2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一上学期11月期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一上学期11月期中数学试题

一、单选题

1．若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意得，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可.

【详解】解：因为，所以，解得，

因为，

所以.所以，，均为错误表述.

故选：D

2．已知，，，则的大小顺序为（    ）

A．  B． C．  D．

【答案】B

【分析】根据已知条件及指数运算性质，结合指数函数和幂函数的单调性即可求解.

【详解】由题意可知，，

因为在上是单调递增，且，

所以，即，

由题意可知，，

因为在上是单调递增，且，

所以，即，

所以.

故选: B.

3．已知，且，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】利用换元法求出函数的解析式，结合函数值即可求解.

【详解】令则

所以，

所以函数的解析式为，

又因为，

所以，解得.

故选：D.

4．数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用排除法及函数的奇偶性的定义，结合基本不等式及函数的最值即可求解.

【详解】由题意可知，函数定义域为，

所以，

所以为偶函数，排除选项A和C；

当时，，

当时，，

所以，排除选项D.

故选：B.

5．已知，则的值为（    ）

A．2 B．－2 C． D．±2

【答案】D

【分析】利用与的关系求解即可.

【详解】，所以

故选：D

6．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的函数式，列出不等式组求解作答.

【详解】函数有意义，则有，解得或，

所以函数的定义域为.

故选：C

7．将函数的图像向左平移2个单位长度，所得函数在单调递增，则a的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】函数的图像可由对勾函数图像平移得到,由对号函数的单调区间，得到的单调区间，可解出a的最大值.

【详解】， 显然的图像是函数 的图像 向右移动了个单位，

  是对勾函数，任取，

，，，

当时，，，，

当时，，，，

得在上单调递减，在上单调递增，

∴在上单调递减，在上单调递增，

由函数的图像向左平移2个单位长度，所得函数在单调递增，得在单调递增，∴，，

则a的最大值为3,

故选：C

8．已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”.则函数 “H点”的个数为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【分析】根据“H点”的特征，利用数形结合判断存在的个数.

【详解】由，若是函数的一个“H点”，则其关于原点的对称点为，即，所以“H点”关于原点的对称点也在函数图像上，

所以要判断函数 “H点”的个数，需要知道函数图像上关于原点的对称点有多少个，作函数在上的部分图像关于原点对称的图像，如图所示，与在上的部分图像有两个交点，

所以函数 “H点”的个数为4.

故选：C

二、多选题

9．给出以下四个命题，其中正确的命题是（    ）

A．已知集合，，若，则，

B．函数与为同一个函数

C．图象关于点成中心对称

D．命题“，”的否定为“，”

【答案】AC

【分析】利用集合相等求出、的值，可判断A选项；利用函数相等的定义可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用全称量词命题的否定可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，则，即，所以，，解得，A对；

对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，

所以，函数与不是同一函数，B错；

对于C选项，函数的定义域为，对任意的，

，

所以，函数图象关于点成中心对称，C对；

对于D选项，由全称量词命题的否定可知，命题“，”的否定为“，”，D错.

故选：AC.

10．函数满足对定义域内任意两个实数、，都有成立，则该函数称为函数，下列函数为函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用函数的定义逐项判断可出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数的定义域为，对任意的、，

，

函数为函数，A满足条件；

对于B选项，函数的定义域为，任取、，

，

函数为函数，B满足条件；

对于C选项，函数的定义域为，对任意的、，

，

所以，，则函数为函数，C满足条件；

对于D选项，取，，则，

，此时，

故函数不是函数，D不满足条件.

故选：ABC.

11．若实数满足，则（    ）

A．  B． C． D．

【答案】BC

【详解】选项A：当时，得或，显然不满足，故A错误；

选项B：因为，

因为，，所以有

得，所以有，当或时等号成立.

所以，得，所以，当时等号成立；

选项C：由选项B，得选项C正确；

选项D：由选项B，得选项D错误.

故选：BC

12．已知定义域为R的奇函数，当时，,下列叙述正确的是（    ）

A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根

B．当时，有

C．当时，的最小值为1，则

D．若关于x的方程和的所有实数根之和为零，则

【答案】ABC

【分析】A选项，根据函数的奇偶性得到在R上的解析式，画出函数图象，数形结合得到当时，与的图象有7个交点，即方程有7个不相等的实数根，A正确；

由图象可得时，单调递减，从而得到B正确；

由，令，解得：，数形结合得到，C正确；

求出的所有实数根之和为，进而当时，，再结合对称性得到时，方程和的所有实数根之和为零，从而

或，D错误.

【详解】因为为定义域为R的奇函数，

当时，，故，

当时，，故，

当时，，

综上：，

画出函数的图象，如下：

存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根，理由如下：

如图1，当时，直线与的图象有5个交点，

联立与，，

由且得：，

且此时与联立，，

其中，

故时，直线与两抛物线刚好相切，故有5个交点，

则当时，与的图象有7个交点，

即关于x的方程有7个不相等的实数根，A正确；

当时，单调递减，故当时，有，B正确；

由图象可知：，令，解得：，

当时，的最小值为1，则，C正确；

令，当时，，设两根为，则，

当时，，解得：，

故的所有实数根之和为，

当时，，

故当时，方程和的所有实数根之和为零，

由对称性可知时，方程和的所有实数根之和为零，

综上：或，D错误.

故选：ABC

【点睛】数形结合在研究函数与方程方面具有重要作用，通常函数零点，方程的根及两函数的交点可互相转化进行求解，本题中实数根个数问题，要转化为两函数与的交点个数问题，再同一平面直角坐标系中画出与的图象，用数形结合的思想求解.

三、填空题

13．除函数y＝x，外，再写出一个定义域和值域均为的函数______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由定义域与值域的概念求解，

【详解】令，满足定义域和值域均为，

故答案为：（答案不唯一）

14．计算=__________．

【答案】19

【详解】主要考查分数指数幂的概念及其运算性质．

解：=－49＋64－＋1=19.

15．已知在区间上是单调增函数，则a的取值范围为______.

【答案】

【分析】已知在区间上是单调增函数，根据单调递增的条件，列不等式组求a的取值范围.

【详解】由在区间上是单调增函数，有，解得，则a的取值范围为.

故答案为：

16．已知函数的定义域为R，且，都有.若，，则______.

【答案】

【分析】根据题意可得是以6为周期的函数，即可求出.

【详解】因为，都有

所以，

所以，所以是以6为周期的函数，

所以，

因为，所以，即.

故答案为：.

四、解答题

17．设，命题p：，，命题q：，.

(1)若命题p是真命题，求a的取值范围；

(2)若命题¬p与命题q都是真命题，求a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由题可由求解；

（2）求出命题和命题对应的的范围即可求出.

【详解】（1）若命题p是真命题，则，解得或.

（2）若是真命题，则在恒成立，则，所以，

因为命题¬p与命题q都是真命题，所以，解得.

18．已知集合，，.

(1)当时，求集合；

(2)已知是的必要不充分条件，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式和分式不等式的解法分别求出集合，再根据并集的定义即可得解；

（2）由是的必要不充分条件，可得集合C是集合A的真子集，列出不等式组，解之即可.

【详解】（1）解：，

当时，，

所以；

（2）解：，

因为是的必要不充分条件，

所以集合C是集合A的真子集，

则（不同时取等号），解得，

所以m的取值范围为.

19．已知幂函数为奇函数.

(1)求实数m的值；

(2)求函数（）的最小值.

【答案】(1)2；

(2)1.

【分析】（1）根据给定条件，利用幂函数的定义及性质计算作答.

（2）由（1）的结论，求出函数的解析式，再借助均值不等式求解作答.

【详解】（1）因函数是幂函数，则，解得或，有或

又函数是奇函数，则是奇数，即有，

所以实数m的值是.

（2）由（1）知，当时，，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以函数的最小值是1.

20．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．

（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；

（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

【答案】（1）

（2）当一次订购550件服装时，该厂获得的利润最大，最大利润为6050元

【详解】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．

（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．

（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x-40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．

解：(1)当0<x≤100时，p＝60；

当100<x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.

∴p＝

(2)设利润为y元，则

当0<x≤100时，y＝60x－40x＝20x；

当100<x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.

∴y＝

当0<x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；

当100<x≤600时，

y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，

∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050>2 000.

所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．

21．设函数，（，）.

(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；

(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）讨论和两种情况求解可得出；

（2）根据题意的值域是的值域的子集，讨论的范围根据单调性求出的值域即可列出不等式求解.

【详解】（1）函数有且只有一个零点，

所以方程有且仅有一个根，

当时，，即，满足题设；

当时，，即，此时，满足题设；

综上，时，零点为2；，零点为4.

(2)因为对任意的，总，使得成立，

所以的值域是的值域的子集，

可得时， 在上单调递增，且，

所以的值域为.

当时，在上单调递增，故，即，

所以可得   解得；

当时，，不满足题意；

当时，在上单调递减，故，即，

所以可得，解得；

综上，m的取值范围为.

22．函数的定义域为，且满足以下4个条件：

①对任意，都存在m，，使得且；

②若m，且，都有；

③当且a为常数时，；

④当时，.

(1)证明：函数是奇函数；

(2)证明：函数是周期函数，并求出周期；

(3)判断函数在区间上的单调性，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析，周期为

(3)在区间上是单调减函数，理由见解析

【分析】（1）根据函数性质结合奇偶性的定义即可证明；

（2）根据周期性的定义分别讨论和两种情况即可求解；

（3）根据单调性的定义分别证明在区间上是单调减函数和在区间是单调减函数.

【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，

对任意实数，在定义域中存在，使得且,

则

∴为奇函数.

（2）因为，所以，

所以，

当，，

所以，

当时，，

，

，满足，

综上，是以为周期的函数.

（3）在区间上是单调减函数.

先证在区间上是单调减函数.

设，则，，(当时， )，，

因为，所以，即，

所以在区间上是单调减函数；

再证在区间是单调减函数.

设，则，所以，

因为，即，

同理，，

所以，即，

所以在区间是单调减函数，

当时，；

当时，，，所以，

综上，在上是减函数.