2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（    ）

A．6 B．7 C．14 D．15

【答案】A

【分析】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可.

【详解】因为，

所以集合的元素个数为，

因此集合的所有非空真子集的个数是，

故选：A

2．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，则函数在下列哪个区间内必有零点（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用零点存在定理可直接判断.

【详解】，,，由零点存在定理可知，在内必有零点.

故选：C

3．集合，集合，若，那么实数a的所有可能取值的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题得，再对分三种情况讨论得解.

【详解】由题得，

因为，所以,.

当时，

当时，；

当时，.

所以实数a的所有可能取值的集合为.

故选：D

4．已知，且，则的最小值为（    ）

A．3 B． C．25 D．12

【答案】B

【分析】根据基本不等式，结合已知等式进行求解即可.

【详解】因为，且，

所以，

当且仅当时取等号，即当时取等号，

故选：B

5．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.

【详解】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.

故选：A

6．已知函数是定义在实数集上的偶函数，若在区间上是严格增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】确定函数的单调性，考虑和两种情况，题目转化为或，根据函数值结合函数单调性得到答案.

【详解】函数是定义在实数集上的偶函数，在区间上是严格增函数，

故函数在上单调递减，，

当时，，即，故；

当时，，即，故.

综上所述：

故选：C

7．若且，：二次函数有两个零点，且一个零点大于零，另一个零点小于零；则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据互逆命题的性质，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系、充分性、必要性的定义进行求解即可.

【详解】设的一个根大于零，另一根小于零，则，解得，

因为命题：若，则的逆否命题为：若，则，

由是的真子集，

因此是的必要不充分条件．

故选：B．

8．已知定义在上函数，对任意的，且，都有，若函数为奇函数，且，则（    ）

A． B．

C． D．的值与0的大小关系不确定

【答案】C

【分析】根据题意，先求出函数的单调性和对称中心，然后已知条件进行转化，进而求出结果.

【详解】由题意可知：定义在上函数，且，

都有，则在区间上单调递减，

又因为函数为奇函数，则，

当时，则，也即，

又因为函数关于原点对称，则函数的图象关于点对称，所以函数在上单调递减，因为，

设，则，则有，

又因为，则，

故选：.

二、多选题

9．设、、为正实数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】利用不等式的基本性质可判断ACD选项的正误；利用作差法可判断B选项的正误.

【详解】对于A选项，由于、为正实数，且，所以，，即，

由不等式的性质可得，A选项正确；

对于B选项，由于、、为正实数，且，

则，所以，，B选项正确；

对于C选项，，则，所以，，即，

，，C选项错误；

对于D选项，，则，又，因此，，D选项正确.

故选：ABD.

10．设函数是定义在上的单调递减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，，都有；②；则下列结论正确的是（    ）

A．；

B．不等式的解集为

C．；

D．使有解的所有正数的集合为.

【答案】AB

【分析】选项AC赋值法即可求解，，根据函数的单调性把数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果，即可判断选项B，根据条件把转化为，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化成求函数的最值问题，即可判断选项D．

【详解】因为对，，都有，

令，即，则，故选项A正确；

又，再令，，，解得，

令，则，故选项C错误；

由已知，，

根据题干给出的条件有：，

当，时，，即，

于是等价于，

函数 单调递减，，，且，

解得：，所以的取值范围为，故选项B正确；

同理，不等式可化为且，，

得，此不等式有解，等价于，

在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成立，，，

故即为所求范围，故选项D错误，

故选：AB．

11．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】ABC

【分析】根据函数解析式，分、、三种情况讨论，当时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；

【详解】解：因为，

若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值；

若，则，此时，符合题意；

若，当时在上单调递减，

当时，

二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增，

要使函数存在最小值，只需，解得，

综上可得.

故选：ABC

12．已知函数的定义域为，若对任意，都存在正数使得总成立，则称函数是定义在上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】分别求出四个函数的值域，对照“有界函数”的概念即可判定．

【详解】，令，，

则，即，，

当时，，无最小值，即，，

此时不存在正数使得总成立，故不是定义域为有界函数，A选项错误.

，有，所以，是定义域为有界函数，B选项正确；

，令，

当时，函数有最小值，

即，有，所以，

故函数是定义域为有界函数，C选项正确；

，有，所以，是定义域为有界函数，D选项正确；

故选：BCD

三、填空题

13．已知函数的定义域为，则的定义域是________．

【答案】

【分析】由题知函数的定义域为，再根据求解即可.

【详解】解：因为函数的定义域为，

所以，函数的定义域为，

所以，解得，

所以，的定义域是.

故答案为：

14．若函数在上单调递减，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可.

【详解】当时，，显然该函数在上单调递减；

当时，该函数的对称轴为：，

要想该函数在上单调递减，

只需满足，

综上所述：的取值范围是，

故答案为：

15．已知实数满足，则的最大值为___________．

【答案】

【分析】法八：利用基本不等式，即可求解.

【详解】[方法一]：（代换，用判别式法）

设，则，代入，

得，由得，因此.

[方法二]：（代换，构造一元二次方程用判别式法）

设，则，则2x、y可看作关于m的方程的两个实根，由得，因此.

[方法三]：（构造向量法）

令，.

则，即的最大值为.

[方法四]：（待定系数法）

令

则解得故，化简得.

［方法五］：（代换消项结合放缩法）

令，则，则原题等价于：已知，求2a的最大值.

由的几何意义得，即得.即.

［方法六］：（换元法，转化为三角函数求解）

令则.

即，即，则.

.

故.

［方法七］：（三角换元结合均值不等式求解）

令代入条件方程得.

则.

故.

故答案为：．

［方法八］：【最优解】基本不等式

，

即，(当且仅当，即时，取等号)

故答案为：．

【整体点评】法一：换元利用判别式法求出；

法二：代换构造一元二次方程根据判别式法求出；

法三：构造向量利用求出；

法四：构造平方和，利用平方数自身的范围求出；

法五：代换利用椭圆的几何性质求出；

法六：利用三角代换求出，是该类型题的常用方式；

法七：利用三角代换结合基本不等式求出；

法八：直接利用基本不等式，是该题的通性通法，也是最优解．

四、双空题

16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，如果关于的方程恰有7个不同的实数根，那么______；______.

【答案】     ##0.5     ##-1.5

【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，画出函数图像，根据图像得到可能有个解，根据题意结合函数图像得到，利用韦达定理计算得到答案.

【详解】当时，；

当时，.

，，画出函数图像，如图所示：

设，则，根据图像，可能有个解.

当方程无解时，不满足；

当方程有一个解时，最多有6个解，不满足；

当方程有两个解时，和共有7个解，故.

故，解得.

故答案为：；

五、解答题

17．已知函数的定义域为，函数的定义域为；

(1)求；

(2)若，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意列式求解，再由集合的交集求解，

（2）由集合间关系列式求解，

【详解】（1）由得，故，

由得，故，则

（2）当时，由得，

当时，由，解得，

综上，的取值范围是

18．函数是定义在上的奇函数，已知当时，；

(1)求函数的解析式并画出函数图象，根据图像写出函数的单调增区间；

(2)若方程有3个相异的实数根，求实数的取值集合；

(3)求不等式的解集.

【答案】(1)见解析

(2)或或；

(3)或；

【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解析式，从而可得函数的图象，利用图象即可得单调增区间；

（2）问题转化为函数与的图象有3个交点，结合图象即可求解；

（3）对分类讨论，求出不等式的解集，再求并集即可

【详解】（1）当时，，

令，则，

则，

又函数是定义在上的奇函数，

所以，

所以，

又，

所以函数的解析式为，

作出函数的图象如下：

由图象可知：函数的单调增区间为和；

（2）若方程有3个相异的实数根，

则函数与的图象有3个交点，

由图象可知或或，

所以实数的取值集合是或或；

（3）当时，不等式即为，

即，解得；

当时，不等式即为，显然不成立；

当时，不等式即为，

即，解得；

综上，不等式的解集为或；

19．已知、是函数的两个不同的零点，且

(1)求实数的取值范围；

(2)若，求实数的值；

(3)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意建立关于的不等式组，解出即可；

（2）利用根与系数的关系，结合已知条件建立关于的方程，解出即可；

（3）转化为不等式求解即可．

【详解】（1）依题意，，解得且，

故实数的取值范围为；

（2）由韦达定理有，，若，

则，

解得或，由（1）知且，舍去，故；

（3）即，即，

即，

由于且，则，

所以不等式的解集为．

20．已知函数，；

(1)证明函数在上单调递增；

(2)求满足不等式的的取值范围；

(3)求函数的值域.

【答案】(1)见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用函数单调性的定义证明；

（2）利用（1）中函数的单调性结合一元二次不等式的解法求解即可；

（3）换元，转化为已知函数，利用单调性求范围，再利用不等式的性质求解即可

【详解】（1）任取且，则

，

因为，

所以，

所以，即，

所以函数在上单调递增；

（2）由于，在上单调递增，

则由不等式可得，

即，解得，

所以满足不等式的的取值范围是；

（3）令，则

，

由于在上单调递增，

则时，，

所以，

所以函数的值域是

21．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1);

(2)100（百辆），2300万元.

【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；

（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.

【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，

所以利润

  ,

故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .

（2）当时，，

故当时，；

当时，,

当且仅当， 即时取得等号；

综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．

22．已知函数，，

(1)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围；

(2)若不等式对及都成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，通过分类讨论函数单调性，求解函数最值，解不等式组求出实数的取值范围.

（2） 在为单调增函数，所以，由 对任意都恒成立，求解t的取值范围.

【详解】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，即，

函数 在上是增函数， ， ，

函数图像开口向上，对称轴为直线，

①当时，函数在上为增函数，， ，∴ ， 此时无解；

②当时，函数在上为减函数，在上为增函数，， ， ， 此时无解；

③当时，函数在上为减函数，在上为增函数，，， ，解得 ；

④当时，函数在上为减函数，，，∴ ， 解得；

综上所述，实数a的取值范围是 .

（2）由题意知，对任意都恒成立，

由 在为单调增函数，所以，

即对都恒成立，

  ，解得，即t的取值范围为 .