2022-2023学年江苏省南通市如东县高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市如东县高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合A＝，B＝，则A∪B＝（　　）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】利用集合的并集运算求解.

【详解】由题设.

故选：A

2．“”是“”的（    ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分析两个集合和的关系，从而推出命题之间的关系

【详解】解不等式，得

而集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分而不必要条件

故选：B

3．已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（　　）

A．26 B．24 C．20 D．18

【答案】D

【分析】可把f（5）中的5拆成2×3﹣1的形式，即可利用已知关系式求值.

【详解】由于f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）＝f（2×3﹣1）＝4×3+6＝18.

故选：D.

4．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　）

A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．

C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）

【答案】C

【分析】由图形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出.

【详解】解：由图形可知，，，

在Rt△OCF中，由勾股定理可得，

CF＝，

∵CF≥OF，

∴，

故选：C.

5．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可.

【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.

故选：A．

6．函数（）的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件.

【详解】由，可得，

，

仅当，即时等号成立，故的最小值为.

故选：B

7．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0的解集为（　　）

A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1） C．（，+∞） D．（1，+∞）

【答案】B

【分析】由已知得到函数g（x）为奇函数，将不等式整理为，从而利用g（x）的单调性解不等式.

【详解】f（x）为偶函数，g（x）＝xf（x）为奇函数，

又g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减.

∴由（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0，得（1﹣2x）f（1﹣2x）+xf（x）＜0.

∴g（1﹣2x）十g（x）＜0，∴g（1﹣2x）＜﹣g（x）＝g（﹣x），

∴1﹣2x＞﹣x，解得x＜1，即x∈（﹣∞，1）.

故选：B.

8．对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（　　）

A． B．﹣1 C．+1 D．

【答案】D

【分析】将已知不等式转化为（a﹣1）﹣+a≥0对于一切正数x，y恒成立，令t＝，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，由二次函数的图象与性质可得关于a的不等式组，解之即可得答案.

【详解】∵x＞0，y＞0，

∴x（x+y）≤a（x2+y2）⇔xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔，

令，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，

依题意，，即，解得a≥.

∴实数a的最小值为.

故选：D.

二、多选题

9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据韦恩图及集合交并补的概念求解.

【详解】由韦恩图可知，，，，，

故AC错误，BD正确，

故选：BD

10．已知定义在R上的函数f（x），下列说法正确的有（　　）

A．若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数

B．若f（x+1）是偶函数，则f（x）图象关于x＝1对称

C．若f（﹣1）＝f（1），则f（x）是偶函数

D．若f（x）满足任意x1≠x2，都有，则f（x）在R上是增函数

【答案】ABD

【分析】根据函数单调性的性质、函数奇偶性的性质、函数图象变换的性质逐一判断即可.

【详解】A：若在R上是减函数，显然由，不可能有成立，所以在R上不是减函数，因此A项正确；

B：因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，因为函数的图象向右平移1个单位得到图象，所以图象关于对称，B项正确；

C：若，则函数有可能是奇函数，不是偶函数，C项错误；

D：＞0的含义是分子分母同号，即中，自变量越大，函数值也大，所以在R上是增函数，D项正确.

故选：ABD.

11．已知，则a，b满足的关系有（　　）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A正确，根据，结合基本不等式可判断BCD的正误.

【详解】由，则，

A：，正确；

B：由A知：且，所以，即，故正确，

C：由A、B知：，而，故错误，

D：由上，，故正确.

故选：ABD.

12．给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x1，x2∈D（其中x1＞x2），若不等式f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）恒成立，则称f（x）对于g（x）在区间D上是“渐先函数”.已知函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则实数a的值可能是（　　）

A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2

【答案】AD

【分析】由已知及导数的定义可知＞在上恒成立，即，分别对已知函数求导，求出a的取值范围，再逐项判断即可.

【详解】根据题意知，要使函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则a≠0，

不等式f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）在[a，a+1]上恒成立，

∵x1＞x2，∴＞在[a，a+1]上恒成立，

∴，

即4ax+2a1在[a，a+1]上恒成立，

当a＞0时，只需（4ax+2a）min＝4a2+2a≥1，即4a2+2a﹣1≥0，

解得a≥，

当a＜0时，只需（4ax+2a）min＝4a（a+1）+2a≥1，即4a2+6a﹣1≥0，

解得，a≤，

综上可得，a≤或a≥，

故实数a的值可能是1，﹣2.

故选：AD.

三、填空题

13．若函数，则f(x)的定义域为___________.

【答案】[﹣1，0)∪(0，1]

【解析】由已知可得，解不等式组可得f(x)的定义域．

【详解】∵

，

∴﹣1≤x<0或0<x≤1

即f(x)的定义域为[﹣1，0)∪(0，1]

故答案为：[﹣1，0)∪(0，1]

14．已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是______.

【答案】（﹣1，+∞）

【分析】由已知可得m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，再根据二次函数的性质求出最小值，由此即可求解.

【详解】解：因为∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，

即m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，

又函数x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，

所以m＞﹣1，即实数m的范围为（﹣1，+∞），

故答案为：（﹣1，+∞）.

15．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降x%（x为正数），则用户人数会增加万人.若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为______.

【答案】

【分析】由题意可设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，可得，结合题意列出关于x的不等式，即可得出答案.

【详解】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则，

要保证该公司月总收入不减少，则，解得，

∵x为正数，

∴x的取值范围为.

故答案为：

16．已知函数，若在区间上的最大值是，则实数的最大值是______.

【答案】

【分析】分三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出的范围即可得答案.

【详解】因为，

当，即时，，

，

此时对称轴为，

所以，

即，

所以，解得，

所以；

当，即或时，有两个根，，设，

此时对称轴为或，

当，即时，，

即

所以，解得，

所以；

当，即时，，

即

所以，解得，不满足，故无解.

综上所述，的取值范围是，故的最大值为.

故答案为：

【点睛】研究含有参数、绝对值的函数的最值时，要注意根据参数和绝对值进行分类讨论，涉及二次函数的问题，分类标准可考虑利用判别式来制定，分类讨论要做到不重不漏.

四、解答题

17．（1）已知，求的值；

（2）

【答案】（1）2（2）

【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解.

（2）利用对数的运算性质求解.

【详解】（1）由题意得，

而，则，

（2）原式

18．已知不等式的解集为或（其中）．

(1)求实数，的值；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据不等式与对应方程的根的关系求解；(2)分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.

【详解】（1）由题意可得的解集为或，

则且1和为方程的两个根．

则，解得．

（2）不等式化为，

转化为，即

所以，解集为．

19．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减.

(1)求f（x）的解析式；

(2)若正数a，b满足2a+3b＝4m，若不等式≥n恒成立，求实数n的最大值.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）利用幂函数的性质即可求解m的值；

（2）利用基本不等式求出的最小值，即可求解n的最大值.

【详解】（1）幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，

所以，解得m＝1，

所以f（x）的解析式为f（x）＝x﹣1.

（2）正数a，b满足2a+3b＝4m，则a＞0，b＞0，2a+3b＝4，，

所以＝（）（2a+3b）＝（12+）≥6，当且仅当＝，即a＝1，b＝时等号成立，

故的最小值为6，

又不等式≥n恒成立，

所以n≤6，即实数n的最大值6.

20．已知函数

（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）在上单调递增（2）

【分析】（1）采用分离常数法，结合反比例函数图像的平移法则进行预判，再采用定义法证明即可；

（2）根据增减性判断，应满足，化简求值即可

【详解】（1），该函数由向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：

由图可知，函数在单增，现证明如下：

设，则，，，，，在上单调递增

（2）若，由在上单调递增，得，即，则实数的取值范围为

【点睛】本题考查函数增减性的判断与证明，根据单调性解不等式，属于基础题

21．已知函数，，其中.

(1)若的图象与直线没有公共点，求实数a的取值范围；

(2)当时，函数的最小值为，求实数m的值.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）问题化为即可，由二次函数的性质求出最值即可；

（2）由题意得，令，将问题转化为在上的最小值为，由二次函数的性质讨论函数的单调性和对应的最小值即可求得m的值.

【详解】（1）由题意在上无解，即在上无解，

由，，而，所以，

所以实数a的取值范围为.

（2）当时，则，

所以，

令，又，故（仅当时等号成立）

所以在上的最小值为，

又的图象开口向上，对称轴为，

当，即时，在上单调递增，

所以，解得，不满足，故无解；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得，又，故，

综上所述，.

22．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数.

(1)求的对称中心；

(2)已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设的对称中心为，根据对称性得到关于的方程，解得即可得解；

（2）易求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.

【详解】（1）解：，

设的对称中心为，

由题意，得函数为奇函数，

则，

即，

即，

整理得，

所以，解得，

所以函数的对称中心为；

（2）解：因为对任意的，总存在，使得，

所以函数的值域是函数的值域的子集，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

所以的值域为，

设函数的值域为集合，

则原问题转化为，

因为函数是奇函数，所以函数关于对称，

又因为，所以函数恒过点，

当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，

所以函数在上递增，

又，

所以的值域为，即，

又，

所以，解得，

当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，

所以函数在上递减，

则，

又，

所以，解得，

当即时，

在上递减，在上递增，

又因函数过对称中心，

所以函数在上递增，在上递减，

故此时，，

要使，

只需要，解得，

综上所述实数m的取值范围为.

【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数的值域是函数的值域的子集，有一定的难度.