2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合， ， ，则

A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}

【答案】D

【分析】先求，再求．

【详解】因为，

所以.

故选D．

【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．

2．已知命题：，，则命题的否定为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【分析】根据量词命题的否定规则求解即可.

【详解】根据量词命题否定规则，对于 ，否定为 ，对于  ，否定为  ；

故选：C.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.

【详解】由，可得，即；

由，可得或，即；

∴是的真子集，

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

4．已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的定义，即可求出a，b，得出结果.

【详解】因为为定义在上的偶函数，

所以定义域关于原点对称且有，

所以且，

解得，，

所以，

故选：B

5．关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由不等式解集可求，代入求解即可.

【详解】由题意知：，则有，

∴，解之得，

故选：B

6．若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的运算法则求出，结合对数的换底公式即可得出结果.

【详解】由题意知，，

所以，

所以.

故选：C

7．设是定义在R上的奇函数，在上递减，且， 则不等式的解集为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到函数值的正负范围，讨论和，得到答案.

【详解】是定义在R上的奇函数，在上递减，且，

故函数在上时，，在上，在上，在上.

，当时，，故；当时，，；

易知时不成立.

综上所述：或.

故选：.

【点睛】本题考查了解不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力.

8．若函数在区间上为增函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对a分类讨论，再根据二次函数的性质分析即可.

【详解】对于 在 单增，若 ， 是增函数，满足题意；

若 ，则有 ，即 ，

综上；

故选：A.

二、多选题

9．下列各组函数中，两个函数不是同一函数的有（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】BC

【分析】利用函数的三要素：定义域，值域和对应法则逐项进行判断即可.

【详解】对于A，与的定义域，对应法则和值域均相同，故两个函数是同一个函数，故选项A不满足题意；

对于B，因为的定义域为，而函数的定义域为，故两个函数不是同一个函数，故选项B满足；

对于C，因为的定义域为，值域为，而函数的定义域为，值域为，故两个函数不是同一个函数，故选项C满足；

对于C，因为与的定义域，对应法则和值域均相同，故两个函数是同一个函数，故选项D不满足题意；

故选：BC.

10．函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（    ）

A．函数的定义域为

B．函数的值域为

C．当时，有两个不同的值与之对应

D．函数的减区间为

【答案】BC

【分析】根据图像逐项分析即可.

【详解】对于A，由图可知，定义域为 ，错误；

对于B，y轴左边图像的值域是 ，右边是 ， ，正确；

对于C，当 ，直线 与y轴左边的图像有一个交点，与y轴右边的图像也有一个交点，正确；

对于D，减区间是 和 ，不能表示为 ，错误；

故选：BC.

11．已知命题：，，命题： ，，若命题与命题一真一假，则实数的可能值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】考虑p真q假和p假q真两种情况，分别求解，再逐项判断即可.

【详解】如果p真q假，对于 ，有 ，对于 ， 为假，

则 ， 为真，即 ， ，所以当p为真q为假时， ；

如果p为假q为真，则 ，使得 成立，即 ，

q为真，则 ，所以 ；

综上，p和q一真一假，则 或 ，

对于A， ，可以；对于B， ，不可以；对于C， ，可以；对于D，不可以；

故选：AC.

12．下列说法正确的是（    ）

A．，，，则

B．，，，则

C．函数的最小值是2

D．时，

【答案】ABD

【分析】对于A，将多项式变为，结合不等关系求得最小值；对于B，根据求得最小值；对于C，将函数化为，因为，利用函数的单调性判断最小值；对于D，将分式形式变为，利用基本不等关系求得最大值.

【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，故A正确；

对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确；

对于C，，令，结合函数的性质知，函数在上单增，最小值为，故C错误.

对于D，时，，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．函数的定义域为_____________．

【答案】(-2，2)##

【分析】解不等式即可得出函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得.

因此，函数的定义域为.

故答案为：

14．已知函数 ，若在R上单调递增，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据增函数的定义求解即可.

【详解】由题意，当 时， 是增函数；

当 时， 是增函数，则必有 ，即 ；

故答案为： .

15．奇函数是定义在上的减函数，若，则实数m的取值范围为________．

【答案】

【解析】根据函数的奇偶性，把不等式转化为，再根据函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，原不等式可化为，

因为是奇函数，所以，

因为是定义在上的减函数，则满足，解得，

即实数m的取值范围是．

故答案为：．

16．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度（单位：）可以表示为（其中是实数，表示燕子的耗氧量的单位数），据统计，燕子在静止的时候其耗氧量为个单位.若燕子为赶路程，飞行的速度不能低于，其耗氧量至少需___________个单位

【答案】80

【分析】根据给定条件求出常数a，再建立不等关系即可得解.

【详解】依题意，时，，于是得，解得，即，

由得：，即，解得，

所以其耗氧量至少需80个单位.

故答案为：80

四、解答题

17．化简与求值：

(1)

(2).

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）根据指数的运算法则及性质运算求解；

（2）根据对数的运算法则及性质求解.

【详解】（1）原式

.

（2）原式

.

18．已知集合，：

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入，得到集合，即可求解；

（2）由题意可知：是的真子集，即可得到关于的不等式组，求解即可得到结果.

【详解】（1），∴，∴或，

∴.

（2）由题意知：由能得到，而由不能得到，

故：是的真子集，

当时，，即；

当时，有且等号不同时成立，即：，

综上：的取值范围是：.

19．

(1)已知正数、满足，求 的最小值；

(2)求函数的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用凑项法与基本不等式中“1”的妙用即可求得 的最小值；

（2）将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值.

【详解】（1）因为，，

所以，，

所以

，

当且仅当，且，即时，等号成立，

故的最小值为；

（2）因为，所以

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故函数的最小值.

20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求函数在上的解析式；

(2)用单调性定义证明函数在区间上是增函数.

【答案】(1) ;(2)证明见详解.

【解析】(1)根据奇函数的性质,可知,再利用时的解析式,求出时的解析式即可;

(2)直接利用定义法证明即可.

【详解】(1)是定义在上的奇函数,故,

当时,,

所以当时,,,

所以,

因此,;

(2)任取,

则

,

,

,则

所以,即,

所以函数在区间上是增函数.

【点睛】本题考查奇偶性的应用以及定义法证明单调性,难度不大.利用奇偶性求解析式时,注意时的情况,不要遗漏.

21．现有三个条件：①对任意的都有；②不等式的解集为；③函数的图象过点.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解(请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置)

已知二次函数，且满足________(填所选条件的序号).

（1）求函数的解析式；

（2）设，若函数在区间上的最小值为3，求实数m的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）条件①，求出代入根据恒成立可得；条件②由一元二次不等式解的性质可得；条件③代入可得；分别根据选择①②，①③，②③，均可通过联立方程组可得结果；

（2）求出函数的对称轴，将对称轴和区间的端点进行比较，根据函数的单调性列出关于的方程解出即可.

【详解】（1）条件①：因为，

所以

，

即对任意的x恒成立，

所以，解得.

条件②：因为不等式的解集为，

所以，即.

条件③：函数的图象过点，所以.

选择条件①②：，，，此时；

选择条件①③：，

则，，，此时；

选择条件②③：，

则，，，此时.

（2）由（1）知，其对称轴为，

①当，即时，

，解得；

②当，即时，

，解得(舍)；

③当，即时，

，无解.

综上所述，所求实数m的值为.

【点睛】二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

22．第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西､C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.

(1)写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）

(2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.

【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数；

（2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得.

【详解】（1）由题意知，当时，，

所以，

当时，；

当时，，

所以；

（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，

所以当时，有最大值，最大值为1500；

当时，由基本不等式，得

，

当且仅当时取等号，

所以当时，有最大值，最大值为1550；

因为，

所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.