2022-2023学年四川省泸州市泸县第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸州市泸县第一中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，则下列各式中不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由元素与集合的关系和集合与集合的关系可判断A，B，由由集合元素互异可判断C，由集合相等判断D．

【详解】由元素与集合的关系和集合与集合的关系可得，

，正确，

，正确，

由集合元素互异，可得正确，

由题意，故D错误，

故选：D．

2．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】对求解，结合充分条件、必要条件的定义即可得出答案

【详解】由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件；

求解，得到，故“”是“”的不必要条件；

故选：A

3．如果，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对于ACD，举例判断，对于B，利用不等式的性质判断

【详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，因为，，所以，所以B正确，

对于C，若，则，所以C错误，

对于D，若，则，所以D错误，

故选：B

4．如果函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由函数的单调减区间为，再由题意可得，然后列不等式求解即可.

【详解】因为函数的单调减区间为，

又函数在区间上是减函数，

则，

则，解得：，

故选：C.

5．设x>0，且1<bx<ax，则（    ）

A．0<b<a<1 B．0<a<b<1

C．1<b<a D．1<a<b

【答案】C

【分析】利用指数函数的性质，结合x>0，即可得出结论.

【详解】∵x>0时，1<bx，

∴b>1.

又x>0时，bx<ax，

∴x>0时，.

∴，

∴a>b，

∴1<b<a.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了指数函数的性质.属于容易题.

6．如图所示为函数的图象，则函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由已知图象可确定与的正负情况，进而判断各选项正误.

【详解】由图可知，，

所以函数的图象的对称轴，在y轴右侧，且，

故选：A.

7．设函数在区间上为偶函数，则的值为（    ）

A．-1 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由区间的对称性得到，解出b；利用偶函数，得到，解出a，即可求出.

【详解】因为函数在区间上为偶函数，

所以，解得.

又为偶函数，所以，即，解得：a=-1.

所以.

故选：B

8．已知x，，且，则下列各式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】可对变形成 ，构造函数，根据函数的单调性可得答案.

【详解】，，

设，为增函数，也为增函数，

所以为增函数，

由可得，

所以，即

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．幂函数为奇函数

C．的单调减区间为

D．函数的图象与y轴的交点至多有1个

【答案】ABD

【分析】由存在量词命题的否定的定义判断A；利用幂函数的定义及奇函数的概念判断B；由判断C；由函数的定义判断D.

【详解】对于A项，由存在量词命题的否定的定义可知，命题“，”的否定是“，”，A正确；

对于B项，由幂函数的概念有，则或，当时，为奇函数，当时，为奇函数，所以选项B正确；

对于C项，由可知，C错误；

对于D项，由函数的定义可知，若在定义域内，则有且只有一个与之对应，即函数的图象与轴的交点只有一个，若不在定义域内，则函数的图象与轴无交点，所以函数的图象与轴的交点至多有1个，D正确.

故选：ABD.

10．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】A选项，直接对利用基本不等式，求出；B选项，先平方，再结合A选项的进行求解，C选项利用基本不等式“1”的代换；D选项化为进行求解.

【详解】因为，所以，当且仅当，时取等号，A正确．因为，所以，当且仅当，时取等号，B错误．，当且仅当，时取等号，C正确．，当且仅当，时取等号，D正确．

故选：ACD

11．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数.对于狄利克量函数，给出下面4个命题：其中真命题的有（    ）

A．对任意，都有

B．对任意，都有

C．对任意，都存在，

D．若，，则有

【答案】ACD

【解析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定A、B，根据，可判定C，根据的值域，可判定D，即可得到答案.

【详解】对于A中，若自变量是有理数，则，

若自变量是无理数，则，所以A是真命题；

对于B中，若自变量是有理数，则也是有理数，可得，

所以B是假命题；

对于C中，显然当时，对任意，都存在，，

所以C是真命题；

对于D中，由，可得函数的值域为，

当时，，当时，，

故，所以D为真命题.

故选：ACD

【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，以及命题的真假判定，其中解答中认真审题，熟练应用函数的新定义，逐项判定是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

12．定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（    ）

A．-2 B．6 C．4 D．-4

【答案】AC

【解析】根据定义，先计算在，上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可．

【详解】在，上的最大值为5，

所以由，解得或，

所以时，，

所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，

当时，即时，，此时解得，符合题意；

当时，即时，，此时解得，符合题意；

故或4，

故选：AC

三、填空题

13．已知函数（其中）在上递增，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据指数函数的单调性求解．

【详解】是增函数，则，．

故答案为：．

14．已知，则=___________.

【答案】

【分析】利用换元法，令，，则，代入可求得，进而求得.

【详解】令，，则，，

，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题.

15．已知函数为增函数，则不等式的解集为_________．

【答案】

【解析】函数为奇函数，又函数为增函数，故将不等式转化为，解不等式.

【详解】，，

故函数为奇函数，且单调递增，

又，即，

，

解得，

故答案为：

【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

16．已知，若是的充分不必要条件，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据不等式的解法求出的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系即可．

【详解】由得得或，

由得或，

得或，

若是的充分不必要条件，

则即得，

又，则，

即实数的取值范围是，

故填：．

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行转化是解决本题的关键，为基础题．

四、解答题

17．已知函数，且．

（1）求a的值并判断函数的奇偶性；

（2）证明：函数在区间上单调递增．

【答案】（1），为奇函数；（2）证明见解析.

【解析】（1）由求出a，然后利用奇偶性的定义判断即可；

（2）利用单调性的定义证明即可.

【详解】（1）因为，所以，所以

的定义域为，，所以为奇函数

（2）任取，且

因为，所以，，所以，即

所以函数在区间上单调递增

18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；

（1）求函数在上的解析式并画出函数的图象（不要求列表描点，只要求画出草图）

（2）（ⅰ）写出函数的单调递增区间；

（ⅱ）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）（ⅰ）和 （ⅱ）

【详解】试题分析：（1）设则，  有，结合为奇函数，所以，可得的解析式

（2）（ⅰ）由图象可得函数的单调递增区间为和

（ⅱ）方程在上有两个不同的实数根，转化为函数与在上有两个不同的交点，由图象得，所以

试题解析：（1）设则

   所以

   又因为为奇函数，所以

   所以  即

   所以

图象

（2）（ⅰ）由图象得函数的单调递增区间为和

（ⅱ）方程在上有两个不同的实数根，

所以函数与在上有两个不同的交点，

   由图象得，所以

  所以实数的取值范围为

点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.

19．已知幂函数，且在上是减函数．

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论，

（2）令，根据其单调性即可求解结论．

【详解】解：（1）函数是幂函数，

，

即，

解得或，

幂函数在上是减函数，

，

即，

，

（2）令，因为的定义域为，，，且在和上均为减函数，

，

或或，

解得或，

故的取值范围为：或．

20．（1）已知，均为正实数，且，求的最小值.

（2）已知，，均为正实数，且，求证：.

【答案】（1）18（2）详见解析

【分析】（1）先将所给等式化简，然后利用“的妙用”以及基本不等式求解最小值；（2）将待证明不等式中的改写成然后再利用基本不等式证明.

【详解】（1），，，.

，当且仅当，即时，等号成立.

由得

当，时，取得最小值18.

（2），，，，

，

当且仅当时取等号.

.

【点睛】本题考查基本不等式再求解代数式最值以及证明不等式中的应用，难度一般.

（1）已知，求的最小值时的方法：，取等号时.

（2）不等式取最值或者证明时取等号时，一定要说明取等号的条件.

21．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，(万元)．在年产量不小于8万件时， (万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.

【解析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可；

（2）当时，根据二次函数求最大值的方法来求的最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可．

【详解】（1）因为每件商品售价为5元，则万件商品销售收入为万元，

依题意得，当时，，

当时， ，

所以；

（2）当时，，

此时，当时，取得最大值万元，

当时，，

此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元，

因为，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，

最大利润为15万元.

【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的选择与应用，考查分段函数，考查基本不等式的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质和基本不等式，属于常考题.

22．定义在R上的函数f(x)满足：x，y∈R，f(x-y)=f(x)+f(-y)，且当x<0时f(x)>0，f(-2)=4.

（1）判断函数f(x)的奇偶性并证明；

（2）若x∈[-2，2]，a∈[-3，4]，f(x)≤-3at+5恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】（1）是奇函数，证明见解析；（2）.

【解析】（1）利用赋值法求出，再利用即可证明函数的奇偶性；

（2）先证明函数的单调性，利用函数的单调性求出最大值，问题转化为对任意的，恒成立，即可求解.

【详解】（1）的定义域为，令，则，

，

令，则，

，

，

是奇函数.

（2）设，

由得：，

且当时

，

，

，即，

在上为减函数

因为函数在区间上是减函数，且，

要使得对于任意的，都有恒成立，

只需对任意的，恒成立.

令，此时y可以看作a的一次函数，且在时，恒成立.

因此只需，解得，

所以实数t的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：理解x∈[-2，2]，a∈[-3，4]，f(x)≤-3at+5恒成立是解决本题的关键，也是双变量问题，首先要求出f(x)在x∈[-2，2]上的最大值，问题转化为单变量问题对任意的，，构造关于a一次函数,即可求解.