2022-2023学年宁夏六盘山高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年宁夏六盘山高级中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】注意到，所以利用集合交集的运算易得结果.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】根据含量词命题的否定，直接求解.

【详解】命题，为全称量词命题，全称量词命题的否定为存在量词命题，

故其否定为，.

故选：A

3．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】逐一判断每一个选项函数的奇偶性和单调性即得解.

【详解】A. 是奇函数，不是偶函数，所以该选项不符合题意；

B. 是偶函数，在上单调递减，所以该选项不符合题意；

C. 是偶函数，在上单调递增，所以该选项符合题意；

D. 奇函数，不是偶函数，所以该选项不符合题意.

故选：C

4．设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．

【详解】∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此B正确．

c≤0时，A不正确；取a=﹣1，b=﹣2，C不正确；a＞0＞b时，D不正确.

故选B．

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【分析】根据定义域和解析式是否同时相同来判断.

【详解】A.的定于域为，的定义域为，不是同一函数；

B.的定义域为，的定于域为，不是同一函数；

C.与的定义域和解析式都相同，是同一函数；

D. 的定于域为，的定义域为，不是同一函数.

故选：C.

6．已知函数，则（    ）

A．8 B．5 C．4 D．2

【答案】C

【分析】由分段函数逐步代入求值即可

【详解】∵，∴

故选：C

7．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

8．设，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数对数函数的单调性及中间量进行比较即可求解.

【详解】因为在上是单调递增，且，

所以，

因为在上是单调递减，且，

所以，

又因为，所以，

因为在上是单调递增，且，

所以，

所以.

故选：D.

9．已知在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分段函数是减函数，就要求每一段都是减函数，并且满足，解不等式组即得解.

【详解】当，是减函数，所以，即   ① ；

当，也是减函数，故   ② ；

在衔接点x=1，必须要有成立，才能保证在上是减函数，即  ③，

∴由①②③取交集，得.

故选：C.

10．已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由单调性及偶函数的性质可得在单调递增，且，或，结合单调性或图象即可解

【详解】偶函数在区间上单调递减，且，则在单调递增，且.

由或，可解得.

故选：A

二、填空题

11．已知幂函数的图象经过点，则__________．

【答案】2

【分析】将点代入解析式，求得的值，由此求得的值.

【详解】由于幂函数的图象经过点，所以，所以，所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查函数值的计算，属于基础题.

12．若不等式的解集为，则___________．

【答案】

【分析】利用韦达定理即得解.

【详解】由题得，

所以.

所以.

故答案为：

13．函数在区间上的值域是___________．

【答案】

【分析】先判断单调性，再根据单调性求值域.

【详解】设，

，

，

，

当时，，即

，即，函数在区间上单调递减；

当时，，即

，即，函数在区间上单调递增；

，又

故函数值域为

故答案为：

14．下列命题正确的是___________．（填序号）

①函数与互为反函数；

②函数的单调递减区间是；

③当且时，函数的图象恒过定点；

④函数在上为减函数，且，则实数m的取值范围是．

【答案】①③④

【分析】对于①，利用反函数的定义即可求解；

对于②，利用反比例函数的性质及函数的单调性即可求解；

对于③，利用指数函数恒过定点即可求解；

对于④,利用函数的单调性及一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】对于①，由，得，所以函数与互为反函数，故①正确；

对于②，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故②错误；

对于③，令，则，所以，所以当且时，函数的图象恒过定点，故③正确；

对于④，因为函数在上为减函数，且，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是，故④正确；

故答案为：①③④.

15．对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，定义函数，则下列命题中正确的是___________（填序号）

①f（-3．9）=f（4．1）；②函数的最大值为1；

③函数的最小值为0；④函数的图象与直线有无数个交点．

【答案】①③④

【分析】①由，直接验证；作出的图象判断②③④

【详解】①因为，所以，故正确；做出的图象如图所示：

②由图象知：函数无最大值，故错误；

③由图象知：函数的最小值为0，故正确；

④由图象知：函数的图象与直线有无数个交点，故正确，

故答案为：①③④

三、解答题

16．求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用指数运算法则以及指对恒等式，即可化简求值；

（2）利用对数运算法则，化简求值.

【详解】（1）原式=；

（2）原式=.

17．设，函数在区间上的最大值与最小值的差是2．

(1)求函数的解析式；

(2)设，若，求实数x的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数函数的性质建立方程关系即可求a的值，进一步得到函数解析式；

（2）由（1）得，然后解不等式即可.

【详解】（1）由已知，函数在区间上单调递增，

由已知得，

解得，负值舍去；

函数的解析式为

（2）由（1）中得，

，解得

18．已知实数x满足集合，实数x满足集合．

(1)若，求；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由对数函数单调性求出B，进行并集运算；

（2）由p是q的充分不必要条件得，列不等式求解即可

【详解】（1），，，故；

（2）由p是q的充分不必要条件得，即，得，故实数a的取值范围为

19．设函数．

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．

【答案】(1)

(2)偶函数，理由见解析

【分析】（1）由求解即可；

（2）由偶函数定义即可判断

【详解】（1）由解得函数的定义域为；

（2）为偶函数.

由，定义域关于原点对称，得函数为偶函数

20．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．

(1)求函数在上的解析式，并画出函数的图象；（不要求列表描点，只要求画出草图）

(2)根据图象写出函数的单调递增区间．

【答案】(1)；图象见解析；

(2)和.

【分析】（1）利用奇函数的定义及二次函数的性质即可求解；

（2）根据（1）的图象及函数单调性的定义即可求解.

【详解】（1）设，则，

所以，

又因为函数为奇函数，所以，

所以，

函数在上的解析式为，

作出对应的图象，如图所示

（2）由（1）图象知，函数的单调递增区间为和.

21．人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI．它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．科大讯飞股份有限公司是一家专业从事智能语音及语音技术研究、软件及芯片产品开发、语音信息服务的国家级骨干软件企业．讯飞公司研发一种新产品，周定成本7500元，每生产一台产品须增加投入100元，鉴于市场等多因素，总收入满足函数：，其中为产品的每月产量．（利润=总收入总成本）

(1)将利润表示为月产量的函数；

(2)求月产量为何值时，公司所获利润最大？并求出最大利润值．

【答案】(1)；

(2)月产量为台时，公司所获利润最大，最大利润为元.

【分析】（1）根据已知条件及分段函数分段处理即可求解；

（2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，结合一次函数和二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）由题意可知，总成本，利润，

所以利润表示为月产量的函数为，

（2）由（1）知，，

当时，，

由二次函数的性质，在上单调递增，在上单调递减，

所以，

当时，，所以在上单调递减，

所以，

而，

所以当时，公司所获利润最大，最大利润值为元.

22．已知定义域为的函数是奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；

(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析；

(3).

【分析】（1）由是奇函数可得，求出a的值，再验证此时是奇函数；

（2）先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数在R上单调递增；

（3）等价于恒成立，求函数的最小值即得解.

【详解】（1）因为函数的定义域为R，所以，∴.

经检验当时，，

，

所以.

（2），

函数在定义域内单调递增，证明如下：

设，所以，

因为，所以，所以函数在R上单调递增.

（3）∵是奇函数，由已知可得，

所以，

所以，

设，当.

所以.

∴实数m的取值范围为.