2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由集合运算法则计算.

【详解】因为，所以或，则．

故选：D．

2．已知命题：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得解.

【详解】把存在改为任意，把结论否定，为，.

故选：C

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数解析式，列出满足的条件，解得答案.

【详解】由已知，解得且，所以的定义域为，

故选：C．

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件．

故选：A．

5．中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（    ）

A．， B．与

C．与 D．，

【答案】C

【分析】根据给定条件结合同一函数的意义逐一分析各选项即可判断作答.

【详解】对于A，函数定义域是R，定义域是，A不是；

对于B，函数定义域是R，定义域是Z，B不是；

对于C，函数定义域R，定义域是R，与的对应法则相同，C是；

对于D，函数定义域是，定义域是，D不是.

故选：C

6．函数的图象大致形状是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题得，再利用二次函数的图象即得.

【详解】，由二次函数的图象知选C．

故选：C

7．已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先设，则，先求，再根据函数是偶函数，求.

【详解】设，

则，

，

是偶函数，

.

故选：B

8．已知函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,则实数的取值范围是(   )

A． B． C． D．R

【答案】A

【分析】根据二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，函数表示开口向上，且对称轴的方程为，

要使得函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,

则，解得，故选A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、多选题

9．已知集合，则下列表述正确的有（    ）

A． B．

C． D．满足且的集合的个数为8

【答案】BCD

【分析】根据集合的定义确定集合中的元素，然后再判断各选项．

【详解】因为，，，所以中元素个数至少有1，2，至多为，所以集合的个数等于子集的个数，即．

故选：BCD．

10．已知实数，，且，则下列不等式不一定成立的（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用不等式的同向可加性可判断A正确；取特值举反例可判断BCD错误；

【详解】A选项，由不等式同向可加性，可得，故A正确；

B选项，，则，故B错误；

C选项，，则，故C错误；

 D选项，，则，故D错误，

故选：BCD

11．已知，则（    ）

A．有最大值 B．有最小值

C．有最大值50 D．有最小值50

【答案】AC

【分析】利用基本不等式计算即可，需要检验等号成立的条件.

【详解】由，，得，所以，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故A正确，B错误；由，得，当且仅当时，等号成立,，有最大值50，故C正确，D错误.

故选：AC

12．德国数学家狄里克雷（，，）在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为.下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（    ）

A． B．的值域为

C．为奇函数 D．

【答案】ABD

【解析】根据狄利克雷函数的定义判断．

【详解】由题得，则，A正确；

由解析式得的值域为，B正确；

因为，所以，为偶函数，C不正确；

因为，所以，D正确．

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义．解题关键是正确理解并应用新定义函数，本题新函数实质上是一个分段函数，只是这个“段”不是我们通常意义上一个区间而已，它是根据有理数和无理数分类的．因此我们在求函数值时要区分自变量是有理数还是无理数即可．

三、填空题

13．已知，若且，则的最大值为___________.

【答案】##0.25

【分析】根据求解即可.

【详解】因为且，，

当且仅当时取等号，

所以，

所以的最大值为.

故答案为：.

14．已知，则__________．

【答案】

【分析】设，求出，代入已知式可得．

【详解】设，则，因为，所以，即

故答案为：．

15．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为___________.

【答案】

【解析】由题意可得，从而可得答案.

【详解】由于一元二次不等式的解集为

则,解得

故答案为：1

16．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为__________．

【答案】

【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出，再由偶函数对称性及函数单调性得，求解即可

【详解】由于函数是定义在上的偶函数，则定义域关于原点对称，所以，得，所以函数的定义域为．

由于函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减．

由于函数为偶函数，则，

由，可得，则，解得或，因此不等式的解集为．

故答案为：

四、解答题

17．设集合．

(1)用列举法表示集合；

(2)若是的必要条件，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解方程后得集合，

（2）由推出关系得后列式求解，

【详解】（1），即或，；

（2）若是的必要条件，则，

，

解得或，又，所以，

得．

18．设函数，且．

（1）判断的奇偶性，并说明理由；

（2）用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增．

【答案】（1）是奇函数，理由见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）由已知代入可求，求出函数的解析式，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；

（2）利用单调性的定义，先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断．

【详解】由（1），得，解得：，故，

（1）的定义域是，，，关于原点对称，

且，

故是奇函数；

（2）设，则，

，

，

，，

，

在区间，上单调递增．

19．已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】分别求出命题和命题为真命题时的取值范围，再根据题意即可得出.

【详解】若为真命题，当时，可得恒成立，满足题意；

当时，则，解得，

当为真命题，实数的取值范围是.

若为真命题，则有，解得，

当为真命题，实数的取值范围是.

中有且仅有一个为真命题，

当为真命题，为假命题时，实数的取值范围是;

当为假命题，为真命题时，实数的取值范围是.

综上，当中有且仅有一个为真命题时，实数的取值范围是.

20．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1．

(1)求，的值；

(2)若正实数，满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据最值建立方程后可求解；

（2）运用基本不等式可求解.

【详解】（1）由，可得其对称轴方程为，

所以由题意有，解得.

（2）由（1）为，

则，

（当且仅当时等号成立）.

所以的最小值为.

21．如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)铺草坪，造价为80元/m2.

（1）设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，求出S关于x的函数关系式；.

（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值.

【答案】（1）；（2）当AD的长为米时，总造价有最小值11800元.

【解析】（1）设，，根据正方形、长方形的面积公式得出，再由相应单价乘以面积得出S关于x的函数关系式；

（2）由基本不等式求出最小值即可.

【详解】解：（1）设，则，所以所以，

所以

（2）因为

当且仅当，即时，(元)

答：当AD的长为米时，总造价有最小值11800元.

22．设函数．

(1)当时，在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，并写出的单调区间（无需证明）；

(2)若，求函数的最小值．

【答案】(1)图象见解析，的单调减区间为，单调增区间为

(2)答案见解析

【分析】当时，求出的解析式，画出图像，由图像即可写出单调区间.

先根据的不同范围分类讨论，求出对应的解析式，再根据单调性讨论最小值.

【详解】（1）当时， ，

的大致图象如图所示：

由图可知的单调减区间为，单调增区间为．

（2）①当时，

∵，

∴，

∴,

∵，

在上单调递增，

∴；

②当，即时，

∵，

∴，

∴．

∵，

在上单调递减，

∴；

③当时，

，

∵，

∴在上递减，

∴在上的最小值为,

∵，

∴，

在上递增，

∴当时，，

∴当时，．

综上，当时，；

当时，；

当时，．