2022-2023学年四川省广安市广安第二中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省广安市广安第二中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合，再根据集合间的运算关系即可求解.

【详解】，，，.

故选：B

2．命题：p：的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定判断即可.

【详解】命题，的否定为，.

故选：C.

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】当时，不一定成立，如满足，不满足，

当时，成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．使有意义的实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的特征可得.

【详解】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．

故选：C.

5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（    ）

A．若a＜b，则 B．若a＞b＞0，则

C．若a＞b，则 D．若，则a＞b

【答案】D

【分析】举反例说明选项AC错误；作差法说明选项B错误；不等式性质说明选项D正确.

【详解】当时，，选项A错误；

，所以，所以选项B错误；

时，，所以选项C错误；

时，，所以选项D正确.

故选：D

6．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.

【详解】解：因为函数为减函数，

所以，

又因为，

所以.

故选：A.

7．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用复合函数判断单调性“同增异减”的方法求解即可

【详解】解：令，则，

因为在上单调递增，在上单调递减，

在定义域内为减函数，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故选：C

8．我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别联立方程求得交点坐标，画出函数的图像，数形结合即可得解.

【详解】解：联立，解得，

联立，解得或，

联立，解得或，

作出函数的图象如图：

由图可知，则的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9．下列函数中与函数y=x表示同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】先求得函数的定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】函数y=x的定义域为R，

对于A：函数的定义域为，定义域不同，故与y=x不是同一函数；

对于B：函数定义域为R，解析式化简为，故与y=x是同一函数；

对于C：函数定义域为R，解析式化简为，故与y=x不是同一函数；

对于D：函数定义域为R，解析式化简为，故与y=x是同一函数；

故选：BD

10．已知幂函数图象过点，则下列命题中正确的有（    ）

A． B．函数的定义域为

C．函数为偶函数 D．若，则

【答案】AD

【分析】由题可得，利用函数的性质逐项判断即得.

【详解】∵幂函数图象过点，

∴，即，

∴，故A正确；

又函数的定义域为，故B错误；

函数为非奇非偶函数，故C错误；

当时，，故D正确.

故选：AD.

11．若方程有且只有一个解，则的取值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，结合图象即可得出答案.

【详解】解：方程有且只有一个解，

即函数与的图象只有一个交点，

画出函数的图象，

由图可知，或.

故选：ACD.

12．已知，且，则（　　）

A．ab的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最大值为3

【答案】ABC

【分析】利用基本不等式求解判断

【详解】因为，且，

A. ，当且仅当时，等号成立，故正确；

B. ，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

C. ，当且仅当时，等号成立，故正确；

D. ，

当且仅当，即时，等号成立，故错误；

故选：ABC

三、填空题

13．方程log2(5－x)＝2，则x＝________．

【答案】1

【分析】由对数的定义求解．

【详解】解：5－x＝22＝4，∴x＝1．

故答案为：1．

14．函数是上的偶函数，当时，，则________．

【答案】9

【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.

【详解】是偶函数，所以.

故答案为：

15．函数，若不等式的解集为，那么_________.

【答案】

【分析】先讨论当时，不等式的解集，再讨论当时，分类讨论当，，时，不等式的解集，再讨论当时，不等式的解集.再综合得出a和b的值即可解.

【详解】当时，，∵，∴，，不符合题意;

当时，，则由，得，

∴,分类讨论如下：

（i）当时，不等式的解集为：，不合题意.

（ii）当时，不等式的解集为：，不合题意.

（iii）当时，不等式的解集为：，不合题意.

当时，，由得，

∴，∵已知解集为时，不等式为，

 又∵，∴，∴，即.

综上：.

故答案为：.

【点睛】考查已知解集求含参不等式的参数值.运用了分类讨论的思想求解.其中将化为形式为解题的突破口，题目较难.

16．定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且 ，则不等式的解集是_________．

【答案】

【分析】利用单调性的定义即可判断出的单调性，分类讨论解不等式即可.

【详解】因为对任意的，都有，

所以任取，则有，所以在上单减；

又为定义在上的偶函数，，所以在上单增且.

不等式可化为：或，

解得：无解，或.

故不等式的解集为.

故答案为：.

四、解答题

17．计算：

(1) ；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数幂运算性质计算即可；

（2）根据对数的运算性质计算即可.

【详解】（1）

（2）.

18．已知集合，.

(1)若，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）当时，求出集合，然后根据并集的概念即可求出；

（2）根据题意可得出，从而根据集合间的包含关系，同时借助数轴即可求出答案.

【详解】（1）当时，，又因为，

所以.

（2）因为，所以，

所以，解得.

所以实数a的取值范围为.

19．已知指数函数的图象经过点.

(1)求及的值；

(2)当时，求函数的值域.

【答案】(1)；

(2)函数在的值域为

【分析】（1）依题意，，即可求得，从而得的解析式，即可求的值；

（2）由于，故，又，得，利用二次函数的对称性即可求得的值域．

【详解】（1）解：指数函数的图象经过点

，

，则；

（2）解：，

，

，

当，即时，取得最小值为；

又

的最大值为

函数在的值域为．

20．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用.公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米元，左右两侧报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司甲的整体报价为元.

(1)试求关于的函数解析式；

(2)那么公司甲怎样设计校园应急室使整体报价最低？最低整体报价是多少？

【答案】(1),

(2)左右两侧墙的长度为4米时整体报价最低，最低报价为28800元

【分析】（1）根据给定条件，用x表示出应急室正面墙的长度，结合题目条件写出解析式.

（2）由（1）的结论，利用均值不等式求出甲公司报价最小值.

【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米，

于是得，

其中.所以y关于x的函数解析式是:

,

（2）由（1）知，对于公司甲，

当且仅当，即时取“=”，则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，

21．已知函数是奇函数.

(1)求实数的值；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明；

(3)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)单调递减，证明见解析

(3)

【分析】（1）利用奇函数定义求得结果；

（2）设，由可得单调性；

（3）利用奇偶性和单调性将不等式化为，解不等式即可求得结果.

【详解】（1）为奇函数，，即，

，解得：；

（2）在上单调递减，证明如下：

设，

则；

为上的增函数， ，又，，

，在上单调递减；

（3）由得：，

为奇函数，

；

由（2）知：在上单调递减，

，解得的取值范围为.

22．已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求在上的解析式；

(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用为奇函数得到，设，利用奇函数的运算即可得到答案；

（2）题意可整理得在上有解，令，求其最小值即可求解

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得，

所以时，，

当时，，所以，

又，所以，

所以在上的解析式为；

（2）由（1）知，时，，

所以可整理得，

令，根据指数函数单调性可得，为减函数，

因为存在，使得不等式成立，等价于在上有解，

所以，只需，

所以实数的取值范围是