2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设集合，，，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】直接利用交集的定义求解即可【详解】解：因为集合，，，所以，故选：B2．函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式即可.【详解】由已知，，解得且，所以的定义域为.故选：C.【点睛】本题考查已知函数的解析式求函数的定义域，在做此类题时，要注意不要随意化简解析式，是一道容易题.3．若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（    ）A． B． C．或2 D．或【答案】D【分析】根据指数函数的单调性分类讨论即可求出a的值.【详解】解：当时，在单调递减，即，解得：或(舍)；当时，在单调递增，即，解得：或(舍)；综上所述：或.故选：D.4．计算的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由对数的换底公式和对数的运算性质化简求值.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查了对数换底公式和对数的运算性质化简求值，属于基础题.5．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．【详解】的定义域是，关于原点对称，，是偶函数，排除BC；又时，，是增函数，排除A．故选：D．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．6．若，则有（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查的是复合函数的单调性，构造函数，再分别由其单调性得到复合函数的单调性即可得到答案.【详解】解：原不等式可化为，记函数，则原不等式可化为.又函数在上单调递增，所以，即.故选：B.【点睛】本题主要考查的是复合函数的单调性，熟练掌握单调性的应用是解决问题的关键，是一道基础题.7．已知函数，对任意，，都有，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意可得函数为减函数，再利用分段函数的单调性可得，解不等式即可求解.【详解】对任意，，都有，则函数为减函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查了分段函数的单调性求参数的取值范围，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．若函数在上的值域为，则在上的值域为A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数h（x），根据函数的奇偶性及对称性即可求解．【详解】函数在[m,n]上的值域为[2,4]，设h（x）＝=，则h（x）在[m,n]上的值域为[1,3]，且满足h（﹣x）＝h（x），∴h（x）是定义域R上的奇函数；∴h（x）在[n,m]上的值域为[3,1]又g（x）＝h（x）2，∴g（x）在[n,m]上的值域为[5,3]故选D．【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用问题，构造函数是解题的关键，是基础题． 二、多选题9．若幂函数的图象经过点，则函数具有的性质是（    ）A．在定义域内是减函数 B．图象过点C．是奇函数 D．其定义域是【答案】BC【解析】先由已知条件求出函数解析式，然后对选项依次分析判断即可【详解】解：因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以，由反比例函数的性质可知，在和上递减，所以A错误；当时，，所以函数图象过点，所以B正确；因为，所以为奇函数，所以C正确；函数的定义域为，所以D错误，故选：BC10．下列命题是真命题是（    ）A．“”是“”的充分不必要条件B．若，，则的最大值为4C．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是D．命题，使得，则，都有【答案】AD【分析】根据充分与必要条件定义可判断A，结合基本不等式可判断B，讨论与可判断C，根据命题的否定定义可判断D．【详解】对于A，当时有；当时，有或，故A正确；对于B，由，当且仅当即时取等号，故最小值为4，故B错误；对于C，当时，命题“”是真命题，当时，由于，则，解得则实数的取值范围是，故C错；对于D，根据命题的否定定义可得 ，都有，故D正确．故选：AD11．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ）A． B．是奇函数C．在上有最大值 D．的解集为【答案】AB【分析】由抽象函数满足，令可得，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间上的最大值，利用单调性解不等式可得解集.【详解】因为定义在R上的函数满足，令，得，即 ，A正确，令，得，即，函数为奇函数，B正确，设，则，，由题，，即，所以，函数在R上单调递减，所以C错误，不等式可化为，由在R上单调递减，所以，即，不等式解集为，D错误.故选：AB.12．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减;②存在区间，使在上的值域为．那么把称为闭函数．下列结论正确的是（    ）A．函数y＝x是闭函数B．函数y＝x2＋1是闭函数C．函数y＝﹣x2(x≤0)是闭函数D．函数是闭函数【答案】AC【解析】对于，函数是在上单调递增的一次函数，符合新定义；对于，函数在上不单调，反证法验证错误，对于，函数是在，上单调递增的函数，再根据新定义求区间，对于，函数是单调递减函数，再根据新定义求区间是否存在即可．【详解】选项：因为是上的单调递增的一次函数，且在上任意子区间都满足新定义，所以正确；选项：若函数是闭函数，则可设，，，，假设函数递增，则，显然无解，若递减，则，解得显然不成立，所以错误；选项：函数是开口向下的二次函数，且在区间，上是单调递增的函数，令，若是闭函数，则一定有，即，解得满足新定义的闭区间是，，此时，，所以正确；选项：函数在上单调递减，若满足新定义则有，即，解得，又，所以不存在区间满足新定义，所以错误故选：．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 三、填空题13．已知函数，若在上的值域为，则________.【答案】.【分析】根据函数在上单调递增，求出函数的最值，列方程组可解得结果.【详解】由题意知函数在上单调递增，∴，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了由函数解析式得单调性，根据单调性求最值，属于基础题.14．已知，，，则a，b，c的大小关系是________．（用“<”连接）【答案】c < b < a【解析】根据指数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数，幂函数的单调性可知，即c < b < a故答案为：c < b < a15．已知命题p：“，关于x的方程有实数解”.若命题p为真命题，则实数m的取值范围是____．【答案】【分析】方程可化为，根据基本不等式的性质，求出的取值范围，进而可求得m的取值范围.【详解】因为p为真命题，所以方程有实数解，方程，可化为，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即.故m的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算性质、基本不等式的性质，简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16．如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，则矩形花坛面积最小值为________.【答案】320【分析】设，，由已知可得，，可推出.根据面积公式，用基本不等式即可求得最小值.【详解】设，，则根据题意，有，则有，即，.，当且仅当，，且，，即，时等号成立，所以，矩形花坛面积最小值为320.故答案为：320. 四、解答题17．已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合；（2）利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（3）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则；（2）由知，解得，即的取值范围是；（3）由得①若，即时，符合题意；②若，即时，需或．得或，即．综上知，即实数的取值范围为．【点睛】易错点睛：在求解本题第（3）问时，容易忽略的情况，从而导致求解错误.18．已知，且．(1)求的最小值；(2)若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；（2）根据题意结合基本不等式可得，然后求解关于的不等式，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为（2）因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，因为恒成立，所以，解得所以实数的取值范围为19．已知二次函数，为实数．（1）若不等式的解集为，求的值；（2）当时，解关于的不等式．【答案】（1）；（2）答案不唯一，详细见解析．【分析】（1）根据一元二次不等式的解集以及根与系数关系求得的值.（2）对分成三种情况进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【详解】（1）由不等式的解集为可知方程的两根为，则由韦达定理可得，所以.（2）当时，不等式，当时，即时，解得，当时，即时，无解，当时，即时，解得，综上，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20．已知函数（）.（1）若时，求函数的值域；（2）若函数的最小值是1，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化简（），再利用换元法得（）；从而代入求函数的值域；（2）（），讨论以确定函数的最小值及最小值点，从而求.【详解】解：（1）（），设，得（）.当时，（）.所以，.所以，，故函数的值域为.（2）由（1）（），①当时，，令，得，不符合舍去；②当时，，令，得，或，不符合舍去；③当时，，令，得，不符合舍去.综上所述，实数的值为.【点睛】本题考查指数函数的化简转化为二次函数求值域的问题，以及运用换元法求解值域方面的问题，属于较难题.21．设，函数为常数，．（1）若，求证：函数为奇函数；（2）若．①判断并证明函数的单调性；②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）①为上的单调增函数，证明见解析；②.【解析】（1）把代入得，且定义域为，求出并化简并判断与的关系，根据奇函数的定义，即可得出结论；（2）①结合单调性的定义，先设，利用作差法比较与的大小关系即可判断；②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数的取值范围．【详解】解：（1）当时，函数，因为，则，所以定义域为，对任意，，所以是奇函数．（2）①当时，为上的单调增函数，证明如下：证明：时，恒成立，故函数定义域为，任取，，且，则，因为，所以为上的单调增函数.②设命题：存在，，使得成立，下面研究命题的否定：，，恒成立，若为真命题，由①，为上的单调增函数，故，，恒成立．设，，，则，解得，因为为真，则为假命题，所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性定义和判断，以及利用单调性解决不等式恒成立问题从而求参数范围，函数性质的综合应用是求解问题的关键.22．已知函数.（1）求的值；（2）写出函数的单调递减区间（无需证明）；（3）若实数满足，则称为的二阶不动点，求函数的二阶不动点的个数.【答案】（1）；（2），；（3）3个.【分析】（1）根据分段函数解析式，直接代入相应的表达式进行计算即可.（2）分，情况讨论，并根据所得解析式直接判断即可.（3）写出的解析式，然后分，，进行讨论，并计算判断.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为，当时，，递减区间为：；当时，，递减区间为；因此函数的单调递减区间为：，.（3）由题可得：当时，由，，解得或即函数在上有唯一的二阶不动点.当时，由，得到方程的根为，即函数在上有唯一的二阶不动点.当时，由，由，，解得或即函数在上有唯一的二阶不动点.综上所述，函数的二阶不动点有3个.【点睛】思路点睛：第（1）问要代入相对应的解析式；第（2）在于分类讨论并掌握常见函数的单调性；第（3）问在于写出函数的解析式，并进行分类讨论.