2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列关系中，正确的是（    ）

A．∈Q B．{(a，b)}＝{(b，a)}

C．2∈{1，2} D．{1，2}＝{(1，2)}

【答案】C

【解析】利用集合与元素的关系逐一判断即可.

【详解】A项错误，是无理数，故；

B项错误，{(a，b)}表示集合的元素是点(a，b)，{(b，a)}表示集合的元素是(b，a)，两点不同；

C项正确，易见集合{1，2}的元素是1，2；

D项错误，集合{1，2}的元素是实数1，2，集合{(1，2)}的元素是点(1，2)，所以{1，2}≠{(1，2)}．

故选：C.

2．已知集合，，若，则所有实数m组成的集合是（    ）

A． B．0， C． D．0，

【答案】C

【解析】等价于，结合子集的定义，通过分类讨论可得答案.

【详解】因为，所以，

若，则，此时满足条件；

若，则，

则或，

解得或，

综上，所有实数m组成的集合是．

故选：C．

【点睛】本题主要考查集合的交集及集合子集的应用，考查分类讨论思想的应用，将条件转化为是解决本题的关键．

3．若为实数，且，则下列命题正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于A，B，C，对取特殊值即可判断.

对于D，用分别乘以不等式的两端，根据不等式的性质即可得到答案.

【详解】对于A，取，A错；

对于B，取，此时，，B错；

对于C，取，此时，，C错；

对于D，.

故选：D

4．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合，用交集运算的定义即可解决.

【详解】由集合，解得，所以.

故选：A

5．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定形式，即可得解.

【详解】根据特称命题的否定形式，命题“，”的否定是：

，.

故选：D

6．若则一定有

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选

7．如果，那么下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用作差法得到,所以选项错误；，所以选项错误；，所以选项正确；，所以选项D错误.

【详解】对于选项所以,所以选项错误；

对于选项,，所以，所以选项错误；

对于选项,，所以，所以选项正确；

对于选项,，所以，所以选项D错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查作差法比较大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得：，然后利用不等式的性质逐项检验即可.

【详解】因为，，所以，

对于A，因为，所以，故选项A错误；

对于B，因为，所以，故选项B正确；

对于C，若，则，故选项C错误；

对于D，因为，当时，则有，

当时，则有，当时，则有，

故选项D错误，

故选：.

9．已知x＜－2，y＞4，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，求解范围.

【详解】因为x＜－2，所以，则

又，所以，.

故选：A.

10．集合，用列举法可以表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接根据条件列举即可.

【详解】解：因为，可得；

所以.

故选：C

11．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】记，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.

【详解】因为，，所以，

记，

对于A选项，其表示，不满足；

对于B选项，其表示，不满足；

对于C选项，其表示，满足；

对于D选项，其表示，不满足；

故选：C.

12．非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】由题得可将中元素分组为,,,再根据题意得出是求的非空真子集个数即可.

【详解】由题得, 若元素，则,

可以推导出集合中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于中也可以不存在,

故可以考虑集合等价于由元素,,组成的集合，

又,

故本题相当于求集合的非空真子集个数.

即个.

故选：C

二、填空题

13．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是     

【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．

【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，

可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．

故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．

14．已知实数满足，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】设，求出，再根据不等式的性质即可得解.

【详解】解：设，

则，解得，

所以，

因为，

所以，

又因，

所以，

即的取值范围是.

故答案为：.

三、双空题

15．写出下列不等式的解集，：____________；：____________．

【答案】     ；     或.

【分析】转化，且，结合对应二次函数的图像与性质，求解两个不等式.

【详解】由题意，

对应二次函数开口向上，，

故的解集为；

，且，

对应二次函数开口向下，与轴交点的横坐标为，

故的解集为或.

故答案为：，或.

四、解答题

16．设集合．求：

(1)；

(2)；

(3)

【答案】(1)

(2)或

(3)或.

【分析】由集合的交并补混合运算直接得出答案.

【详解】（1）由集合交集的定义，

；

（2）由集合并集和补集的定义，

，

或；

（3）由集合补集和交集的定义，

或，

或，

或.

17．（1）若或，则．写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假；

（2）设原命题是：当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假．

【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.

【分析】根据四种命题的定义写出逆命题、否命题、逆否命题，结合不等式性质，以及逆命题和否命题同真假、原命题和逆否命题同真假判断即可.

【详解】（1）原命题：若或，则；

逆命题：若，则或；

否命题：若且，则；

逆否命题：若，则且.

由不等式的性质可得，否命题为真，由逆命题和否命题同真假，故逆命题也为真，

当，满足或，但，故原命题为假命题，由原命题和逆否命题同真假，可得逆否命题为假命题.

故原命题，逆否命题为假命题，逆命题，否命题为真命题.

（2）原命题：当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc；

逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b；

否命题：当c＞0时，若，则；

逆否命题：当c＞0时，若acbc，则ab；

由不等式的性质可得，原命题、否命题为真，由逆命题和否命题同真假、原命题和逆否命题同真假，故四个命题都为真命题.

18．（1）已知，，求，取值范围；

（2）已知，，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，即可根据性质求得；

（2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果.

【详解】（1）因为，所以，由不等式的性质可得，

，，

则，即，

，即.

（2）令，，

则，

所以有，解得，

因为，，

所以，，

所以，，

即，.

19．设全集，已知集合，，集合为不等式组的解集.

(1)写出集合的所有子集；

(2)求和.

【答案】(1)，{1}，{2}，{1，2}；

(2)或，.

【分析】（1）直接写出集合的所有子集即可；

（2）直接写出，求得，再求即可.

【详解】（1）因为，故A的所有子集为，.

（2）因为，=或，

.

20．已知，命题p：，，命题q：，．

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题p，q有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或

【分析】（1）不等式可转化为，对成立，求出的最小值，即可得到；

（2）先求出命题为真时，实数a的取值范围.然后根据命题p，q有且仅有一个是真命题，讨论得到命题p，q的真假情况，即可得到.

【详解】（1），，等价于，.

令，则，因为，即，

所以，.

（2）若命题为真，则有实数解，则，

即，解得或.

由命题p，q有且仅有一个是真命题，即命题，一真一假.

当真假时，即，解得；

当假真时，即或，解得.

综上所述，a的取值范围为或.

21．证明不等式．

(1)，bd＞0，求证：；

(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．

【答案】(1)见详解

(2)见详解

【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；

（2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到.

【详解】（1）证明：，

因为，，所以，，

又bd＞0，所以，，

即.

（2）证明：因为a＞b＞c＞0，

所以有，，，，

则，，

即有，成立；

因为，，所以，，

又，所以，成立.

所以，有.