2022-2023学年山东省泰安市肥城市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省泰安市肥城市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由并集的定义求解即可

【详解】因为集合，，

所以，

故选：A

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出使有意义的的范围即可.

【详解】由题意可得：，

所以函数的定义域为，

故选：D

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，.

故选：D

4．下列两个函数是同一个函数的是（   ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同即可判断正误.

【详解】解：对于A，的定义域为R，的定义域为，A选项错误；

对于B，的定义域为R，定义域为R，且两个函数解析式都可写成，B选项正确；

对于C，的定义域为R，的定义域为，C选项错误；

对于D，的定义域为R，的定义域为，D选项错误；

故选：B.

5．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分、必要性定义，判断题设条件间的推出关系，即可得答案.

【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6．已知是偶函数，其部分图象如图所示，则的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数图像关于轴对称直接判断.

【详解】为偶函数，其图像应该关于轴对称，根据题目所给的一部分图像可知，符合题意的只有图.

故选：D

7．若，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由基本不等式得到，求出.

【详解】因为，由基本不等式可得：，

即，

因为，解得：，当且仅当时，等号成立，

故选：B

8．已知函数，若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】由分段函数的单调性，结合一次、二次函数的单调性可得，即可求范围.

【详解】由在上递增，上递减；且在R上递增，

所以要使是上的单调函数，则必为单调递增，故，可得.

故选：D

二、多选题

9．已知集合满足，则可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据真子集的定义直接判断即可.

【详解】因为，

所以集合可以是、，不能是、.

故选：AC

10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B． C．≥2 D．

【答案】ACD

【解析】举特值可知选项正确，作差比较可知选项不正确.

【详解】当时，满足，此时，故正确；

因为，所以，所以，即，

所以一定成立，故不正确；

当时，满足，此时，故正确；

当时，满足，此时，故正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：举特值说明不等式不一定成立是解题关键.

11．已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A．函数为减函数

B．函数的值域为

C．函数为奇函数

D．若，则

【答案】BD

【分析】设出函数解析式，将代入解析式，求出，画出函数图象，从而得到函数的单调性和值域，判断出AB选项，

利用函数奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，判断C选项，

作差法，结合基本不等式得到若，则.

【详解】设，将代入，得，解得：，

故，其图象如图所示：

可得到在上单调递增，在上单调递减，且值域为，

故A错误，B正确；

定义域为，且，为偶函数，C错误；

若，则

因为，故，

当且仅当时，等号成立，但，故等号取不到，

故

即，D正确.

故选：BD

12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：

①；

②，当时，都有；

③.

则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．，，使得

D．若，则

【答案】BCD

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据单调性判断A，根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，即可判断B，求出函数的最大值，即可判断C，根据函数的取值情况分类讨论，求出不等式的解集，即可判断D.

【详解】解：因为，，所以函数为偶函数，

又，当时，都有，所以在上单调递减，

根据偶函数的对称性可知函数在上单调递增，

又，所以，所以当或时，当时，

对于A：因为在上单调递减，所以，故A错误；

对于B：因为，

所以，故，即或，

解得或，即，故B正确；

对于C：函数在上的图象是连续不断的，且函数在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为，

故存在，使得，有，故C正确；

对于D：不等式，

当时，，解得；当时，，解得．

综上所述，不等式的解集为，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．设，若，则_____________.

【答案】-2

【分析】根据集合相等，得到集合元素之间的关系，求出，最后计算的值.

【详解】因为，所以.

【点睛】本题考查了集合相等的概念，考查了数学运算能力.

14．已知函数，那么的解析式是___________.

【答案】

【分析】利用换元法即可求出函数的解析式.

【详解】令，

已知，

，

则的解析式是，

故答案为：.

15．已知，，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由，得，再根据不等式同向可加性，即可得出答案.

【详解】解：，

，而，

，即的取值范围为.

故答案为：

四、双空题

16．通过学习我们知道：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，也就是满足.已知函数在定义域内满足，那么函数的对称中心的坐标为___________；如果对于变量满足，且，那么代数式的最小值为___________.

【答案】         

【分析】根据对称中心的定义式即可确定函数的对称中心坐标；由的值，结合基本不等式即可确定所求式子的最小值.

【详解】解：已知函数在定义域内满足，则

所以函数关于点对称，即函数的对称中心的坐标为；

则，所以，，所以

当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.

故答案为：；9.

五、解答题

17．已知全集，集合，.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用集合交集、补集的运算性质即可求解.

（2）根据，首先得出，再利用子集的含义列出方程组，求解.

【详解】（1）若，则.

因为，，所以.

所以

（2）若，则，

需满足，解得，所以实数的取值范围为.

18．已知函数，且是奇函数.

(1)求实数的值；

(2)判断在区间上的单调性，并用定义法证明.

【答案】(1)

(2)函数在区间上单调递增，证明见解析

【分析】（1）由奇函数的定义求解即可；

（2）由单调性的定义求解即可

【详解】（1）因为是奇函数，即.

所以有，得.

解得.

（2）函数在区间上单调递增.

证明：由于，所以.

，，

则

.

由，得，

所以.

又由，得，

于是，即.

所以函数在区间上单调递增.

19．已知函数，.

(1)若不等式的解集为，求实数的值；

(2)若在实数集上恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据的解集为，得到的根为1和，先代入1，解，再代入即可求解.

（2）对分类讨论，再根据恒成立思路求解.

【详解】（1）由不等式的解集为，

可知且是方程的一个根，

把代入方程，解得.

解不等式得，

所以.

（2）因为在实数集上恒成立，

所以当时，在实数集上不是恒成立的.

当时，需满足，解得.

综上可知：实数的取值范围是.

20．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足：

(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?（利润=总收入-总成本）

【答案】(1)；

(2)当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.

【分析】（1）分与两种情况，求解出利润P表示为月产量x的函数即得；

（2）分与两种情况，求解出利润的最大值，比较后得到结论.

【详解】（1）当时，，

故，

当时，，

故，

故；

（2）当时，，

故当时，取得最大值，最大值为25000；

当时，单调递减，故，

综上：当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.

21．已知集合，.

(1)当时，判断是的什么条件？

(2)当时，可得，其中，求的最小值.

【答案】(1)是的充分不必要条件

(2)最小值

【分析】（1）根据已知分别求解集合，则可判断集合之间的关系，于是可判断是的什么条件；

（2）根据可得集合，则可得，所以可得，结合基本不等式即可求最值.

【详解】（1）解：由不等式，变形为，

解得，所以.

当时，.

则，所以是的充分不必要条件.

（2）解：由于，所以，

不等式等价转化为，

解得，因此，

则，

当且仅当时，即当时取到等号，

所以当时，取到最小值.

22．已知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，.

(1)当时，解不等式；

(2)不等式在上有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据偶函数的性质求出函数在时的解析式，则不等式等价于，由可得，再对分和两种情况讨论，求出不等式组的解集；

（2）令，则问题等价于在上有解，参变分离可得，令，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）解：因为是定义在实数集上的偶函数，且当时，，

设时，则，所以

又因为，所以.

不等式可化为，即，

因为，所以，，以上不等式组等价为，

当时，解不等式组得，由于，此时不等式无解；

当时，解不等式组得，又因为，所以.

综上所述：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

（2）解：不等式整理为，

令，因为，可知，

不等式转化为在上有解，整理为，

令，其中，

因为在上单调递减，在上单调递增，

且，，所以.

所以不等式在上有解，等价于，

所以，所以的取值范围是.