，∴，

综上所述，．

选择条件2：

设，则，所以，

因为函数是R上的偶函数，∴，

综上所述，

20．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：

(1)设每户每月用水量为时，应交纳水费y元，写出y关于x的函数关系式；

(2)甲同学家本月用水，则应交纳水费多少元？

(3)若乙同学家本月交纳的水费为54元，则其本月用水量是多少？

【答案】(1)

(2)90

(3)此户居民本月用水量为

【分析】（1）根据水价的计费方式即可分段求解，

（2）根据自变量的范围即可代入第一问的函数关系中求解，

（3）分类讨论即可求解.

【详解】（1）当时，；

当时，；

当时，，

∴

（2）∵，∴元

（3）设此户居民本月用水量为x，

当时，，解得，不满足题意；

当时，，解得，满足题意；

当时，，解得，不满足题意，

综上所述，此户居民本月用水量为．

21．设函数

(1)当时，求的解集；

(2)函数在区间[1，3]有单调性，求实数a的取值范围；．

(3)求函数在区间[1，3]上的最小值h（a）．

【答案】(1)（1，3）

(2)或

(3)

【分析】（1）解一元二次不等式即可；

（2）根据其在特定区间内有单调性讨论实数a的取值范围即可；

（3）分类讨论参数a，然后分析单调性求出最值.

【详解】（1）当时，，∴，则解集为（1，3）．

（2），在区间[1，3]上单调

则或

所以或

（3）当时，，在[1，3]上是增函数，；

当时， ；

当时，在区间[1，3]上是减函数，；

综上，．

22．设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．

(1)求k和a的值；

(2)判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；

(3)函数，，求的值域．

【答案】(1)，

(2)增函数，或

(3)

【分析】（1）为上的奇函数，利用和，列方程即可求出与；

（2）判断为增函数，利用的单调性解不等式；

（3）化简，利用，

可得，根据，判断出的范围，进而得到的值域.

【详解】（1）∵是定义域为上的奇函数，

∴，得．此时，，，即是R上的奇函数．

∵，∴，即，∴或（舍去）

故，

（2）明显地，为增函数，则只需，，

∴或．

（3）∴，

令，由（2），易知在上为增函数，

∴，∴

当时，有最大值；

当时，有最小值，∴的值域是．

23．若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“疏远”的．

(1)已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；

(2)若函数和在上是“疏远”的，求实数a的取值范围；

(3)已知常数，若函数与在上是“疏远”的，求实数c的取值范围．

【答案】(1)为假命题，反例为当时，

(2)或

(3)

【分析】（1）由命题“函数和在上是疏远的”，则在上恒成立，令，判断是否符合题意即可得出结论；

（2）由（1）知，在上恒成立，即在上恒成立，根据一元二次不等式恒成立即可得解；

（3）根据题意在上恒成立，即，即，

令，判断函数在上的单调性，求得最小值，解不等式即可得解.

【详解】（1）由题意可知，命题“函数和在[0，1]上是疏远的”，则在[0，1]上恒成立，即证在[0，1]上恒成立，

令，故，

又函数的对称轴为，故函数在[0，1]上递增，

所以，即，并不恒大于2 ，

故为假命题，反例为当时，；

（2）由（1）知，在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则或，

所以或，

解得或；

（3）根据题意在[1，2]上恒成立，

即，

又，，所以，故，

令，取，

则，

因为，，则，，则，

所以，所以函数在[1，2]上递增，

故，解得或，

所以．