2022-2023学年江苏省苏州工业园区星海实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省苏州工业园区星海实验中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，在计算

【详解】因为，

所以

故选：C.

2．已知为实数，使“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据存在量词命题成立求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系可得出合适的选项.

【详解】若，使得，则，

因为，

故使得“，”为真命题的一个必要不充分条件是.

故选：B.

3．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断为偶函数，在上单调递增，再根据奇偶性的定义与单调性的定义，结合初等函数的性质依次判断各选项即可.

【详解】解：对于函数，为偶函数，在上单调递增，

所以对于A选项，为奇函数，不满足；

对于B选项，不具有奇偶性，不满足；

对于C选项，是偶函数，在上单调递减，不满足；

对于D选项，是偶函数，且对于时，

由于，所以，所以，

所以，即.即函数在上单调递增，满足.

故选：D

4．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.

【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；

当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.

故选：D.

5．不等式的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出函数的定义域，单调性，且当上，恒成立，当上，恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集.

【详解】定义域为，且在与上均为减函数，

且当上，恒成立，当上，恒成立，

故①或②或③，

解①得：，

解②得：，

解③得：，

综上：不等式的解为.

故选：D

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由三个实数的初值比较大小排除一些答案，在进一步比较，从而得出结果.

【详解】因为，，

所以的值最小，C,D错误，

又

所以

所以

故选：A.

7．对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gaussian）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，已知则的取值不可能为（    ）

A．90 B．91 C．92 D．94

【答案】B

【分析】通过分析得到当且时，，当且时，，代入函数值，求解出当时，，其他三个选项代入求解均为正整数，故选出答案.

【详解】当时，，故，

当时，，故，

当时，，故，

当且时，

，

令，解得：，A正确；

当且时，

，

令，解得：，

令，解得：，

令，解得：，

故的取值不可能是91.

故选：B

8．若正实数，，满足，则的最大值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【分析】利用等式变形构造基本不等式即可得所求得最大值

【详解】由正实数，，满足

所以

即

所以

当时取到等号，

所以最大值为：4

故选：C.

二、多选题

9．整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则整数，属于同一个类

【答案】CD

【分析】根据给定的定义，计算判断A，B；推理判断C，D作答.

【详解】，，

，即，而，因此，A不正确；

，即，而，因此，B不正确；

因任意一整数除以4，所得余数只能为0或1或2或3，即，

反之，集合中任一数都是整数，即，所以，C正确；

，不妨令，

则，因，于是得，即，因此整数，属于同一个类，D正确.

故选：CD

10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若、、，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，，则，

C．若，，则

D．若，，则

【答案】BD

【分析】取可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.

【详解】对于A选项，当时，，A错；

对于B选项，若，，则，所以，，故，，B对；

对于C选项，因为，，则，，

所以，，则，C错；

对于D选项，若，，则，

所以，，D对.

故选：BD.

11．下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．函数的最大值为

B．函数的减区间是

C．若，则为1

D．已知在上是增函数，若，则

【答案】ACD

【分析】A选项，先求的值域，再利用单调性求最值；B选项先求函数的定义域，在求函数的减区间；C选项指数化为对数进行化简即；D选项，利用函数单调性及的关系判断

【详解】A选项：设

由在单调递减，所以，故A正确

B选项：由

所以函数的定义域为，此时

函数在单调递减，

所以原函数的单调减区间为，故B错误；

C选项：由

所以

，故C正确；

D选项：假设 ，则，

所以

由在上是增函数

所以，

所以

与矛盾

所以当函数在上是增函数时，

若，

则，故D正确

故选：ACD.

12．若的定义域为，且满足为偶函数，关于成中心对称，则下列说法正确的是（    ）

A．的一个周期为 B．的一条对称轴为

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据题意推导出函数的周期，可判断A选项；利用函数周期性和对称性的定义可判断B选项；利用函数的周期性可判断CD选项.

【详解】因为为偶函数，则，令，可得，

因为函数关于点对称，

设，则，即，

所以，，则，

故，即，故，

所以，.

对于A选项，的一个周期为，A错；

对于B选项，，故函数的一条对称轴为，B对；

对于C选项，因为，则函数的图象关于点对称，

又因为函数的定义域为，则，

则，C对；

对于D选项，，，，

因此，

，D对.

故选：BCD.

三、填空题

13．命题“，”的否定为______.

【答案】，

【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.

【详解】由全称命题的否定可知，原命题的否定为：，.

故答案为：，.

14．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是递减的，则________．

【答案】1

【解析】根据幂函数的性质可知是偶数且，计算求解即可得的值.

【详解】∵幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，

是偶数且，解得：.

故答案为：1

【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题.

15．设正数，满足，若关于的不等式的解集中的整数解恰有4个，则的取值范围是______

【答案】

【分析】根据题意解出不等式，利用已知得条件分析即可得出结果.

【详解】由不等式得：

因为解集中的整数解恰有4个，

所以

则有

则四个整数解为：

所以

即

又，

所以

所以

所以，又

所以的取值范围为：

故答案为：

16．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再分段讨论即可求解作答.

【详解】上的单调函数，，都有，则存在正常数m，使得，

有，即有，因此，而函数在上单调递增，

又，于是得，，依题意，当时，有两解，必有

当时，，当时，函数单调递减，，

当时，函数单调递增，，因此方程在上有两解，当且仅当在上有解即可，则，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.

四、解答题

17．已知集合，，

(1)求；

(2)已知______，求实数的取值范围；

从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答.

条件①：；

条件②：

条件③：：，：，且是的必要而不充分条件.

【答案】(1)

(2)答案见解析；

【分析】（1）首先解一元二次不等式与绝对值不等式组求出集合，再根据交集的定义计算可得；

（2）若选择①，，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.

若选择②，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.

若选择③，则集合是集合真子集，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.

【详解】（1）由，即，解得，

由，解得，

所以，

，

所以.

（2）选择条件①若，由或

当时，由，解得；

当时，由，解得；

综上所述：.

选择条件②，当时，由或，解得；

当时，由，解得；

综上所述：.

选择条件③，，若是的必要不充分条件，所以集合是集合真子集，

当时，由，解得.

当时，，所以，

综上所述：.

18．已知函数（，且），且．

(1)求的定义域；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是

【分析】（1）由，求出，从而可求出函数解析式，再由，可求出函数的定义域，

（2）分和两种情况利用函数的单调性解不等式即可

【详解】（1）因为，所以，

解得，所以．

则，解得．

故的定义域为．

（2）当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，

所以在上单调递增．

因为，所以，解得．

当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，

所以在上单调递减．

因为，所以，解得．

综上，当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是．

19．已知函数．

(1)当时，求函数f（x）的单调区间；

(2)当，函数f（x）在[－3，3]的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为

(2)

【分析】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，结合二次函数的性质即可求解，

（2）根据二次函数的性质分类讨论即可求解.

【详解】（1）当时，；

当时，， ∴在上单调递增；

当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：的单调递增区间为，；

单调递减区间为

（2）因为，当时，

①当，即时，在单调递减，在单调递增，；

②当，即时，在单调递增，

综上所述：，

20．新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生的安全，拟借助校门口一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面为24平方米，背面靠墙的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，高为底边长的．为节省费用，此室的后背靠墙，无需建造费用，只需粉饰．甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧为每平方米300元，已有墙体粉饰每平方米100元，屋顶和地面报价共计12000元．设隔离室的左右两侧的长度均为x米( )．

(1)记为甲工程队报价，求的解析式；

(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，是否存在实数t，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功，若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．

【答案】(1),.

(2)存在，.

【分析】（1）根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;

（2）由题意可得不等关系,对任意都成立，进而转化恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.

【详解】（1）由题意知隔离室的左右两侧的长度均为x米( ),则底面长为米,

则正面费用为 ,

故

, .

（2）由题意知, ,对任意都成立,

即对任意恒成立,

令 ,则,

则,

而,当且仅当取等号,

故 ,

即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.

21．已知奇函数和偶函数满足

(1)求和的解析式；

(2)判断并证明在上的单调性

(3)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围

【答案】(1)，

(2)在上单调递增，证明见详解

(3)

【分析】（1）根据已知条件用替换，构造一个关于、的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案；

（2）先判断，在利用定义法证明；

（3）设A=，B=，由可知，

A，列出不等式组即可求出k的范围．

【详解】（1）由奇函数和偶函数可知，

，，

因为，①

用替换得

故，即，②

联立解得，，

（2）在上单调递增；证明如下：

取

所以

因为

所以，

所以

所以在上单调递增

（3）设A=，

令，则化为，

易知在上单调递增，

故，，

故；

设B=，

令，则化为，

易知在单调递增，

故，

则时，．

若对于任意的，存在，

使得可知A，

则A，则显然，则B=，

则，

则，解得．

22．已知定义在R上的函数满足：在区间上是严格增函数，且其在区间上的图像关于直线成轴对称．

(1)求证：当时，；

(2)若对任意给定的实数x，总有，解不等式；

(3)若是R上的奇函数，且对任意给定的实数x，总有，求的表达式．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】(1)在函数()的图像任取点，推导可得，再结合严格递增推理作答.

(2)根据给定条件结合(1)可得的值域，在的条件下分段求解作答.

(3)求出函数区间、上表达式，再借助奇函数性质计算作答.

【详解】（1）依题意，，函数的图象上任意点关于直线对称点在函数的图象上，

则有：，且，于是得：，显然满足，

当时，若，而，又在区间上是严格增函数，

则，即，与矛盾，

若，而，又在区间上是严格增函数，则，即，与矛盾，

所以当时，.

（2）由(1)知，函数在区间上的值域为，函数的图象可由的图象向左平移2个单位而得，

因对任意给定的实数x，总有，

则函数在R上的图象可由数()的图像向左向右每2个单位平移而得，

于是得函数在R上的值域为，由得：，

当时，，则，由得：

，解得，则有，

当时，，则，由得：，解得，则有，

当时，，由得：，解得，则有，

综上得：，

所以不等式的解集是.

（3）因对任意给定的实数x，总有，

，当时，有，则，

，当时，有，则，

显然，函数的值域是，函数的值域是，

则取尽一切正整数，，

因此，当时，，

而是R上的奇函数，则当时，，，又，

所以，，，即函数的表达式是.

【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.