2022-2023学年上海市南汇中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市南汇中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．以下命题为真命题的是（    ）

A．对于任意两个实数、，要么，要么

B．87是素数

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】对于A：由可能成立，直接判断；对于B：利用素数的定义直接判断；对于C：取特殊值，否定结论；对于D：由不等式的乘方性质即可判断.

【详解】对于A：有可能，故A错误；

对于B：因为，所以87不是素数.故B错误；

对于C：不妨取，则.满足，但是不满足.故C错误；

对于D：由不等式的乘方性质可知：若，则.故D正确.

故选：D

2．若､是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由根与系数的关系即可求得答案.

【详解】由题意，，由根与系数的可知：，，即A,B正确；又，C正确；

若m=0，则方程的根为0，则D错误.

故选：D.

3．已知命题成立可推出命题不成立，那么下列说法一定正确的是（    ）

A．命题成立可推出命题成立

B．命题不成立可推出命题不成立

C．命题不成立可推出命题成立

D．命题成立可推出命题不成立

【答案】D

【分析】直接根据原命题与逆否命题是等价的，则真假性一致，从而可判定选项的真假．

【详解】逻辑学认为命题与逆否命题是等价的，也就是命题真，则逆否命题也真．

“命题成立可推出命题不成立”的逆否命题为“命题成立可推出命题不成立”

命题成立可推出命题不成立一定正确

故选：．

【点睛】本题主要考查了四种命题的真假关系，解题的关键是原命题与逆否命题是等价的，属于基础题．

4．设全集，给出条件：①；②若，则；③若，则.那么同时满足三个条件的集合的个数为（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】集合中各元素的放置，由此可得出结论.

【详解】由题意可知，若，则，，；若，则，，.

此时，、、、的放置有种；

若，则；若，则，此时、的放置有种；

若，则；若，则，此时，、的放置有种.

、的放置没有限制，各有种.

综上所述，满足条件的集合的个数为.

故选：C.

二、填空题

5．已知集合，则_______．

【答案】

【分析】由集合的并集即可得出答案.

【详解】因为集合，

则.

故答案为：.

6．设全集，则________．

【答案】

【分析】根据集合的交并补运算直接求解.

【详解】由题可得,所以.

故答案为：.

7．一元二次不等式的解集是______．

【答案】

【分析】由一元二次不等式的解法求解，

【详解】由得，

故原不等式的解集为，

故答案为：

8．“或”的否定形式为___________．

【答案】“且”

【分析】由命题的否定直接可得.

【详解】“或”的否定形式为“且”.

故答案为：“且”

9．已知，如果，那么的取值范围是_____．

【答案】

【分析】由可得，即可得出答案.

【详解】因为，

所以，

则.

故答案为：.

10．“集合”是“集合”的______条件．

【答案】充分不必要

【分析】利用定义法直接判断.

【详解】因为包括和AB.

所以由“集合”可得到“集合”，所以充分性满足；

而“集合”不一定得到“集合”，所以必要性不满足.

所以“集合”是“集合”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

11．用列举法表示集合，______．

【答案】

【分析】利用列举法求解即可.

【详解】因为,所以且,即且,

又因为,所以,对应的,

其中,所以只能取,

故,

故答案为: .

12．若集合，则______．

【答案】

【分析】先求出集合P、M，再求.

【详解】因为，.

所以.

故答案为：

13．若不等式的解集是，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】根据不等式的解集求得的值，把不等式化为，结合不等式的解法，即可求解.

【详解】由题意，不等式的解集是，

可得和是一元二次方程的两个实数根，

所以，解得，，

所以不等式化为，即，

解得，即不等式的解集为．

故答案为：．

14．已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______．

【答案】或

【分析】推导出的解为或无解，由此能求出实数a的取值集合．

【详解】集合中的所有元素之和为2，已经确定2是其中的元素，

的解为或无解，

或，

解得．

实数a的取值集合为或．

故答案为或．

【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．若，则，则称是“对偶关系”集合，若集合的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数的取值集合为__________

【答案】

【分析】根据定义，列举集合，，，0，2，4，6，的所有的“对偶关系”的集合，再去考查实数的取值即可．

【详解】解：集合，，，0，2，4，6，的所有的“对偶关系”

有与6，与4，2与0，则与7，

这些组合的“对偶关系”有4对，集合有个．

那么，可得．

当时，则，也满足“对偶关系”．

可得实数的取值集合为．

故答案为：．

【点睛】本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性．属于基础题

16．对于集合，我们把称为该集合的长度，设集合，且都是集合的子集，则集合的长度的最小值是_______．

【答案】999

【分析】根据题中定义，结合解一元二次不等式的方法、子集的定义、交集的定义分类讨论进行求解即可.

【详解】，

因为都是集合的子集，

所以，

所以或，

所以的长度为或，

所以当时，或，的长度的最小值为999

故答案为：999

三、解答题

17．设全集，集合，，

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）先求出集合，再求；（2）先求出集合，再求.

【详解】（1）集合.

因为，所以.

（2）因为集合，，所以,

所以或.

18．已知，若，求满足条件的的取值范围．

【答案】

【分析】对B分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.

【详解】当时，满足，此时，有，解得：；

当时，要使，只需，解得：.

所以实数的取值范围为.

19．已知非零实数a、b、c两两不相等．证明：三个一元二次方程，，不可能都只有一个实根．

【答案】证明见解析

【分析】利用反证法，假设都只有一个实根，列出式子简单计算即可.

【详解】证明：用反证法假设三个方程都只有一个实根，则

①②③，得，  ④

④化为．  ⑤

于是，这与已知条件相矛盾．

因此，所给三个方程不可能都只有一个实根．

20．已知关于的不等式．

(1)若不等式的解集是或，求实数的值；

(2)若不等式的解集是，求实数的值；

(3)若不等式的解集是实数集，求实数的值．

【答案】(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）判断出-2和-3是关于的方程的两根，代入求解；（2）由不等式的解集是，列不等式组，即可解得；（3）由不等式的解集是实数集，列不等式组，即可解得.

【详解】（1）因为关于的不等式的解集是或，

所以且-2和-3是关于的方程的两根，

所以，解得：.

（2）因为关于的不等式的解集是，

所以，解得：；

（3）因为关于的不等式的解集是实数集，

所以，解得：.

即实数的取值范围为.

21．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；

(1)求集合的生成集B；

(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；

(3)若集合，A的生成集为B，求证.

【答案】(1)

(2)或

(3)证明见解析

【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；

（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；

（3）求出的范围即可证明出结论

【详解】（1）由题可知，

(1)当时， ，

(2) 当时，，

（3）当或时，

所以

（2）（1）当时，，

（2）当时，

（3）当或时，

B的子集个数为4个，则中有2个元素，

所以或 或 ，

解得或（舍去）,

所以或.

（3）证明：，

，

，

，即

，

又，

所以，

所以