2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．函数 的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数定义域满足，求解即可

【详解】由题， 函数定义域满足，解得.

故选：C

2．已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的命题的否定求解作答.

【详解】因命题：，，则命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以命题的否定是：，.

故选：A

3．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据并集与补集的运算，可得答案.

【详解】由题意，，.

故选：B.

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】探讨给定函数的奇偶性，结合的值正负即可判断作答.

【详解】函数定义域为R，，

因此函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，选项A，B不满足；

又，选项C不满足，D符合题意.

故选：D

5．已知正数，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式求和的最小值.

【详解】由，为正实数，

则，

当且仅当，即，时等号成立，

故选：D.

6．关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】D

【分析】首先分类讨论解不等式，再结合子集概念求解即可.

【详解】当时，的解集为，，符合条件.

当时，即，不等式的解集为，

所以，

所以.

当时，即，不等式的解集为，

所以，

所以.

综上：.

故选：D

7．某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（    ）

A．98人 B．106人 C．104人 D．110

【答案】B

【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.

【详解】

由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：

，

故选：B.

8．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D=max{a﹣b，b﹣c，c﹣a}+min{a﹣b，b﹣c，c﹣a}，则“D=0”是△ABC为等腰三角形的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】 “D=0”,不妨设c⩾b⩾a,则D=max{a−b,b−c,c−a}+min{a−b,b−c,c−a}=c−a+b−c=0，

或c−a+a−b=0，则a=b，或b=c，则△ABC一定为等腰三角形．

若△ABC为等腰三角形，不妨设a=b，则b−c与c−b中的必然有一个为最大值，另一个为最小值，则D=0.

∴“D=0”是△ABC为等腰三角形的必要充分条件．

本题选择C选项.

二、多选题

9．若， 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意，利用不等式的三个基本性质，逐个选项进行判断，即可得到答案.

【详解】因为，所以，正确；

由题意得，所以，即，C正确；

若则，B，D错误.

故选：AC

10．函数（且），图像经过2，3，4象限，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据图像所过象限可得，，进而得到，.

【详解】函数（且），图像经过2，3，4象限，

故得到，当时，

函数是减函数，，函数为增函数，故得到

故得到，故得到AD正确，BC错误.

故选：AD.

11．下列命题为假命题的是（    ）

A．若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个女生爱踢足球

B．“和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件

C．“”是“”的必要不充分条件

D．“”是“一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件

【答案】ABD

【分析】对于A，根据命题的否定概念，可得答案；

对于B，根据无理数的定义，利用取特殊值的方法，可得答案；

对于C，根据必要不充分的条件的定义，可得答案；

对于D，根据一次函数的性质，可得答案.

【详解】对于A，若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个男生不爱踢足球，故A错误；

对于B，当时，即满足和都是无理数，则，即为有理数；

当时，即满足为无理数，则为有理数，为无理数.

可得“和都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C，由，可得，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确；

对于D，由，即，当时，，当时，，

则直线过，由，则一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴；

若一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴，且直线过，则可得，解得.

综上，“”是“一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的充分必要条件，故D错误.

故选：ABD.

12．已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（    ）.

A．

B．若不等式的解集为，则

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.

【详解】由题意，不等式的解集是，

所以，，所以A正确；

对于B：变形为，其解集为，

所以，得，故成立，所以B正确；

对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知：

，所以C错误；

对于D：若不等式的解集为，

即的解集为，由韦达定理知：

，

则，解得，

所以D正确.

故选：D.

三、填空题

13．已知集合，则__________.

【答案】

【分析】根据一元二次方程的求解，结合并集的运算，可得答案.

【详解】由题意，

则.

故答案为：.

14．已知幂函数在上单调递增，则__________.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出，进而得出.

【详解】由题意可知，，解得，即，

故答案为：

15．若函数，则在，上的最大值与最小值之和为___________．

【答案】-2

【分析】根据函数，利用换元法得到，再利用二次函数的性质求解.

【详解】因为函数，

令，则，

所以，

则，

对称轴为，

所以在，上单调递增，

所以的最大值与最小值之和为，

故答案为：-2

16．已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数在区间上值域为，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据奇函数性质,求得函数解析式.画出函数图像,结合函数图像即可分析出的取值范围.

【详解】是定义在上的奇函数,所以

当时,

令,则

所以

由奇函数性质可知

所以,满足

综上可知,

画出函数图像如下图所示:

若函数在区间上值域为,

由函数图像可知,在上的值域为

所以

当时,解方程可得或（舍）

所以当时能够满足值域为

即

故答案为:

【点睛】本题考查了根据奇函数性质求函数解析式,数形结合法求参数的取值范围,属于中档题.

四、解答题

17．已知函数（，且）．

(1)若函数的图象过点，求b的值；

(2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．

【答案】(1)1

(2)或

【分析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.

【详解】（1），解得.

（2）当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；

当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.

综上：或

18．设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-5=0}.

(1)若A∩B={2}，求实数a的值；

(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围.

【答案】(1)-1或-3；

(2).

【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；

（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；

【详解】（1）由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}.

因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，

得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，

当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2，2}，满足条件；

当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，

综上，实数a的值为-1或-3；

（2）对于集合B，=4（a+1）2-4（a2-5）=8（a+3）.

因为A∪B=A，所以B⊆A.

当<0，即a<-3时，B为空集，满足条件；

当=0，即a=-3时，B={2}，满足条件；

当>0，即a>-3时，B=A={1，2}才能满足条件，

则由根与系数的关系，得1+2=-2（a+1），1×2=a2-5，

解得a=-，且a2=7，矛盾.

综上，实数a的取值范围是.

19．已知函数.

(1)判断并说明函数的奇偶性；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明；

(3)求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)偶函数，理由见解析

(2)见解析

(3)的最大值和最小值分别为

【分析】（1）根据奇偶性定义证明即可；

（2）根据单调性的定义，结合已知条件，判断并证明即可；

（3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可求得结果.

【详解】（1）函数为偶函数，证明如下：

函数的定义域为，关于原点对称

，即函数为偶函数.

（2）是上的单调减函数，证明如下：

证明：在上任取，且，

，

因为，故可得，，

又，则，故，即，

故在上单调递减.

（3）因为是偶函数，在单调递减，所以在上单调递增

显然在也单调递增，

故当时，取得最小值为，

当时，取得最大值为，

故的最大值和最小值分别为.

20．已知，，.

(1)求的最小值；

(2)在（1）的条件下，解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；

（2）分、、三种情况讨论，结合二次不等式与一次不等式的解法解原不等式即可得解.

【详解】（1）解：因为，，则，

当且仅当时，等号成立，故.

（2）解：由（1）得，即.

当时，原不等式即为，解得；

当时，则，解原不等式可得或；

当时，则，解原不等式可得.

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为.

21．已知命题：关于的方程的两根均在区间内.

(1)若命题为真命题，求实数的取值集合；

(2)设，是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，.

【分析】（1）先求出的两个解，在根据两根均在区在内，列出不等式组，求出实数m的取值集合；

（2）根据p是q的必要不充分条件得到是的真子集，分与求解实数a的取值范围.

【详解】（1）由得:，

所以或，

因为命题p为真命题，所以，得.

所以

（2）集合，集合，

由题设，是的真子集，

当时，，解得:；满足题意

当时，或，解得：.

综上所述：，

所以存在实数，满足条件.

22．某企业生产一种电子设备，通过市场分析，每台设备的成本与产量满足一定的关系式.设年产量为（，）（单位：台），若年产量不超过70台，则每台设备的成本为（单位：万元）；若年产量超过70台不超过200台，则每台设备的成本为（单位：万元），每台设备售价为100万元，假设该企业生产的电子设备能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；

(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少万元？

【答案】(1)

(2)当年产量80台时，年利润最大，最大值为1920万元

【分析】（1）分，和，两种情况分别求出函数解析式；

（2）根据二次函数与基本不等式求出各段函数的最大值，再比较即可得解.

【详解】（1）解：当，时，，

当，时，，

所以.

（2）解：当，时，，

所以当时，取得最大值，最大值为.

当，时，，

当且仅当，即时，取得最大值，

因为，所以当年产量台时，年利润最大，最大值为万元.