2022-2023学年辽宁省六校协作体高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年度（上）六校协作体高一期中考试

数学试题

考试时间：120分钟  满分150分

第一命题校：葫芦岛市第一高级中学  第二命题校：北镇高中

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 己知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用二次不等式求解，可得集合，由题意，根据元素与集合的关系，可得答案.

【详解】由，整理可得，解得，则，；

故选：C.

2. 函数的零点所在的区间可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用零点存在性定理，可得答案.

【详解】，，，，，

由，则函数的零点存在的区间可以是，

故选：B.

3. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别利用定义判断奇偶性，再由单调性判断即可.

【详解】令，定义域关于原点对称，，即为偶函数，当时，在上单调递减，故A正确；

令，定义域关于原点对称，，即为奇函数，故B错误；

的对称轴为，在上单调递增，故C错误；

在上单调递增，故D错误；

故选：A

4. 设函数，则的值是（    ）

A. 2022 B.  C.  D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】将自变量代入解析式求解即可.

【详解】

故选：A

5. 使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出成立的充要条件为：，再由必要不充分条件的定义逐一判断即可.

【详解】解：由，可得，

所以，解得，

即成立的充要条件为：，

对于A，由，得，是“”成立的充分不必要条件；

对于B，由，得，是“”成立的充要条件；

对于C，是 “”成立的必要不充分条件；

对于D，，得或，是 “”成立的既不充分也不必要条件.

故选：C.

6. 设，用表示不超过最大整数，则满足不等式解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由一元二次不等式的解法结合题设条件求解即可.

【详解】由不等式，解得，因为表示不超过的最大整数，所以，故不等式解集为

故选：C

7. 若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论的值，再由单调性以及奇偶性解不等式.

【详解】定义在上的奇函数在单调递减

所以在单调递减，且，

当时，可变为，，即，解得；

当时，，则可变为，，即，不满足；

当时，，满足题意；

当时，，满足题意；

当时，，可变为，，，解得；

综上，的解集

故选：B

8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】由题意，令，则为其值域的一个子集，

当时，，令，解得，故当时，；

当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意；

当时，，该函数为开口向上的二次函数，令，则，整理可得，即，解得或，此时符合题意.
综上，可得.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9. 下列选项中，正确的是（    ）

A. 若a，b为实数，且，那么

B. 若a，b为实数，且，那么

C. 若a，b，c为实数，且，那么

D. 若a，b，c均为正实数，那么

【答案】BD

【解析】

【分析】利用作差法，结合取特殊值检验，以及函数单调性，可得答案.

【详解】对于A，，当时，，，则，即，故A错误；

对于B，由函数为单调递增函数，则当时，，故B正确；

对于C，当时，，不等式都成立，故C错误；

对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.

故选：BD.

10. 已知函数，则下列选项正确的有（    ）

A.

B. 函数有两个不同零点

C. 函数有最小值，无最大值

D. 函数的增区间为

【答案】AC

【解析】

【分析】由换元法求出，求可判断A；令求出的值可判断B，由二次函数的性质求出的单调性和值域可判断C、D.

【详解】令，所以，

所以，

所以，

对于A，，故A正确；

对于B，令，解得：或，

因为，所以函数有一个不同零点，故B不正确；

对于C，，

当时，有最小值，无最大值，故C正确；

对于D，，

所以的单调增区间为：，故D不正确.

故选：AC.

11. 若函数在上是单调函数，则的值可能是（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】BCD

【解析】

【分析】依题意可得在上单调递增，即可得到，解得即可.

【详解】解：因为函数在上是单调函数，

当时，函数在上单调递增，

所以在上单调递增，

所以，解得，即，故符合题意的有B、C、D；

故选：BCD

12. 已知正实数，满足，若方程有解，则实数的值可以为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】AD

【解析】

【分析】依题意可得，令，，根据复合函数的单调性判断的单调性，即可得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】解：因为正实数，满足，

即，

即，

即，

令，，

显然与、在上单调递增，

所以在上单调递增，

则在上单调递增，

因为，

因为，所以，

若，则，

所以，显然不满足，

所以，

即，

所以，即，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

即，

所以，因为，所以；

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分.

13. 已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是______.

【答案】

【解析】

【分析】由的定义域得出，进而由得出所求.

【详解】因为函数的定义域为，所以，

即，解得

故函数，则函数的定义域是

故答案为：

14. 关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据不等式的解集，可得方程的根与参数与零的大小关系，利用分式不等式的解法，结合穿根法，可得答案.

【详解】由题意，可得方程的解为，且，

由不等式，等价于，整理可得，解得，

故答案为：.

15. 已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则______.

【答案】15

【解析】

【分析】令，判断其奇偶性，由奇函数的性质得出所求.

【详解】

令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即

故答案为：

16. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则实数a的取值范围是______.

【答案】.

【解析】

【分析】令，根据题设条件探求出方程有4个互不相同的实根，再借助一元二次方程实根分布即可作答.

【详解】函数的图像如下图所示

令，原方程化为：，令，

观察图象知，直线与的图象最多有4个公共点，即关于的方程最多4个根，

而关于的方程有个不相等的实数根，则关于的方程有4个根，，

并且关于t的方程在上有两个不等实根，

于是得：，解得：，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】关键点睛：关于t的方程在上有两个不等实根，解决这个问题题的关键在于由一元二次方程的根的分布，得出实数的范围.

四、解答题：本题共6小题，计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，，实数集.

（1）若，求及；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二次不等式，求得集合，根据交并补的运算，可得答案；

（2）根据结合的包含关系，利用分类讨论，建立不等式，可得答案.

【小问1详解】

由，整理可得，解得：，即，

当时，由，可得：，即，

所以，.

【小问2详解】

由已知

当时，由，解得，

当时，由已知有，，解得，

综上讨论，.

18. 设，命题，满足，命题，.

（1）若命题p，q都是真命题，求的取值范围；

（2）若p和q中有且仅有一个为真命题，求a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一次函数的性质，利用分类讨论的思想，再根据二次函数的性质，可得答案；

（2）利用命题否定的定义，求得取值，根据命题的真假关系，建立不等式组，可得答案.

【小问1详解】

对于命题p有，

当时，有，解得；

当时，有显然不成立；

当时，有，解得；

故命题p为真命题时，或.

对于命题q有，，解得，

故命题q为真命题时，，

所以命题p，q都是真命题时，a取值范围为.

【小问2详解】

由（1）有，若为真命题时，；若命题为真命题时，或；

由和q中有且仅有一个为真命题，则与同为真，或与同为真，

可得或，解得.

19. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.

（1）求函数的解析式；

（2）求关于不等式的解集.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质，求得函数解析式；

（2）根据奇函数的性质，整理不等式，利用单调性，解不等式，可得答案.

【小问1详解】

由已知，当时，则，则，

由函数为奇函数，则，则；.

当时，由于函数为奇函数，则，则；

故.

【小问2详解】

由，则，

由于函数为奇函数，则；

由于当时，，

则在区间上为增函数，，；

由函数为奇函数，则函数在区间上为增函数，，；

由，则函数在区间上为增函数，即；

由已知，有，

解得：.

20. （1）已知a，b，c为正数，且，证明：.

（2）已知，解关于不等式.

【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）使用等量关系消元后结合基本不等式可证目标不等式成立.

（2）可将分式不等式转化为整式不等式，分类讨论后可得不等式的解.

【详解】（1）由，

同理，，

则，

故，

当且仅当即，时等号成立.

（2）原不等式即为，

当时，且，此时该不等式解集为；

当时，有，此时该不等式的解集为；

当时，且，此时该不等式的解集为；

当时，且，此时该不等式的解集为；

当时，且，此时该不等式解集为.

21. 在经济学中，函数的边际函数.某机械设备公司生产某种精密测量仪器，已知每月生产台的收益函数（单位：元），成本函数（单位：元），该机械设备公司每月最多生产100台该精密测量仪器.（利润函数收益函数成本函数）

（1）求利润函数及边际利润函数；

（2）此机械设备公司每月生产多少台该精密测量仪器时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1）

（3）求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义.

【答案】（1）（且），（且）；   

（2）14台，最大约为3651.4元；   

（3）当时，取得最大值，反映了产量与利润增量的关系，从第2台开始，每多生产1台精密测量仪器利润增量在减少.

【解析】

【分析】（1）根据利润函数收益函数成本函数可得利润的函数解析式；

（2）根据函数的单调性可求利润最大值；

（3）根据二次函数的性质可求最大值，根据边际函数的形式可判断其实际意义.

【小问1详解】

由题意有：且，

利润函数

（且），

边际利润函数

（且）

【小问2详解】

每台精密测量仪器的平均利润为：

，

设，

设任意，则，

因为，故，

故即，

故在上为减函数，同理可得上为增函数，

而，且，，

而，故，

故当时，有最大值且最大值为，

故每台精密测量仪器平均利润最大约为3651.4元.

【小问3详解】

，

所以当时，取得最大值.

由及，得，此时随x增大而增大；

由及，得，此时随x增大而减小；

反映了产量与利润增量的关系，从第2台开始，每多生产1台精密测量仪器利润增量在减少.

22. 定义在上的函数满足：，，，且当时，.

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）判断函数的单调性并证明；

（3）若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）奇函数，证明见解析   

（2）函数在上是减函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据所给关系式令，即可求出，再，即可得到与的关系，即可判断；

（2）利用定义法证明，根据所给关系式及奇偶性得到，再结合时，即可证明；

（3）根据函数的单调性与奇偶性得到，参变分离可得，令，，求出，再令，求出，即可求出参数的取值范围.

【小问1详解】

解：为奇函数，

证明：因为的定义域为，且对，，，

令，则，则；

令，则；

即，

所以函数是奇函数.

【小问2详解】

解：在上是减函数，

证明：设且，由已知及（1）有，

则.

当时，，所以当时，有，

所以，即，

所以函数在上是减函数.

【小问3详解】

解：由，则，

由于函数为奇函数，则，

由于函数在上减函数，则，

则，

令，，

由已知，有在区间上单调递增，则，

令，，显然在区间上单调递增，则，

故，解得，即