2022-2023学年江苏省宿迁市第一高级中学高一上学期期中模拟数学试题（二）（解析版）

2022-2023学年江苏省宿迁市第一高级中学高一上学期期中模拟数学试题（二）

一、单选题

1．已知集合， ，则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用集合的交集运算求解.

【详解】因为集合，，

所以,

故选：B

2．若命题:，则命题的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据存在量词的否定是全称量词可得结果.

【详解】根据存在量词的否定是全称量词可得命题的否定为.

故选：D

3．是成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断，进而得出正确答案.

【详解】由即，等价于，解得:或，

由或，得不出，

由可得出或，

所以或是的必要不充分条件，

即是成立的必要不充分条件，

故选：B.

4．已知是R上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【分析】由偶函数的对称性可知函数的图象关于y轴对称，判断在上单调递增，在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，即可判断．

【详解】解：因为是定义在R上的偶函数，

所以函数的图象关于y轴对称，

因为在上有单调性，且，

所以在上单调递增，在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，

所以，B选项正确，

故选：B.

5．已知x>0，y>0，且，则x+y的最小值是（　　）

A．10 B．15 C．18 D．23

【答案】C

【分析】把已知式变形，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】由x>0，y>0，且，得，

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是18．

故选：C．

6．已知，则的值为（　　）

A．15 B．7 C．31 D．17

【答案】C

【解析】利用换元法求得，代入即可得解.

【详解】令，则，所以即，

所以.

故选：C．

7．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则f等于（    ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】由题意结合偶函数的性质可得－a＋2a－2＝0、a－2b＝0，代入即可得解.

【详解】因为函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，

所以－a＋2a－2＝0，解得a＝2，

所以f(x)＝2x2＋(2－2b)x＋1，

又f(x)= f(－x)即2x2＋(2－2b)x＋1=2x2-(2－2b)x＋1，所以2－2b＝0，即b＝1，

所以f(x)＝2x2＋1，.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

8．已知函数，则的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出函数在、上的值域，取并集可得函数的值域.

【详解】当时，；

当时，.

因此，函数的值域为.

故选：C.

二、多选题

9．给出下列命题，其中假命题是（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．函数的增区间是

C．已知函数是定义域上减函数，若，则

D．两个函数，表示的是同一函数

【答案】ABD

【分析】A选项：利用抽象函数定义域的求法求定义域即可；

B选项：根据增区间的定义判断即可；

C选项：根据减函数的定义判断即可；

D选项：根据定义域和对应法则判断即可.

【详解】A选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以的定义域为，故A错；

B选项：的增区间应表示为，，不能用并集，故B错；

C选项：根据减函数的定义即可得到，故C正确；

D选项：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故D错.

故选：ABD.

10．关于函数，以下命题错误的是（    ）

A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称

C．无最大值 D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】先由函数定义域不关于原点对称，得到函数为非奇非偶函数，判断AB选项；

再由对勾函数的性质得到函数的单调性和最值情况，判断CD选项.

【详解】的定义域不关于原点对称，故函数图象不关于轴对称，也不关于原点对称，AB说法错误；

由对勾函数的性质，可知在上单调递增，

故，无最大值，C说法正确，D说法错误.

故选：ABD

11．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，即为“同族函数”下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据函数的单调性判断即可.

【详解】AC选项：函数在定义域内不单调，故存在不同的定义域内值域相同，故AC正确；

BD选项：函数在定义域内单调连续，故不存在不同的定义域内值域相同的情况，故BD错.

故选：AC.

12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】设两地的距离为，计算出全程的平均速度，然后利用基本不等式得出与和的大小关系，再利用作差法比较与的大小关系，从而得出正确选项.

【详解】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，

，

，由基本不等式可得，

，

又，

所以，

，

所以.

故选：AD.

三、填空题

13．已知幂函数的图像不过原点，则实数m的值为__________.

【答案】3

【分析】先由幂函数的定义求出或，再检验得解.

【详解】依题意得，解得或．

当时，，其图像经过原点，不符合题意；

当时，，其图像不经过原点，符合题意，

因此实数m的值为3．

故答案为3

【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．已知函数，若，则________.

【答案】

【分析】令，则为上的奇函数，再利用求出从而求出的值.

【详解】令，则,

，

为上的奇函数，

故答案为：

15．若是定义域为的偶函数，且在上是单调减函数，则不等式的解集是_________________.

【答案】

【分析】根据偶函数的性质，结合函数的单调性，即可求得不等式.

【详解】因为是定义域为的偶函数，则，，

且在上是单调减函数，

则

即，解得，所以解集为

故答案为:

16．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______．

【答案】

【分析】计算得出，利用海伦—秦九韶公式可得出，利用基本不等式可求得的最大值.

【详解】，所以，.

当且仅当时，等号成立，且此时三边可以构成三角形.

因此，该三角形面积的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据指数运算律，可得答案；

（2）根据对数运算律，可得答案.

【详解】（1）.

（2）.

18．已知函数的定义域为集合，.

(1)求集合、；

(2)若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由根式性质求定义域得集合A，解一元二次不等式求解集得集合B.

（2）由题意有，根据（1）所得集合列不等式组求参数范围即可.

【详解】（1）由根式性质知：，解得，则，

由且，解得，故；

（2）∵是成立的充分不必要条件，则，

∴（等号不同时成立），解得，

∴实数m的取值范围为．

19．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)判断并证明的单调性；

(3)解不等式.

【答案】(1)，

(2)在上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据题意，由求得，再由求得，由此可得结果；

（2）利用作差法及单调性的定义可证得的单调性；

（3）将原不等式变形为，再利用（1）和（2）中的结论得到关于的不等式组，解之即可.

【详解】（1）因为是在区间上的奇函数，

所以，即，则，

因为，所以，解得，经检验成立

故，；

（2）为增函数，证明如下：

任取，则，

因为，所以，，即，

所以，即，

故函数是增函数；

（3）因为为奇函数，

所以不等式等价为，

又因为在上是增函数，

所以，解得，故，

所以原不等式的解集为．

20．已知函数.

(1)若在上的最小值记为，求的解析式；

(2)画出的函数图像，并根据图像写出的最大值；

(3)若，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)图像见解析，

(3)

【分析】（1）根据，，分类讨论，结合二次函数对称轴位置，即可得到结果.

（2）直接根据的范围，分别画出对应函数图像即可.

（3）先分离参数，然后将能成立问题，转化为最大值问题，从而求得的范围.

【详解】（1）当时，函数图像的对称轴为，则

当时，函数图像的对称轴为，则

当时，函数图像的对称轴为，则

综上所述，

（2）

函数图像如上图所示，

由图可知

（3）

因为，即，且，即

所以，使得成立，

即当，

令，其为对勾函数，图像如图所示，

当时，函数递减

当时，函数递增

且当时，，当时，

故，所以

即

21．20世纪30年代，里克特()制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).

（1）若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级(精确到0.1)；

（2）计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？(附：)

【答案】（1）4.6级；（2）100倍.

【解析】（1）根据，,计算即可得出结果；

（2）由，化简计算求得即可得出结果.

【详解】（1）由题设可知：

因此，该次地震的震级约为里氏4.6级.

（2）设里氏8级和里氏6级地震的最大振幅分别为，.

由题设可得：

∴

因此，里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍.

22．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中.

（1）求函数的解析式;

（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围;

（3）当时，若，不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）利用奇函数的定义求解析式即可；

（2）讨论两种情况，根据二次函数的单调性确定的范围；

（3）根据函数的单调性解不等式得出，再求出实数的取值范围.

【详解】解：（1）由是定义在上的奇函数，所以；

又时，，

所以时，，所以

所以的解析式为；

（2）①若，由图在上递增；

②，在上先减再增

综上，；

（3）当时，，可得函数是定义域上的单调增函数

又是定义域上的奇函数，

由，不等式成立，可得

，

.

【点睛】方法点睛：对于函数不等式的恒能成立问题，一般可以采用以下方法：

1、，都有成立，则

，都有成立，则

2、，使得成立，则

，使得成立，则