辽宁省辽西联合校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题

2022-2023学年度上学期辽西联合校高一期中考试数学试题

考试时间：120分钟试卷满分：150分

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，则（）

A．{1} B．{5} C．{1，5} D．{1，2}

2．命题“，”的否定是（）

A．， B．，

C．， D．，

3．若函数，则的值为（）

A．1 B．3 C．4 D．－4

4．设a，b∈R，则“a<2且b<2”是“a＋b<4”的（）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．已知，，则3x－2y的取值范围是（）

A．［2，13] B．［3，13] C．［2，10] D．［5，10]

6．函数的零点所在的区间是（）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

7若函数f（x—1）是定义在（—∞，＋∞）上的偶函数，对任意的，，有，

则（）

A．f（1）<f（－2）<f（3） B．f（3）<f（－2）<f（1）

C．f（3）<f（1）<f（－2） D．f（－2）<f（1）<f（3）

8．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）

A． B． C．（0，1） D．（0，1]

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知a，b，c为实数，且，则下列不等式正确的是（）：

A． B． C． D．

10．下列函数中，表示同一个函数的是（）

A．与 B．与

C．与 D．与

11．下列命题是假命题的是（）

A．不等式的解集为

B．函数的零点是和

C．若，则函数的最小值为2

D．是成立的充分不必要条件

12．对于实数，符号［x]表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（）

A．  B．函数的最大值为1

C．函数的最小值为0 D．方程有无数个根

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分）

13．函数的定义域为______．

14．已知，，，则的最小值是______．

15．不等式的解集是，则不等式的解集是______．

16．已知函数，其中，则______，的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时写出文字说明、证明过程或者演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知集合，，．

（1）求；

（2）求

18．（本小题满分12分）

已知集合，．

（1）若a=1，求；

（2）在①②中任选一个作为已知，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分12分）

研发投入是技术创新的主要来源，企业加强对研发活动的支持，加大研发投入，有助于开发新的技术和产品，同时能够提高生产效率降低生产成本，从而在竞争中占据一定优势，促进企业绩效的提升，使得企业可持续发展．某企业的年利润y（千万元）与每年投入的研发费用x（百万元）之间的函数关系式为（1）当投入的研发费用x为多少时年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1千万元）？

（2）若要求年利润不低于10千万元，试问每年投入的研发费用应该在什么范围内？

20．（本小题满分12分）

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当时，，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示．

（1）画出函数f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x）在R上的单调递增区间；

（2）求函数f（x）在R上的解析式．

21．（本小题满分12分）

设函数．

（1）若对于一切实数x，f（x）<0恒成立，求m的取值范围；

（2）解不等式．

22．（本小题满分12分）

已知定义域在R上的函数f（x）满足，f（x＋y）=f（x）＋f（y）＋f（0），且当x>0时，f（x）<0．

（1）证明函数f（x）在定义域上的单调性；

（2）证明函数f（x）在定义域上奇偶性；

（3）求关于x不等式的解集．

2022—2023学年度上学期辽西联合校高一期中考试数学试题

参考答案：

1．A

【分析】先求出集合B的补集，再求出

【详解】因为U={1，2，3，4，5}，B={2，3，4}，

所以，

因为A={1，2}，

所以，

故选：A

2．C

【分析】根据全程量词命题的否定为存在量词命题，直接判断即可．

【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题”，”的否定是“，”．

故选：C．

3．C

【解析】先求出f（2）的值，即可求出f［f（2）]．

【详解】，

∴f［f（2）]=f（—1）=5—1=4．

故选：4．

4．A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可．

【详解】若a<2且b<2，则a＋b<4，充分性成立；取a=—1，b=3，则a＋b<4成立，但“a<2且b<2”不成立，必要性不成立．因此“a<2且b<2”是“a＋b<4”的充分不必要条件．

故选：A．

5．A

【分析】设3x—2y=m（x＋y）—n（x—y）=（m—n）x＋（m＋n）y，求出m，n的值，根据x＋y，x—y的范围，即可求出答案．

【详解】设3x—2y=m（x＋y）—n（x—y）=（m—n）x＋（m＋n）y，

所以，解得：，，

因为，，所以，

故选：A．

6．【答案】B

【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可．

【详解】易知为增函数，又，，，

，故零点所在的区间是．

故选：B．

7．C

【解析】由函数是定义在上的偶函数，可得关于对称，即，可得，再由在上单调递减，即可得解．

【详解】由函数是定义在上的偶函数，

可得关于对称，即

可得，

又，，有可得：

f（x）在［—1，＋∞）上单调递减，

所以f（3）<f（1）<f（0），

可得f（3）<f（1）<f（—2），

故选：C．

8．B

【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，解之即可得出答案．

【详解】因为函数是定义在R上的增函数，

所以，解得，

所以实数的取值范围为．

故选：B．

9．AD

【解析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项．

【详解】A．在上单调递减，所以当时，，故A正确；

B．当时，不成立，故B不正确；

C．当时，，两边同时除以ab得，，故C不正确；

D．当时，两边同时乘以得，，或两边同时乘以得，，所以，故D正确．

故选：AD

10．BD

【解析】判断每个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一个函数，否则不是同一个函数．

【详解】A中的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；B中，的定义域都是，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数；

C中的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；

D中定义域为R，的定义域为R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数．

故选：BD

【点睛】方法点睛：判断两函数是否表示同一个函数的方法：看定义域和对应关系是否都相同，当二者都相同时，函数为同一个函数，否则不是同一个函数．

11．ABC

【解析】取特殊值可判断A，由函数零点的概念知B错误，根据均值不等式等号成立条件可判断C，解出不等式，根据集合的包含关系可判断D．

【详解】对于A，取x=—1，显然不等式不成立，故解集为错误；

对于B，由函数的零点是—2和4知选项B错误；

对于C，由均值不等式等号成立的条件知，即时等号成立，显然不成立，故函数的最小值为2错误；

对于D，由解得，因为，，所以是成立的充分不必要条件，正确．

故选：ABC

【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，考查了分式不等式，函数零点，均值不等式，充分不必要条件，属于中档题．

12．【答案】ACD

【分析】对A选项直接计算进行判断，B、C、D选项根据新的定义，研究函数的性质，逐项分析即可．

【详解】，，故A正确；

显然，因此，∴无最大值，但有最小值且最小值为0，故B错，C正确；

方程的解为，故D正确．

故选：ACD．

13．

【分析】函数的定义域为：且，写成区间形式即可．

【详解】函数的定义域为：且即故答案为．

【点睛】常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0；多项式要求每一部分的定义域取交集．

14．

【分析】由题意，整理得，再利用基本不等式，即可求解．

【详解】由题意知，，，

则，

当且仅当，即时等号成立，即的最小值为．

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中根据题意，化简，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

15．

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，，由此化简要求的不等式为，从而求出它的解集．

【详解】∵不等式的解集是，

∴，解得，，，

由，可得，即，∴，

∴不等式的解集是．

故答案为：．

16．4，

【分析】先得到，再求解．

【详解】因为函数，

所以，

作出函数的图象，如图所示：

由图象知，当时，的最小值为，

故答案为：4，

17．（1）

（2）或

【分析】根据集合间的运算直接得解．

（1）

由，，得；

（2）由，，得或，

故或

18．（1）；（2）选①②，．

【分析】（1）应用集合并运算求即可；

（2）根据所选条件有，即可求的取值范围．

【详解】（1）当时，，则．

（2）选条件①②，都有，

∴解得，

∴实数的取值范围为．

【点睛】本题考亘了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题．

19．（1），最大年利润12.4（千万元）

（2）每年投入的研发费用应该不少于2千万元，不超过8千万元．

【详解】（1）依题意有，

当且仅当时，等号成立，最大年利润（千万元）．

（2）由题意得，整理得，解得．

故每年投入的研发费用应该不少于2千万元，不超过8千万元．

20．（1）图象见解析；和；

（2）．

【解析】（1）由于偶函数的图像关于轴对称，所以把在轴左侧的图像关于轴对称，即可得到函数在轴右侧的图像，由图像可得其增区间；

（2）设，则，然后利用偶函数的性质结合已知条件可得

∴，从而可得在上的解析式．

【详解】（1）图象如下：

函数f（x）的单调增区间为［—1，0]［1，＋∞）；

（2）设，则，

因为函数是定义在上的偶函数，且当时，；

∴

∴．

【点睛】此题考查偶函数的性质的应用，利用偶函数的性质求函数解析式和画函数图像，属于基础题．

21．（1）；（2）答案见解析．

【分析】（1）分别在和两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；

（2）将不等式整理为，分别在，和三种情况下求得结果．

【详解】（1）由知：，

当时，，满足题意；

当时，则，解得：；

综上所述：的取值范围为．

（2）由得，

即，即；

当时，解得：；当时，解得；当时，解集为．

综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．

22．（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）

【分析】（1）计算f（0）=0，设，计算得到证明．

（2）取y=—x，得到f（x）＋f（—x）=0得到证明．

（3）根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案．

（1）

取得到，解得，

故，

设，则

，

，故，即，函数单调递减．（2）

（2）

，取，则，即，函数为奇函数．

（3），即，

函数单调递减，故，

得，

故不等式的解集为