2022-2023学年四川省绵阳南山中学高一上学期第3次月考数学试题

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绵阳市南山中学2022级高一年级第3次月考  数学时间120分钟 满分150分  一单项选择题（每题5分，共8道小题，共计40分）1. 在下列函数中, 以 为周期的函数是 (  )A. B.   C. D.2. 已知 , 则的值为 (  )A. B.           C. D.3. 函数 的图象大致为 (   )A. B.C. D.4. 定义域为 的函数是偶函数, 且在上是增函数, 在上是减函数, 又, 则)  (   ).A.在 上是增函数且有最大值 2 B.在 上是减函数且有最大值 2C.在 上是增函数且有最小值 2 D.在 上是减函数且有最小值 25. 已知函数 , 则下列区间中一定包含零点的区间是A. B. C. D.6. 已知函数 与分别是定义在上的奇函数和偶函数, 且, 则( )A. B.          C. D.7. 已知函数 . 若存在 2 个零点, 则的取值范围是 ( )A. B. C. D.8. 已知 , 且, 若恒成立, 则实数的取值范围是A. B.   C. D.二 多项选择题(每题5分，共4道小题，共计20分，多选或错选不得分，漏选得2分)9. 若函数 且的图像过第一、三、四象限, 则必有.A. B.         C. D.10. 已知函数 同时满足下列三个条件:①该函数的最大值为 ;②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为 ;③该函数图象关于 对称.那么下列说法正确的是 (   )A.的值可唯一确定B.函数 是奇函数C.当 时, 函数取得最小值D.函数 在区间上单调递增11. 已知函数 是上的增函数, 则实数的取值可以是（   ）A.0 B. C. D.12.已知 是定义在上的奇函数, 当时,, 下列说法正确的是 (    )A.时, 函数解析式为B.函数在定义域 上为增函数C.不等式 的解集为D.不等式 恒成立三 填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）13. 若幂函数 的图象关于原点对称, 则的取值为14. 已知 , 则                   15. 设函数 是定义在上的偶函数, 且, 当时,, 则函数在上所有零点之和为                 16. 若函数 在定义域内存在非零实数, 使得, 则称函数为 “壹函数”, 则下列函数是 “壹函数” 的是① ;   ② ;  ③ ;   ④ .四 解答题（共6道小题，共计70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17. （本题满分10分）化简求值:(1) ; (2) .18. （本题满分12分）已知函数 ,(1) 求函数 的单调递减区间;(2)求函数 的最大值、最小值及对应的值的集合;(3) 若对任意 , 存在, 使得, 求实数的取值范围.19. （本题满分12分）集合 .(1)若 , 求;(2) 若 , 求的取值范围. 20. （本题满分12分）已知函数 .(1) 令 , 求的取值范围并将化为关于的函数;(2)求 的最小值;(3) 若 在上有零点, 求的取值范围. 21. （本题满分12分）某企业生产一种机器的固定成本 (即固定投入) 为 万元, 但每生产 1 百台时又需可 变成本 (即需另增加投入)万元, 市场对此商品的需求量为 5 百台, 销售收入 (单位: 万元）的函数为, 其中是产品生产并售出的数量 (单位: 百台).(1) 把利润表示为产量的函数.(2) 产量为多少时, 企业才不亏本 (不赔钱);(3) 产量为多少时, 企业所得利润最大? 22. （本题满分12分）已知函数 在时有最大值为 1 , 最小值为 0 .(1) 求实数 的值;(2) 设 , 若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.
绵阳市南山中学2022级高一年级第3次月考  数学时间120分钟 满分150分  参考答案及解析一单项选择题（每题5分，共8道小题，共计40分）1.  【答案】D【分析】利用周期的概念逐一判断即可【详解】A. ,则 , 其不是以为周期的函数;B. ,则 , 其不是以为周期的函数;C. ,则 , 其不是以为周期的函数;D. 则 , 其是以为周期的函数;故选: D. 2.  【答案】A【分析】先把已知的等式平方得到 , 再化简代入即得解.【详解】由 , 所以,所以 . 故选: A.3.  【答案】D【分析】根据函数的奇偶性可排除选项 A, B; 根据函数在 上的单调性可排除选项, 进而可得正确选项.【详解】函数 的定义域为且, 关于原点对称,因为 ,所以 是偶函数, 图象关于轴对称, 故排除选项 A, B,当 时,,由 在上单调递增,在上单调递减,可得 在上单调递增, 排除选项 C,故选: D.4.  【答案】B【分析】利用偶函数的性质，结合函数的最值定义进行求解即可.【详解】因为函数 是实数集上偶函数, 且在上是增函数, 在上是减函数, 所以函数在上是减函数, 在上是增函数,则 ,又因为 上是增函数, 所以有;在 上是减函数, 所以有;因此当 时, 有最大值, 最大值为,而函数 是实数集上偶函数,因此函数 在实数集上有最大值 2故选: B5.  【答案】C【解析】计算出各端点的函数值, 利用零点存在性定理即可判断.【详解】 ,,根据零点存在性定理可得一定包含 零点的区间是.故选: C.6.  【答案】B【解析】根据函数的奇偶性得到 , 解得答案.【详解】根据题意: , 即,解得 .故选: B.7.  【答案】D【分析】利用数形结合的方法, 作出函数 的图象, 由与直线有两个交点, 可得的取值范围.【详解】依题意, 函数 的图象与直线有两个交点,作出函数图象如下图所示,由图可知, 要使函数 的图像与直线有两个交点, 则故选: D8.  【答案】D 【解析】由已知条件, 利用基本不等式求得 , 再由恒成立, 可得, 从而可求出的取值范围【详解】解：因为 ,所以 , 当且仅当时, 取等号,因为 恒成立,所以 , 解得,故选: D二 多项选择题(每题5分，共4道小题，共计20分，多选或错选不得分，漏选得2分)9.  【答案】BC【分析】对底数 分情况讨论即可得答案.【详解】解: 若 , 则的图像必过第二象限, 而函数且的图像过第一、三、四象限, 所以.当 时, 要使的图像过第一、三、四象限, 则, 即.故选: BC10. 【答案】AC【分析】根据题目条件求出函数解析式, 进一步根据函数的性质, 求出各选项.【详解】由题可知: , 即   又 该函数图象关于对称, 即又 当时,   选项：此时的值可唯一确定, A 正确;B 选项: 当 时,此时函数不是奇函数, 故 B 错误;选项:,此时函数 取得最小值, 故 C 正确;选项: 已知,   在函数在区间上单调递减, 故 D 错误.故选: AC.11. 【答案】BD【解析】由二次函数的性质及分段函数的单调性即可得 , 即可得解.【详解】由题意, 函数 的图象开口朝下, 对称轴为,因为函数 是上的增函数,所以 , 解得. 所以实数的取值可以是.故选: BD. 12. 【答案】BC【解析】对于 , 利用奇函数定义求时, 函数解析式为; 对于 B, 研究 当时,的单调性, 结合奇函数图像关于原点对称, 知在上的单调性; 对于 C, 求出, 不等式, 转化为, 利用单调性解不等式; 对于, 分类讨论与两种情况是否恒成立.【详解】对于 A, 设 , 则, 又是奇函数, 所以, 即时, 函数解析式为, 故 A 错; 对于 B, , 对称轴为, 所以当时,单调递增, 由奇函数图像关 于原点对称, 所以在上为增函数, 故 B对;对于 C, 由奇函数在 上为增函数, 则时,, 解得(舍 去 ), 即,所以不等式 , 转化为,又 在上为增函数, 得, 解得,所以不等式的解集为 , 故 C 对;对于 D, 当 时,,当 时,不恒大于 0 , 故 D 错;故选: BC三 填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）13. 【答案】 1 【解析】【解析】根据幂函数的定义列方程求出 的值, 再判断函数的图象是否关于原点对称. 【详解】解：幂函数中, 令,解得 或;当 时,, 图象关于原点对称;当 时,, 图象不关于原点对称;所以 的取值为 1 .故答案为: 1 .14. 【答案】  【解析】【解析】根据指数与对数之间的关系, 求出 , 利用对数的换底公式, 即可求得答案.【详解】 ,故答案为: .15. 【答案】 6 【解析】【分析】利用函数的性质, 在同一坐标系下分别画出函数 和的图像, 将函 数的零点转化为两个函数图像的交点问题, 利用对称性, 即可求解零点的和.【详解】首先由条件可知, 函数 关于轴对称,又因为 , 所以函数关于直线对称再根据当 时,, 可以画出函数的图像,同一坐标系下再画出函数 的图像,由图可知, 时, 两个函数有 6 个交点, 根据对称性可知, 左边两个交点关于对 称, 和为 0 , 中间两个交点关于对称, 和为 2 , 右边两个交点关于直线对称, 和为 4 , 所以所有零点和为 6 .故答案为: 616. 【答案】】②③ 【解析】【解析】根据新定义解方程, 判断方程是否有非零实数根, 对函数逐一判断即可.【详解】对于①, 的定义域为, 由, 得, 平方 得, 解得, 不是非零实数, 则不是 “壹函数”;对于②, 的定义域为, 由, 得, 即, 解得, 则是 “壹函数”;对于③, 的定义域为, 由, 得, 可得, 即, 解得, 则是 “壹函数”;对于④, 的定义域为, 由, 得, 解得, 不是非零实数, 则不是 “壹函数”.故答案为: ②③.四 解答题（共6道小题，共计70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17. 【答案】(1) ；（2）.【解析】(1) 利用指数的性质、运算法则直接求解;(2) 利用对数的性质、运算法则直接求解.【详解】(1) (2) 18. 【答案】 (1) .(2) 时,时,.(3)  【解析】【分析】(1)根据复合函数单调性的求法, 使 即可;(2)根据余弦函使其交集不为空集(3)求两个函数在对应区间上的值域, 根据包含关系求解即可.(1), 解不等式得:,所以函数的单调递减区间为 .(2), 即时,,, 即时,;(3)时,,时,,要使得 , 只需.19. 【答案】（1） 或;（2）或.【解析】【分析】（1）解分式不等式求集合 , 解绝对值不等式求集合, 再求集合的并集;(2） 先求集合的补集, 再根据交集和空集的定义求解.【详解】(1) 由 得即, 解得或, 所以或; 当时,由 得, 即, 所以, 所以或.(2) 由 得, 即, 所以,由（1）得 或,所以 ,若 I, 则或,即 或,所以, 的取值范围是或.20. 【答案】(1) (2)     (3) 【解析】【分析】(1) 将 两边同时平方得到, 即可求得, 再结合的范围求出的 范围;(2) 按照对称轴和区间的位置分 和三种情况求解;(3) 令 , 参变分离得到, 借助单调性的定义判断出单调性, 即可求得的取 值范围.(1)由 , 得,ś ,将 代入得;(2)当 即时在上单调递增,.当 即时在上单调递减在上单调递增,,当 即时在上单调递减,,(3)由 得,   , 设且, 当时在上单调递减,同理, 在上单调递增.,  所以 的取值范围是.21. 【答案】(1) (2) 年产量在 11 台到 4800 台之间时, 企业不亏本;(3) 年产量为 475 台时, 企业所得利润最大. 【解析】【分析】(1) 依题意对 与分类讨论, 分别求出函数解析式, 再写成分段函数形式 即可;(2) 要使企业不亏本, 则 , 根据 (1) 中函数解析式分类讨论, 分别解得即可;(3) 根据二次函数的性质计算可得;【详解】解: (1) 设利润为 y 万元, 当 时,, 当时,综上可得 ;(2) 要使企业不亏本, 则 . 即或得 或, 即.即年产量在 11 台到 4800 台之间时, 企业不亏本.(3) 显然当 时, 企业会获得最大利润,此时, ,, 即年产量为 475 台时, 企业所得利润最大.22. 【答案】 (1) 1 ; (2) . 【解析】【解析】(1) 由题得 , 解方程组即得解;(2) , 在上恒成立, 设, 则,, 再求最大值即得解.【详解】(1) 函数 在区间上是增函数, 故, 解得.(2) 由已知可得 , 则, 所以不等式, 转化为, 在上恒成立. 设, 则, 即, 在, 上恒成立, 即:,当时,取得最大值, 最大值为, 则, 即的取值范围 是.