2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求得集合，结合图象求得正确结论.

【详解】，所以，

图象表示集合为，

，.

故选：B

2．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数的运算及指数函数的单调性即可求解.

【详解】由题意可知，，，

，

又函数在上是单调递增函数，

因为，所以，故，

故选:C．

3．已知函数的定义域，则函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出的定义域，再求使有意义的自变量范围即可．

【详解】因为函数的定义域，

所以，即定义域为，

由题意，解得且．

所以定义域为．

故选：C．

4．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用题意得到，解出的值，代回得到，通过单调性可以得到最大值

【详解】由题意可知，解得，，所以，易得当越大时，越大，

所以当时，达到安静环境要求下的取得最大值．

故选：B．

5．已知是定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求在上的解析式，再分段可求的解集.

【详解】设，则，故，

而，又，

故，

又等价于或或，

故或，

故选：B.

6．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性求解.

【详解】函数的图象，如图所示：

由图象知：函数在R上单调递增，

所以转化为，

解得 ，

故选；B

7．已知函数，．若，，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，函数的值域是函数的值域的子集，利用单调性求出函数与函数的值域即可求解.

【详解】解：因为函数在上单调递减，所以，

又函数在上单调递增，所以，

因为，，使得，

所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，

故选：B.

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合指数函数性质求得的值域，然后再根据新定义求的值域．

【详解】，显然，，

所以的值域是，

当时，，

时，，当时，

所以所求值域是．

故选：C．

二、多选题

9．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是2 B．若a，且，则

C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0

【答案】BD

【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断

【详解】对于A，当时，，故A错误，

对于B，由基本不等式知当，则，故B正确，

对于C，令，方程无解，则等号不成立，故C错误，

对于D，当时，，当时等号成立，故函数的最大值为0，故D正确，

故选：BD

10．下列说法正确的有（    ）

A．命题“”的否定是"”

B．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是

C．设，则“”的充要条件是“都不为1”

D．已知，，则的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据命题的否定即可判断A，根据恒成立转化成最值问题即可判断B,根据充要条件的判断即可求解C,根据基本不等式即可求解D.

【详解】命题“”的否定是"”,故A对，

，则，故B错误，，故C对，

，当且仅当时等号成立

故选：ACD

11．若，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】先由变形为，构造函数，利用其单调性，得到x，y的大小关系，再逐项判断.

【详解】由得，令，则，

因为在R上都是增函数，所以在R上是增，所以，故A正确；

当时， ，故B错误；

当时，，当 时，不成立，故C错误；

因为在R上递减，且，所以，即，故正确；

故选：AD

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的定义域为

B．当函数的图象关于点成中心对称时，

C．当时，在上单调递减

D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0

【答案】ACD

【分析】对A：由即可判断；对B：由，可得的图象关于点成中心对称，从而即可判断；对C：，且，即可判断；对D：由函数和图象关于对称，则与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，从而即可求解判断.

【详解】解：对A：要使函数有意义，则，即，

∴的定义域为，所以选项A正确；

对B：∵，

∴的图象关于点成中心对称，

∴当函数的图象关于点成中心对称时，，所以选项B不正确；

对C：由选项B知，当时，，

∴在单调递减，所以选项C正确；

对D：∵，，

∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，

∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，

，所以选项D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．不等式的解集是___________.

【答案】

【分析】由题设可得求解集即可.

【详解】由题设，则，解得，

所以解集为.

故答案为：

14．已知函数，记函数（其中）的4个零点分别为，，，，且，则的值为___________.

【答案】8

【分析】将函数的零点转化为与图象交点的横坐标，然后根据二次函数的对称性得到，结合的解析式和图象可得，，然后求即可.

【详解】

函数的零点可以看做与图象交点的横坐标，和的图象如上图所示，

根据二次函数的对称性得到，

由图可知，，，则，所以.

故答案为：8.

15．已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.

【答案】或

【分析】将复合函数看做，，然后分和两种情况讨论内外函数的单调性，根据单调性列不等式求解即可.

【详解】复合函数可以看做，，

当时，外函数单调递增，所以内函数在上单调递减，则，解得；

当时，外函数单调递减，所以内函数在上单调递增，则，解得；

综上所述，或.

故答案为：或.

16．若对任意的均有成立，则称函数为函数和函数在区间D上的“N函数”.已知函数，，，且是和在区间上的“N函数”，则实数k的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据题意得到且，即且，然后通过求和即可得到的取值范围.

【详解】根据题意得，当时，，，即①，②，

①式可整理为，则；

②式可整理为，则，而，当且仅当，即时等号成立，所以，

综上所述，.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.

(1)若函数为奇函数，求实数m的值.

(2)当时，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由奇函数求参数m，并验证.

（2）由（1）易知为奇函数，结合即可求结果.

【详解】（1）由定义域为R且为奇函数，则，可得，

所以，则满足，

所以.

（2）当时，令，则，

由（1）知为奇函数，则，

所以.

18．已知集合，集合.

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，应用集合的交、补运算求集合.

（2）由充分不必要关系知，讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围.

【详解】（1）当时，，则或，

所以或.

（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合A真包含于集合B.

当时，得：；

当时，设，则需，解得.

综上，.

19．设函数，其中a为常数．

(1)若对任意，，当时，，求实数a的取值范围；

(2)在（1）的条件下，求在区间[1，3]上的最小值，并求的最小值．

【答案】(1)

(2)，的最小值为－36.

【分析】(1)结合已知条件可知在定义域上为增函数，然后结合一元二次函数和一次函数的性质即可求解；(2)结合(1)的结论，对参数分类讨论并结合一元二次函数的单调性即可求解.

【详解】（1）因为的对称轴为，且开口向上，

由题意可知，函数在定义域上为增函数，

则实数a应满足，解得，

故实数a的取值范围为.

（2），其图像的对称轴为直线，且开口向下，

由(1)得，

①当，即时，，

因为在上单调递减，

此时；

②当，即时，在上单调递减，

此时，

综上所述，，且的最小值为－36．

20．在治疗新型冠状病毒引起的肺炎的过程中，需要某医药公司生产的某种药物，此药物的年固定成本为250万元，每生产x千件需投入成本.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件药品售价为0.05万元.在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？该公司决定将此药品所获利润的1%用来购买防疫物资捐赠给医疗机构，当这一药品的生产中所获年利润最大时，可购买多少万元的防疫物资？

【答案】(1)

(2)（千件）时生产中所获利润最大，此时可购买10万元抗疫物资.

【分析】（1）讨论、分别求得对应解析式，再写出的分段函数形式即可；

（2）应用二次函数、分式型函数的性质分别求在不同分段上的最大值，比较大小，即可知利润最大时所购买的防疫物资费用.

【详解】（1）当时，；

当时，，

因此

（2）当时，，故，

当时，，当，即时所获利润取到最大值.

因此当（千件）时生产中所获利润最大，此时可购买万元抗疫物资.

21．已知函数对一切实数都有成立，且，.

（1）求的值和的解析式；

（2）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）先令，，可解得，然后在中，令则可得到的解析式；

（2）先将的表达式化至最简得，然后利用换元法，将问题转化为二次方程根的分布问题求解.

【详解】解：（1）令，得，

∵，∴，

令得，即.

（2）由题意可知，

所以，

即

所以方程可化为：

，其中，即，

令，则方程化为，

∵方程有三个不同的实数解，

∴由的图象知，有两个根和，且或

记，

则，此时，

或，此时无解，

综上实数的取值范围是.

【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查函数与方程思想的运用、数形结合思想的运用，难度较大.一般地，对于已知方程的根的个数求参数的取值范围问题，解答通法如下：

（1）分析函数的图象及性质；

（2）换元，令，则，然后根据原方程的个数结合的图象分析方程的根的分布情况；

（3）利用二次方程根的分布问题求解参数的取值范围.

22．定义在上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（Ⅱ）若是上的有界函数，且的上界为3，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，求函数在上的上界的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（3，+∞），不是有界函数．（Ⅱ）﹣5≤a≤1；（Ⅲ）当时，T的取值范围是；当时，T的取值范围是[，）

【分析】（Ⅰ）当a＝1时，易知f（x）在（0，+∞）上递增，有f（x）＞f（0）＝3，再由给出的定义判断；

（Ⅱ）根据函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x+4x|≤3，换元以后得到关于t的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a的范围．

（Ⅲ）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，T不小于最大值，从而解决．．

【详解】（Ⅰ）当a＝1时，

因为f（x）在（0，+∞）上递增，所以f（x）＞f（0）＝3，

即f（x）在（0，+∞）的值域为（3，+∞）故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立

所以函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．

（Ⅱ）由已知函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a2x+4x|≤3

设t＝2x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t2|≤3

当0时，1且2+a≤3得﹣2≤a＜0

当或

即a≤﹣2或a≥0时，得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1

综上有﹣5≤a≤1

（Ⅲ），

∵m＞0，x∈[0，1]

∴g（x）在[0，1]上递减，

∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

①当，即时，，

此时，

②当，即时，，

此时，

综上所述，当时，T的取值范围是；

当时，T的取值范围是[，）

【点睛】本题考查函数的综合问题，关键是利用条件中新定义的有界函数的意义来解题，主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，属于较难题型．