2022-2023学年辽宁省大连市第二十三中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省大连市第二十三中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（    ）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024

【答案】C

【分析】根据直线的两点式方程即可求解.

【详解】由题意知不与轴平行，故由直线的两点式方程可得，解得：，

故选：C

2．下列说法正确的是（    ）

A．平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示

B．直线与轴的交点到原点的距离为

C．在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为

D．不能表示经过点且斜率为的直线方程

【答案】D

【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系及直线的方程判断各选项即可．

【详解】解：对于A：斜率存在的直线的方程可以用斜截式表示，故A错误；

对于B：直线与轴的交点到原点的距离为，故B错误；

对于C：在轴、轴上的截距分别为，且不为0的直线方程为，故C错误；

对于D：由方程可知，，即方程表示不过点且斜率为的直线方程，故D正确；

故选：D．

3．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（    ）

A．若， B．若， C．若， D．若，

【答案】A

【分析】由已知，可根据题意，选项A，时，此时，所以，该选项错误，选项B，；选项C，；选项D，，即可判断.

【详解】由已知，，分别为直线，的方向向量，，分别为平面α，β的法向量，

选项A，，故该选项错误；

选项B，，故该选项正确；

选项C，，故该选项正确；

选项D，，故该选项正确.

故选：A.

4．如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据斜率的定义即可求解.

【详解】由图可知：的倾斜角为锐角，且比倾斜程度更大，而的倾斜角为钝角，

故，

故选：D

5．在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可判断出答案.

【详解】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，

由此可得A，B，D不正确，

选项C：，所以四点共面，

故选：C.

6．若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据直线的斜率及截距即可求解.

【详解】由，，，

知直线斜率，在轴上截距为，

所以此直线必不经过第三象限.

故选：C

7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】D

【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.

【详解】由关于的对称点为，

所以，可得，即对称点为，又

所以“将军饮马”的最短总路程为.

故选：D

8．如图，在正方体中，点是线段（含端点）上的动点，则下列结论错误的是（    ）

A．存在点，使

B．异面直线与所成的角最小值为

C．无论点在线段的什么位置，都有

D．无论点在线段的什么位置，都有平面

【答案】B

【分析】当点与点重合时，有，即可判断A选项；建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，进而得，，在根据异面直线夹角的向量求解方法求解即可判断B选项；结合B选项讨论，证明即可判断C选项；证明平面平面，再结合面面平行到线面平行可判断D选项.

【详解】解：对于A，当点与点重合时，，，所以，即，故A正确；

对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，

设，则，，

所以，，当且仅当，即点是线段中点时，等号成立，

所以异面直线与所成的角的余弦值，

所以的最小值小于，故B不正确；

对于C，结合B选项的讨论，，，则，所以，故C正确；

对于D，在正方体中，有，

因为平面，平面

所以，平面，平面，

因为，平面，

所以平面平面

因为平面，所以，故D正确.

故选：B

二、多选题

9．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（    ）

A．的一个方向向量为

B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为

C．与直线垂直

D．与直线平行

【答案】AC

【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，

它与直线重合，D错误；

，因此是直线的一个方向向量，A正确；

在直线方程中令得，令得，

直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；

由于，C正确

故选：AC

10．已知空间三点 ， ， ，设,则下列结论正确的是（    ）

A．若 ，且 ，则

B．和的夹角的余弦值

C．若 与z轴垂直，则 应满足

D．若 与 互相垂直，则k的值为2

【答案】BC

【分析】对于A，结合向量平行的性质，以及向量模公式，即可求解，对于B，结合向量的夹角公式，即可求解，对于C,D由向量垂直的性质，即可求解．

【详解】对于A，，1，，，0，，，

，，

，，解得，

故或，故A错误，

对于B，，0，，，1，，，0，，，，

，，，

，，

，故B正确，

对于C，，，

，，，

与轴垂直，

，即，故C正确,

对于D，，，

，，

与互相垂直，

，即，解得或，故D错误，

故选：BC

11．下列说法中，正确的有（    ）

A．点斜式可以表示任何直线

B．直线在y轴上的截距为

C．点到直线的的最大距离为

D．直线关于对称的直线方程是

【答案】BC

【分析】根据点斜式的应用范围即可判断A；，求出，即可判断B；求出直线所过的定点，再求出定点与点的距离，即可判断C；求出交点坐标，在求出直线直线上的点关于直线对称的点的坐标，即可判断D.

【详解】解：对于，点斜式不能表示斜率不存在得直线，故A错误；

对于B，令，则，

所以直线在y轴上的截距为，故B正确；

对于C，直线化为，

令，解得，

所以直线过定点，

则点到直线的的最大距离为，故C正确；

对于D，联立，解得，

即直线与直线的交点为，

设直线上的点关于直线对称的点，

则，解得，即，

所以所求直线方程为，即，故D错误.

故选：BC.

12．如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（    ）

A．平面

B．平面

C．存在点，满足

D．的最小值为

【答案】AD

【分析】对于A，在平面找一条直线，使其与平行即可；

对于B，先由证明四点共面，再证四点共面，进而能判断直线与平面的位置关系；

对于C，以为正交基底，建立空间直角坐标系，用坐标运算即可；

对于D，把三棱锥的正面和上底面展开，即能找到的最小值，构造直角三角形求解即可.

【详解】对于A，连接，分别是棱的中点，且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面在平面内，所以平面，故A正确；

对于B，易知，所以四点共面，又点，所以四点共面，平面，而平面，直线平面，故B不正确；

对于C，以为正交基底，建立如图1所示的空间直角坐标系.

则，，，

，，，

，

若，则，，在线段延长线上，而不在线段上，故C不正确；

对于D，把图1的正面和上底面展开如图2所示，连接即为所求，过做PG垂直于且与其相交于，与相交于，易得，，

，，在中，

，，故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．在四面体ABCD中，点O是的重心，可以用、、表示为______．

【答案】

【分析】延长交于点，连接，根据空间向量线性运算的计算法则计算可得；

【详解】解：延长交于点，连接，则为的中点，

因为点O是的重心，所以，

所以

故答案为：

14．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据题意结合图像，求出的斜率即可得到结果.

【详解】

，，

在射线逆时针旋转至射线时斜率逐渐变大，

直线与线段总有公共点，

所以的取值范围为．

故答案为:

15．若直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为______．

【答案】或

【分析】讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式列方程求解即可.

【详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，显然点，到直线l的距离相等，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，

根据题意，得，即，可得，解得，

∴直线l的方程为．

综上，直线l的方程为或．

故答案为：或．

16．如图在一个的二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若，，，则______．

【答案】

【分析】利用表示，根据数量积的性质求即可.

【详解】由已知可得，所以，

因为线段AC、BD均与棱AB垂直，所以，，

因为二面角的大小为，所以，

所以，

因为，，，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．已知直线：，：，

(1)若，求实数m的值；

(2)若，求实数m的值及此时两平行直线间的距离．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1），则，由此即可得解；

（2），则，注意排除重合这一情况，再根据两平行直线的距离公式即可得解.

【详解】（1）解：因为，

所以，解得；

（2）解：因为，

所以，解得或，

当时，直线：，：，

此时两直线的距离为，

当时，直线：，：，

此时两直线的距离为.

18．已知直线的方程为，直线在轴上的截距为，且.

求直线与的交点坐标；

若直线经过与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程.

【答案】；或.

【分析】利用，可得斜率，利用点斜式可得直线的方程，与直线与的交点坐标；

当直线经过原点时，可得方程；当直线不经过原点时，设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，其方程为，把交点坐标代入，即可求出的方程.

【详解】解：，.

直线的方程为，即.

联立，解得.

直线与的交点坐标为.

当直线经过原点时，可得方程.

当直线不经过原点时，设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，

其方程为，把交点坐标代入可得，

解得.可得方程.

综上可得直线的方程为或.

【点睛】本题考查相互垂直的直线斜率之间的关系，考查截距式，考查推理能力和计算能力，属于基础题.

19．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．

(1)求线段的长；

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

【答案】（1）（2）

【分析】(1) 设，得到展开得到答案.

(2)计算，，利用夹角公式得到答案.

【详解】（1）设，则，，，

，

,

线段的长为.

（2）设异面直线与所成的角为，则

,

.

.

故异面直线与所成角的余弦值为.

【点睛】本题考查了线段长度，异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20．已知直线l：．

(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；

(2)若直线l与直线交于点P，与直线交于点Q，且线段PQ的中点是（1）中的定点M，求直线l的方程．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）将直线的方程化为，令，即可得出答案；

（2）设，由（1）可得，代入直线求得，再根据直线的两点式方程即可得解.

【详解】（1）证明：直线的方程化为，

令，解得，

所以不论m为何实数，直线l恒过一定点；

（2）解：由题意设，

因为是线段PQ的中点，则，

又点在直线上，

则，解得，

所以，

所以直线l的方程为，即.

21．如图，四边形ABCD为菱形，，AC与BD相交于点O，平面ABCD，平面ABCD，AB＝AE＝2，G为EF中点．

(1)求证：平面ABE；

(2)求C到平面BDE的距离；

(3)当直线CF＝5时，求OF与平面BDE所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）证明，再证明，根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）连接，根据，利用等体积法即可得解；

（3）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

在菱形中，，则为的中点，

又因为G为EF中点，所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）解：连接，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，则，

所以，

在菱形中，，则为等边三角形，

所以，则，

则，，

，

设C到平面BDE的距离为，

由，得，解得，

即C到平面BDE的距离为；

（3）解：由（1）得平面ABCD，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，

则，

设平面的法向量，

则有，可取，

则，

即OF与平面BDE所成角的正弦值为，

所以OF与平面BDE所成角的余弦值为.

22．如图，四边形ABCD为梯形，，，，点在线段上，且．现将沿翻折到的位置，使得．

(1)证明：；

(2)点是线段上的一点（不包含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；

（2）利用线面垂直的判定定理证得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法即可求解.

【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为梯形．，，，

所以，，，，，，

即，，

在中，过P作，垂足为F，连接BF．

在中，，，所以．

在中，，，，

由余弦定理得，

所以，所以，所以，即．

又，平面BFP，所以平面．

又 平面，所以．

（2）在△FCE中，，，，，．

又，，平面，平面．

又平面，．

又，，平面，平面．

以B为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，．

设，

则．

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则．

设平面的一个法向量为，

则，即

令，则．

因为二面角的余弦值为，

所以，解得或（舍），

所以存在点M，使得二面角的余弦值为，此时．