2022-2023学年江苏省洪泽中学等六校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022—2023学年第一学期高一年级期中考试

数学试卷

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集的含义即可得到答案.

【详解】根据交集的含义可得.

故选：C.

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.

【详解】因为，

所以，解得，故，

所以的定义域为.

故选：D.

3. 设a，b∈R，则“”是“且”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的概念，不等式的性质即可得解.

【详解】当“且”成立时，“”一定会成立，

当“”成立时，但“且”不成立，例如时，

所以“”是“且”的必要而不充分条件.

故选：B.

4. 为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择.现已知甲､乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（    ）

A. 6 B. 8 C. 9 D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】利用列举法即可得解.

【详解】不妨记“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”分别为，

则这两位同学的报名方案有，共9种.

故选：C.

5. 已知函数，，以下说法中错误的是（    ）

A. 的值域为 B. 在上单调递增

C. 的对称轴为 D. 方程有且只有1个根

【答案】A

【解析】

【分析】对分段函数进行分类讨论得，作出图像，一一代入选项进行判断即可.

【详解】当时，，

当时，，

当时，，

故，作出图像如图所示：

由图得显然其值域为，故A错误，

当时，，其单调递增，故B正确，

由图得其对称轴为，故C正确，

当时，，解得，不合题意，舍去，

当时，，解得，符合题意，

当时，，无解，舍去，故D正确，

故选：A.

6. 已知，，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用基本不等式即可得解.

【详解】因为，，

所以，即，则，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：A.

7. 已知，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论、与三种情况，由题设不等式与分段函数得到关于的不等式，解之即可得到所求.

【详解】因为，

当时，，

故由得，解得，故；

当时，，

故由得，

整理得，解得，故；

当时，，

故由得，解得，故；

综上：，即的解集为.

故选：B.

8. 我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（    ）

A.  B.  C. 7 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得，则得到，解出即可.

【详解】由题意,令,则,

整理得，解得，，，

故选：B.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.）

9. 若，则下列说法中正确的是（    ）

A. 当n为奇数时，b的n次方根为a B. 当n为奇数时，

C. 当n为偶数时，b的n次方根为a D. 当n为偶数时，

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据数的次方根的相关定义与运算一一进行判断即可.

【详解】当为奇数时，的次方根只有1个，为，即，故AB正确，

当为偶数时，由于，所以的次方根有2个，为.所以C错误，

即，故D正确.

故选：ABD.

10. 给出以下四个命题，其中为真命题的是（    ）

A. 函数y=与函数y=·表示同一个函数

B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

C. 若函数是奇函数，则函数也是奇函数

D. 函数在上是单调增函数

【答案】BC

【解析】

【分析】通过具体函数求解定义域即可判断A，抽象函数求定义域即可判断B，利用函数奇偶性的判定方法即可判断C，利用反比例函数单调性即可判断D.

【详解】对A选项，，，或，故其定义域为，而后者，，解得，其定义域为，定义域不同，故函数不同，所以A错误；

对B选项，，所以函数的定义域为，故B正确；

对C选项，设，根据为奇函数，则定义域关于原点对称，且 ，故其为奇函数，C正确，

对D选项，反比例函数在,上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故 D错误.

故选：BC.

11. 已知，，则下列表达式正确的是（    ）

A. ，  B. 的最小值为3

C. 的最小值为8 D. 的最小值为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，通过用表示以及用表示，即可求出范围，对B，对等式变形得，利用乘“1”法即可得到最值，对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出最小值，对D通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.

【详解】对A选项，，即，则，

则，且解得，

，则则，且，解得，故A正确；

对B选项，，两边同除得，

则，

当且仅当，且，即时等号成立，故B错误；

对C选项，，，解得，故，

当且仅当，且，即时等号成立，故C正确；

对D选项，由A选项代入得

，

当且仅当，，即时，此时时，等号成立，

故D正确.

故选：ACD.

12. 若函数为上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为（    ）

A. 4 B. 6 C. 7 D. 10

【答案】CD

【解析】

【分析】由的单调性及可得，从而得到关于的方程，解之可得到的解析式，进而得到的值.

【详解】因为为上的单调函数，且满足对任意，都有，

所以，则，且，

故，解得或，

当时，，则；

当时，，则；

综上：的值可能为或.

故选：CD.

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题有两空，第一空2分，第二空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）

13. 若，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用不等式的性质逐步计算即可.

【详解】因为，所以，则，

又因为，所以，

故的取值范围为.

故答案为：.

14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则[f(2)]＝________；函数y＝[f(x)]的值域是_______．

【答案】    ①. 1    ②. {1，2，3}

【解析】

【分析】根据题意，结合新定义的函数概念，即可求解.

【详解】因为，所以；

，

因，所以，所以，

[x]表示不超过x的最大整数，所以.

故答案为：1；{1，2，3}

15. 若一个18位整数的25次方根仍是一个整数，则这个25次方根是___________.（参考数据：，）

【答案】5

【解析】

【分析】首先假设这个数为，根据数的表示特点，则得到，再利用对数运算和题目所给的约分值，得到，即可得到整数.

【详解】设这个18位整数为（为整数），

则，取10为底的对数有，

即，即，

又，，

所以，为整数，，

故答案为：5.

16. 已知，不等式的解集为P，若，则a的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】将代入分式不等式得到相反结论，同时注意分母为0的情况，解出即可.

【详解】或,解得或,

故答案为：.

四､解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 求下列各式的值.

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）利用指数幂运算法则计算即可；

（2）利用对数运算法则计算即可.

【小问1详解】

原式；

【小问2详解】

原式.

18. 已知集合A={x|-1<x≤a，a>0}，B={y|y=|x|，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}.

（1）若a=1，求B∩C；

（2）若C⊆B，求实数a的取值范围.

【答案】（1）{x|0≤x≤1}   

（2）0<a≤1

【解析】

【分析】（1）根据集合交集的定义进行求解即可；

（2）根据子集的性质，分类讨论进行求解即可.

【小问1详解】

当a=1时，A={x|-1<x≤1}，

则B={y|y=|x|，x∈A}={x|0≤x≤1}，

C={z|z=x2，x∈A}={x|0≤x≤1}，

因此B∩C={x|0≤x≤1}；

【小问2详解】

①当0<a<1时，

得B={x|0≤x<1}，

C={x|0≤x<1}，

满足C⊆B，

故0<a<1；

②当a≥1时，

得B={y|y=|x|，x∈A}={x|0≤x≤a}，

C={z|z=x2，x∈A}={x|0≤x≤a2}，

因为C⊆B，

所以a2≤a，

解得0≤a≤1，

故a=1；

综上，0<a≤1.

19. 已知命题p：≥x-1，命题q：x2-3ax+2a2<0，其中a∈R且a≠0.

（1）若p为真，求x的取值范围；

（2）若p是q的充分条件，求a的取值范围.

【答案】（1）2≤x≤3；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可；

（2）根据充分条件的性质进行求解即可.

小问1详解】

对命题p而言，

当p为真时，即≥x-1，

因为x≥，所以x-1>0，

所以3x-5≥x2-2x+1，

即x2-5x+6≤0，

所以2≤x≤3；

【小问2详解】

对命题q而言，

因x2-3ax+2a2<0，a≠0，

所以（x-a）（x-2a）<0；

当时，有，

因为p是q的充分条件，

所以有，

当时，有，

因为p是q的充分条件，

所以有，

综上所述：a的取值范围.

20. 某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.

（1）求的解析式；

（2）若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；

（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可.

【小问1详解】

因为，

代入①得，，

所以，

故，

又由③得，，

所以b=3；

因此，

经检验，，满足题干所给条件，

所以；

【小问2详解】

因为方程恰有3个实数根，

显然0其一个实数根，

所以方程恰有2个非0实数根，

即方程恰有2个实数根，且两根非，

由可得，，

又由均不是此方程的根，

则，

所以，m的取值范围为.

21. 新能源汽车具有节约燃油能源､减少废气排放､有效保护环境等优点.据统计，截至2022年9月底，我国新能源汽车保有量为1149万辆，占汽车总保有量的3.65%.小杨哥准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车（不作它用），根据市场调查，此汽车使用年的总支出为万元，每年的收入为5.25万元.

（1）此汽车从第几年起开始实现盈利？

（2）此汽车使用多少年报废最合算？

（①利润=收入-支出；②出租车最合算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数）

【答案】（1）第3年起开始盈利   

（2）使用6年报废最合算

【解析】

【分析】（1）表达出，，由，解出答案；

（2）设汽车使用n年的年平均利润为z万元，表达出，利用基本不等式求出最值，得到此汽车使用6年报废最合算.

【小问1详解】

设此汽车使用n年的总利润为y万元，

则，，

由得，，

解得，

所以从第3年起开始盈利；

【小问2详解】

设此汽车使用n年的年平均利润为z万元，

则

因为，由基本不等式得：，

所以，当且仅当，即时取等号，

答：所以此汽车使用6年报废最合算.

22. 已知函数f（x）=.

（1）若对任意x∈[2，4]，不等式f2（x）+p·f（x）+1≥0恒成立，求实数p的取值范围；

（2）若函数F（x）=f（x-3）+，是否存在实数m､n（m<n），使得F（x）在区间[m，n]上值域为[m，n]？若存在，求出m､n的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）p≥-   

（2）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）恒成立问题：分离参数求最值，应用换元法转化成新函数，再用定义法研究函数的单调性（或对勾函数），从而研究函数的最值，即可得结果.

（2）先研究的单调性来确定F（m）=m，F（n）=n，转化为研究在[3，+∞）上有两不等根，整理后转化为一元二次方程根的个数，由来确定是否成立.

【小问1详解】

因为对任意，恒成立，

所以，

令 ，则

，

方法1： 且

则

∵且，

∴，，

∴，

∴在上单调递减，

 ∴

∴

方法2：由对勾函数可画的草图，如图所示，

∴在上单调递减，

 ∴

∴.

【小问2详解】

不存在实数m､n（m<n），使得F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n].

理由：

假设存在m､n（m<n），使得F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，

因为F（x）=f（x-3）+=+，x≥3，

显然F（x）在[3，+∞）上单调递增，

因为F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，

所以F（m）=m，F（n）=n，

即方程F（x）=x在[3，+∞）上有两不等根，

即+=x，

即4x2-16x+21=0，

又∵

∴此方程无解，

故假设不成立，

即不存在实数m､n（m<n），使得F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n].