2022-2023学年浙江省杭州学军中学西溪校区高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省杭州学军中学西溪校区高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C．M D．N

【答案】C

【分析】由指数函数性质解不等式，由并集的概念求解，

【详解】由得，则，

故，

故选：C

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．，或 D．，或

【答案】D

【分析】利用全称量词否定存在命题，即可得到结论.

【详解】用全称量词否定存在命题，

所以命题“，”的否定是“，或”.

故选：D

3．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.

【详解】当，时，，

则当时，有，解得，充分性成立；

当，时，满足，但此时，必要性不成立，

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．已知函数的值域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对数函数的性质与复合函数的定义域求解，

【详解】由值域为，得，故，即的定义域为，

令得，故的定义域为，

故选：D

5．已知，函数 ，若方程恰有2个实数解，则可能的值为是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【分析】分别求出两段函数的零点，把分段讨论，由两段函数在不同区间内的零点个数得答案.

【详解】解：令，

由，解得 ，

由，解得或，

当 时，方程仅有一个实数解，

当时，方程恰有两个实数解，，

当时，方程有三个实数解，，，

当时，方程恰有两个实数解，，

方程恰有2个实数解，则的范围是 .

故选：D.

6．若函数在上单调递增，则a的范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】写出，得到函数在分段处，函数值相等，故只需满足，从而求出a的范围.

【详解】，

又，即函数在分段处，函数值相等，

要想在上单调递增，则，

解得：

故选：B

7．已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析可知，、、同号，分、、和、、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】且、、均为不等于的正实数，

则与同号，与同号，从而、、同号.

①若、、，则、、均为负数，

，可得，，可得，此时；

②若、、，则、、均为正数，

，可得，，可得，此时.

综上所述，.

故选：D.

8．已知函数（m，n都为整数）在区间上有两个不相等的实根，则的最大值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】A

【分析】根据题意可得，再分和两种情况讨论，结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】解：因为函数在区间上有两个不相等的实根，

所以，则，

当，即时，

，

当时，函数在上取得最大值为，

又且m，n都为整数，

所以当时，的最大值为，

当，即时，

，

当时，函数在上取得最大值为，

又且m，n都为整数，

所以当时，的最大值为，

综上所述，的最大值为.

故选：A.

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据不等式的性质即可判断AB，根据对数函数的单调性即可判断C，利用作差法即可判断D.

【详解】解：对于A，当时，，故A错误；

对于B，若，则，则，故B正确；

对于C，若，则，当时，，故C错误；

对于D，，

因为，所以，

所以，所以，故D正确.

故选：BD.

10．函数与在同一坐标系中的图像可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】可令，和三种情况讨论，先分析函数的图象性质，再分析函数的图象性质，观察选项是否符合．

【详解】当时，为奇函数，定义域为，且在上递减，而开口向下，对称轴为，，故A符合；

当时，为偶函数，且在上递增，开口向上，且对称轴为，，其图象和轴没有交点，故D符合；

当时，函数的定义域为，且在上递增，开口向上，且对称轴为，，图象和轴有两个交点，故C符合．

故选：ACD．

【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查二次函数图象性质、幂函数图象性质的运用，解答时，针对的不同取值，观察所给两个函数图象是否符合即可．

11．已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A．为偶函数

B．的值域为

C．方程只有一个实根

D．对，，有

【答案】BD

【分析】A选项，根据函数奇偶性定义判断得到为奇函数；

B选项，分与两种情况，分离常数后求出值域；

C选项，方程变形得到，求出是方程的一个根，令，分与两种情况，求出方程的解；

D选项，考虑时，利用定义法求出函数的单调性，结合A选项中函数为奇函数得到在R上单调递减，从而D正确.

【详解】的定义域为R，且，

所以为奇函数，A错误；

当时，，

又，故，

当时，，

又，故，

综上：的值域为，B正确；

即，

显然是方程的一个根，

令，当时，，解得：，

由于，所以，

当时，，化简得，由于，无解，

综上：方程有2个实根，C错误；

当时，，

任取且，

则，

因为且，

所以，

故，即，

故在上单调递减，

由A选项知为奇函数，故在R上单调递减，

从而，，有，D正确.

故选：BD

12．若函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则下列选项错误的是（    ）

A．为奇函数 B．

C． D．当时，

【答案】ABD

【分析】根据奇偶性的定义可得，，由此化简可得函数的奇偶性，再结合已知区间的函数解析式逐个选项判断即可.

【详解】解：对A，因为函数为偶函数，故，

即为，即，

由为奇函数，可得，则有，

所以，则有，

所以，所以为偶函数，故A错误；

对B，由A，因为，，故B错误；

对C，由A，，故C正确；

对D，当时，，故，故D错误；

故选：ABD.

三、填空题

13．已知幂函数的图象关于原点对称，则实数m的值是______

【答案】

【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于原点对称求得的值.

【详解】由于是幂函数，所以，解得或.

当时，，图象关于轴对称，不符合题意.

当时，，图象关于原点对称，符合题意.

所以的值为.

故答案为：

14．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：，）

【答案】

【分析】年后产生的垃圾为，得到不等式，解得答案.

【详解】年后产生的垃圾为，故，

即，即，即，故，

故年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.

故答案为：

15．已知实数，，且满足，则的最小值为___________.

【答案】25

【分析】由题干条件得到且，对变形得到，利用基本不等式求解最小值.

【详解】由得：，因为，，所以，

 其中

，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为25.

故答案为：25

16．已知实数且.定义区间、、、的长度均为，则满足不等式的构成的区间的长度之和为______

【答案】2

【分析】根据分式不等式的解法，等价转化为整式不等式，根据穿根法得到解集即可解决.

【详解】，

令，

所以，通分可得，

则等价于

由方程时，，

令

所以，

所以不等式的解集为，

所以构成的区间的长度之和为，

故答案为：2

四、解答题

17．（1）

（2）

【答案】（1）；（2）0.

【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；

（2）根据指数与对数的运算性质计算即可.

【详解】解：原式

；

【点睛】解：原式

.

18．已知函数的定义域是集合，函数且的定义域是集合.

(1)若，求集合；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；当时，；当时，

(2)实数的取值范围为，实数的取值范围为

【分析】（1）解分式不等式可求得集合；根据对数真数大于零可构造一元二次不等式，分别在和的情况下得到不等式的解集，即为集合；

（2）根据交集结果可知，分别在、和的情况下，讨论得到不等式的解集，由包含关系可构造不等式求得结果.

【详解】（1）由得：，解得：或，则；

当时，，

由得：；

当，即时，由得：，即；

当，即时，由得：，即；

综上所述：当时，；当时，.

（2），；

由得：；

①当时，，解得：，即，

此时不成立，不合题意；

②当时，令，解得：或，

若，则，此时不成立，不合题意；

若，则，此时不成立，不合题意；

若，则，此时不成立，不合题意；

③当时，由得：或，即；

由得：且，，或，

综上所述：实数的取值范围为，实数的取值范围为.

19．已知，函数定义域为.

(1)求的值（用含a的式子表示）；

(2)函数在单调递增，求a的取值范围；

(3)在（2）的条件下，若对内的任意实数x，不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）直接代入求解；

（2）利用单调性的定义，再利用分离参数法即可求解；

（3）利用函数单调性解不等式即可求解.

【详解】（1）由函数可得：；

（2）任取，则

因为函数在单调递增，所以.

因为，所以，，所以，

即在上恒成立.

因为，所以，所以，所以.

即实数a的取值范围为.

（3）由（1）可知，，所以不等式可化为：不等式.

因为在单调递增，所以恒成立，

即在上恒成立.

记.

令，则，所以在上单调递增，所以.

所以，即实数a的取值范围为.

20．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．

(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；

(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：）

【答案】(1)（1）车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；

(2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．

【分析】（1）由（辆千米）时，（千米小时）求得，可得关于 的关系式，再由求解的范围得结论；

（2）结合（1）写出隧道内的车流量关于的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．

【详解】（1）解：由题意，当（辆千米）时，（千米小时），

代入，得，解得．

，

当时，，符合题意；

当时，令，解得，

．

综上，．

故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；

（2）由题意得，，

当时，为增函数，

，等号当且仅当时成立；

当时，

．

当且仅当，即，时成立，

综上，的最大值约为3250，此时约为87．

故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．

21．已知二次函数．

（Ⅰ）若，且在上的最大值为，求函数的解析式；

（Ⅱ）若对任意的实数b，都存在实数，使得不等式成立，求实数c的取值范围．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【分析】（Ⅰ）由，则，由在上的最大值为，可得，可得的值，可得函数的解析式；

（Ⅱ）只需当时， .设，，则只需 对任意的实数都成立，分的取值范围进行讨论可得答案.

【详解】（Ⅰ）若，则，

当时  

故  解得  ，故.

（Ⅱ）由题意得：只需当时， .

设，，则只需 对任意的实数都成立.

（1）当=0时，，此时  不成立.

（2）当时，在递增，故恒成立，故.

（3）当时，在递增，故恒成立，故，舍去.

（4）当时，在上递减，在上递增，

若，则恒成立，故，舍去.

若，则恒成立，故，舍去.

（5）当时，在上递减，故恒成立.

综上：或.

【点睛】关键点点睛:不等式可转化为，设，转化为，只需 对任意的实数都成立，转化为求，利用分类讨论及函数的单调性分析，属于难题，注意分类讨论思想的运用.