2022-2023学年江苏省宿迁一中、栟茶高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省宿迁一中、栟茶高级中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（    ）

A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}

C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}

【答案】C

【分析】根据集合并集概念求解.

【详解】

故选：C

【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．“”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据必要不充分条件的定义判断．

【详解】时，只有D一定成立，只有D是必要条件，但D成立时，不一定成立，

故选：D．

3．化简（其中）＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂的运算法则计算．

【详解】．

故选：B．

4．设全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据Venn图表示的集合计算．

【详解】因为全集，所以，

所以图中阴影部分表示．

故选：C．

5．若，都为正实数，，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为，都为正实数，，

所以，

当且仅当，即时，取最大值.

故选：D

6．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】结合命题的否定与原命题真假对立，将原命题转化为命题的否定，结合二次函数的性质，即可计算m的范围.

【详解】若命题“，”为假命题，

则命题“，”为真命题，

即判别式，即，解得.

故选：A.

7．若不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】A

【分析】由题知，，进而将不等式转化为，再解不等式即可.

【详解】解：由，整理得 ①．

又不等式的解集为，

所以，且，即②．

将①两边同除以得：③．

将②代入③得：，解得．

故选：A

8．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范围.

【详解】，

，

当且仅当时等号成立.

所以，

解得或，

所以的取值范围是.

故选：C

二、多选题

9．设全集，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．集合的真子集个数为8

【答案】AC

【分析】根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.

【详解】因为全集，集合，，

所以，，，

因此选项A、C正确，选项B不正确，

因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，

故选：AC

10．下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．的最小值为1

C．的最大值为2 D．最小值为

【答案】BD

【分析】A选项，举出反例；B选项，利用得到；

C选项，配方法得到，从而求出最大值为1；

D选项，变形后利用基本不等式求出最小值.

【详解】当时，无最小值，故A错误；

因为，所以，故B正确；

，所以的最大值为1，C错误；

，

当且仅当，即时，等号成立，D正确.

故选：BD

11．下列说法正确的有（    ）

A．已知命题p： ，，则： ，

B．二次函数的零点是和.

C．，”是“”成立的充分不必要条件

D．若，则

【答案】CD

【分析】根据命题的否定的定义，二次函数零点的定义，充分不必要条件的定义，不等式的性质判断各选项．

【详解】命题的否定只否定结论，不否定条件（条件中存在量词与全称量词互换），因此命题的否定是：，使得，A错；

二次函数的零点是由得或，即零点是和4，B错；

，但时，不一定有，，例如时，有，C正确；

时，，即，D正确．

故选：CD．

12．在R上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据新定义运算化简题目所给不等式，结合判别式求得的取值范围，从而确定正确答案.

【详解】不等式对任意实数恒成立，

所以，即恒成立，

∴，解得.

所以ACD选项符合，B选项不符合.

故选：ACD

三、填空题

13．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.

【答案】0或3

【解析】由并集结果推出，则或，求解出m代入集合中验证是否满足条件即可.

【详解】，，则或，

若，A＝{1，3，}，B＝{1，3}，满足；

若，解得或，

时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，满足；

时，A、B不满足集合中元素的互异性，舍去.

综上所述，或3.

故答案为：0或3

【点睛】本题考查根据集合并集运算结果求参数、集合中元素的互异性，属于基础题.

14．写出“，不等式成立”的一个充分不必要条件______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】寻找出充要条件，然后根据充分不必要条件的定义得出结论．

【详解】，不等式恒成立的充要条件是，即，

充分不必要条件可以写，…．

故答案为：（答案不唯一）．

15．若集合，集合，若，则k的取值范围是____．

【答案】

【分析】由分式不等式的解法化简集合A，根据集合的基本运算和关系建立不等式关系即可．

【详解】，，，

，

故答案为：.

16．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】利用基本不等式求得的最大值，由此解分式不等式求得的取值范围.

【详解】依题意，，且，

，当且仅当时等号成立.

，解得，，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知全集,集合,

（1）求和

（2）求

【答案】(1) ,;

(2)

【分析】根据集合的基本运算求解即可.

【详解】(1)由,得,

(2)由得,故

【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.

18．求解下列问题：

(1)求值：;

(2)求函数的最小值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据根式、值域运算求得正确答案.

（2）利用基本不等式求得函数的最小值.

【详解】（1）原式.

（2），

，

当且仅当时等号成立.

19．已知集合，集合．

(1)当时，求、；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求出集合，，，然后结合集合的交、并运算求解即可；

（2）由，得，然后结合集合的包含关系对B是否为空集进行分讨论，即可求解．

【详解】（1）解：由题意得，，

当时，，

，．

（2）解：由，得，

当，即时，，满足题意；

当时，，解得，

综上，a的取值范围为．

20．已知，不等式解的集合为A，集合．

(1)求集合A

(2)若，且是的充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据和的大小分类讨论得集合；

（2）由（1）得集合，由充分条件得包含关系，再由集合的包含关系得不等式组求解．

【详解】（1）等价于，对应方程的根为

①当，则；

②当，则；

③当，则；

（2）因为是的充分条件，所以．

所以， 故a的取值范围为．

21．马斯克的星链计划，隶属于他的SpaceX公司.他要用这几万颗卫星，为地球上每一个角落提供互联网上网服务.国内某企业也计划加大对空间卫星网络研发的投入，发展空间互联网.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名，调整后技术人员的年人均投入调整为万元，研发人员的年人均投入增加

(1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？

(2)现在要求调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入，求m的最大值和此时技术人员的人数.

【答案】(1)75人；

(2)m的最大值为7，50人.

【分析】（1）解不等式即得解；

（2）化简得，再利用基本不等式得解.

【详解】（1）解：依题意可得调整后研发人员有人，年人均投入为万元，

则，解得.

答：调整后的技术人员最多有75人.

（2）解：由题得，

得，整理得，

因为，

当且仅当，即时等号成立，所以.

答：的最大值为7，此时技术人员有50人数。

22．对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.

(1)求二次函数的不动点；

(2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值．

(3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.

【答案】(1)不动点为和

(2)

(3)

【分析】（1）由求得不动点.

（2）由有两个不相等的正实数根列不等式，结合根与系数关系以及基本不等式求得的最小值

（3）由恒有解，结合判别式求得的取值范围.

【详解】（1）由题意知：，

解得，，所以不动点为和.

（2）依题意，有两个不相等的正实数根，

即方程有两个不相等的正实数根，

所以，解得

所以

，

因为，所以，

所以，当且仅当，

即时等号成立，

所以的最小值为.

（3）由题知：

所以，由于函数恒有不动点，

所以，即，

又因为是任意实数，所以，

即（），解得，所以的取值范围是.

【点睛】求解关于“不动点”的问题，关键是把握住“不动点”的定义.本题中涉及一元二次方程根的问题，可结合根与系数关系、判别式来进行求解.