2022-2023学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高一上学期期中数学试题（解析版 ）

2022-2023学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合 ，为整数集，则  

A．  B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合运算的定义计算即可.

【详解】由已知得，则 ；

故选：D．

2．设函数则（    ）

A． B． C．10 D．-8

【答案】A

【分析】根据分段函数解析式，直接代入求值即可.

【详解】解：函数，所以.

故选：A.

3．若命题，命题，，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】,则异号，故前者无法推后者，而可以推出前者，即可得到答案.

【详解】当，则异号，故存在两种情况或，故无法推出，

当，此时，故能推出，所以是的必要不充分条件.

故选：B.

4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

5．关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】由且不等于1，

由题意得，，解得.

故选：D.

6．若函数的定义域为，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，可得，再分类讨论求解作答.

【详解】依题意，，成立，当时，成立，即，

当时，，解得，因此得，

所以的范围是.

故选：A

7．若函数的值域是，则函数的值域是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：设=t,则,从而的值域就是函数的值域，由“勾函数”的图象可知，，故选B．

【解析】函数的值域．

8．已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可求出函数在上单调递减，在上单调递增，即可得出的大小.

【详解】函数是R上的偶函数，所以关于对称，

当时，恒成立知，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以.

故选：D.

二、多选题

9．下列各组函数是同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】AC

【分析】根据同一函数的定义判断即可（函数三要素里只需要定义域和对应法则一样即为同一函数）.

【详解】对A， 与定义域都为，且对应法则一样，与为同一函数；

对B，由得 ：，的定义域为，且，同理：的定义域为，两函数的定义域一样，对应法则不一样，与不是同一函数；

对C，与的定义域都为，且，两函数的定义域一样和对应法则一样，与是同一函数；

对D， ，而，两函数的对应法则一样，但定义域不一样，与不是同一函数.

故选：AC

10．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ）

A． B．函数为奇函数

C． D．当时，

【答案】AC

【分析】根据定义在上的奇函数性质可判断A；利用奇函数的定义来判断B;根据奇函数满足可判断C和D

【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，故A正确；

对于B，由是定义在上的奇函数可得，

所以，

所以为偶函数，故B不正确；

对于C和D，令，则，所以，

所以，

所以，故C正确，D不正确，

故选：AC

11．设，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.

【详解】A选项：，当且仅当时，等号成立，故A正确；

B选项：，所以，当且仅当时，等号成立，故B错；

C选项：，当且仅当时，等号成立，故C正确；

D选项：，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.

故选：ACD.

12．已知函数若方程有六个不相等的实数根，则实数b可能的取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】画出的图像．要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根；再由一元二次函数根的分布列出不等式组，即可求出答案．

【详解】解：的图像如图所示：

令，

则要使方程有六个相异实根，

即使在上有两个相异实根；

则，解得：．

故选：BC．

三、填空题

13．已知命题，，则是___________命题.（填“真”或“假”）

【答案】真

【分析】根据全称命题与特称命题的关系，得，即可判断命题真假.

【详解】解：命题，，

则，，则，使得成立

所以是真命题，

故答案为：真.

14．若，，，则，的大小关系是___________.

【答案】

【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小.

【详解】由,有，，

则，故,

故答案为：.

15．已知是定义在上的偶函数，若，，则“”是“”的___________条件.

【答案】充分不必要

【分析】结合偶函数的性质，判断条件之间的充分性与必要性是否成立即可.

【详解】解：已知是定义在上的偶函数，

所以

当时，，所以，于是有，则充分性成立；

当时，则，所以或，故必要性不成立；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

16．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数是上的平均值函数，则实数m的取值范围是________.

【答案】

【分析】根据新定义可得在区间上有解，利用分离变量法即可求出答案．

【详解】解：设，，

∴在区间上有解，

∴，，.

∵在的值域为，

所以方程有解实数m的取值范围是，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查函数在区间上能成立的问题，常用分离变量法，属于难题．

四、解答题

17．已知集合，.

(1)求；

(2)若集合，，求实数的取值集合.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）求解不等式，从而求得集合，再求并集即可；

（2）根据交集为空集，结合（1）中所求，列出对应的不等式，求解即可.

【详解】（1）因为，，

故可得：.

（2）因为，，且，

故可得：或，解得或，

故实数的取值范围为：或.

18．已知函数的图象经过点.

(1)求m的值，并判断函数的奇偶性；

(2)判断函数在的单调性，并证明你的结论.

【答案】(1)，为偶函数；

(2)在上是单调增函数，证明见解析.

【分析】（1）根据点的坐标满足函数解析式求得参数，再根据奇偶性的定义判断函数奇偶性即可；

（2）根据单调性的定义，结合函数解析式，判断并证明即可.

【详解】（1）根据题意，，即，则，则，

其定义域为，又，故为偶函数.

（2）为上的单调增函数，证明如下：

在上任取，

则，

因为，故；又，则，

则，即，

故在上是单调增函数.

19．若函数满足.

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上至少有一个零点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，通过换元法求解析式；

（2）要使在区间，上至少有一个零点，则对称轴，然后分和两种情况分别求解．

【详解】（1）解：因为，

令，即，

所以，

所以；

（2）解：因为，

要使在区间，上至少有一个零点，

则对称轴，

当时，要使在区间，上至少有一个零点，

则（a），

解得；

当时，要使在区间，上至少有一个零点，

则（4），

解得，

综上，的取值范围是．

20．已知，其中a是常数.

(1)若的解集是，求a的值，并求不等式的解集；

(2)若不等式有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，不等式的解集为；

(2).

【分析】（1）由题意可得方程的两个根分别为和6，从而可求出，进而可得不等式的解集；

（2）由不等式有解，可得，设方程的两个根为，利用根与系数的关系，由题意得，平方化简变形得，再结合前面的式子代入可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）因为的解集是，

所以方程的两个根分别为和6，

所以，

所以，

由，得，解得或，

所以不等式的解集，

（2）由有解，得，解得或，

设方程的两个根为，则

，，

由题意得，

所以，

所以，解得，

综上，或，

即实数a的取值范围为.

21．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为80元.

(1)求2023年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.

(2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)答案见解析

(2)游客为40万人时利润最大，最大为370万．

【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式．

（2）根据（1）中求出的利润的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．

【详解】（1）解：由题意可得，

即

（2）解：当时，；

当时，；

当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立，

故，

综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万．

22．已知函数.

(1)在平面直角坐标系中画出函数的图象；

(2)求函数的零点；

(3)若，求在上的最大值.

【答案】(1)答案见解析；

(2)函数的零点为；

(3).

【分析】（1）利用绝对值的性质去掉绝对值,再根据函数的解析式画出函数的图象即可；

（2）利用函数零点的定义及分段函数分段处理即可求解；

（3）结合函数的图象得到函数的单调区间，再对参数分类讨论，求函数的最大值.

【详解】（1）由题可知，，

所以函数的图象如图所示

（2）由题意可知，令，则，

所以或，解得或或，

故函数的零点为.

（3）由，由（1）的图象可知，函数在和上单调递增，在上单调递减.

当时，函数在上单调递，

所以当时，取得最大值为；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，取得最大值为；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.

所以，

因为，，若，即，解得，即当时，，

当时，，

综上所述，的最大值为.