2023年高考数学压轴题--圆锥曲线专题 第10讲：斜率问题二（解析版）

第十讲：斜率问题（二）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的性质，注重设直线的方程，并联立方程组解决问题；

拓展目标：能够熟练应用题干信息，将文字翻译成式子求解斜率.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、弦长公式

若在直线上，代入化简，得;

2、过定点的直线方程

（1）当直线斜率存在时，，当直线斜率不存在时，；

（2）当直线斜率不为零时，，当直线斜率为零时，；

3、当时，线段的中垂线：

【考点剖析】

考点一：求斜率1（直线方程）

例1．已知椭圆：，直线经过椭圆的左焦点与其交于点，.

（1）求椭圆的方程和离心率；

（2）已知点，，直线，与直线分别交于点，，若，求直线的方程.

变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．

变式训练:2：已知椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过的右焦点交于两点，，求直线的方程．

变式训练3：过平面上点作直线，的平行线分别交轴于点，且.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若过点的直线与轨迹交于，两点，若，求直线的方程.

考点二：求斜率2（直线方程）

例1．已知椭圆的离心率为，依次连结的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求的方程；

（2）设的左，右焦点分别为，，经过点的直线与交于，两点，且，求的斜率.

变式训练1：已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)过作斜率为的直线分别交双曲线的两条渐近线于两点，若，求的值.

变式训练2：已知动点M到点F（0，）的距离与它到直线的距离相等．

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点P（，－1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程．

变式训练3：动点M到点的距离比它到直线的距离小，记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)已知圆，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为，求直线AB的方程.

考点三：求斜率3（中垂线）

例1．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆交于两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出直线；若不存在，说明理曲.

变式训练2：已知双曲线：（，）过点，且与双曲线：有相同的渐近线．

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程．

变式训练2：已知双曲线（）的一个焦点是，离心率.

(1)求双曲线的方程；

(2)若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．

变式训练3：已知椭圆C：的左、右焦点分别为，．椭圆C的长轴长与焦距比为，过的直线l与C交于A、B两点．

(1)当l的斜率为1时，求的面积；

(2)当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程．

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长和面积；

（2）垂直平分线；

（3）平分垂直的应用和证明；

2、易错点：弦长公式的计算，垂直平分线的表示；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．已知抛物线，其通径为4．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过抛物线焦点F作直线l，使得直线l与抛物线交于P、Q两点，且满足弦长，求直线l的斜率．

2．椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．

3．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．

4．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点过点作直线与椭圆交于两点，若，求直线的斜率.

5．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆的右焦点为，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于，两点，证明：.

6．已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.

(1)求双曲线C的渐近线方程；

(2)过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值.

7．在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线经过点．

(1)求抛物线的方程；

(2)已知抛物线关于轴对称，过焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交的准线于点．若，求直线的方程．

8．已知椭圆的离心率为在椭圆C上，且异于点A．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若，求直线的方程．