2023年高考数学压轴题--圆锥曲线专题 第06讲：向量问题三（解析版）

第四讲：向量问题（二）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；

拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：直径圆中，点与圆的位置关系，即在圆上时，对应的角度为直角，在圆内，对应的角度为钝角，在圆外，对应的角度为锐角，并用向量进行表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。

1、在圆上

直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当为直角时，则；

2、在圆内

直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当为钝角时，则；

3、在圆外

直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当为锐角时，则；

【考点剖析】

考点一：直径圆过定点（已知定点）

例1．已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知定点，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由.

【答案】(1)；(2)或

解析：(1)由已知可得，，

过点和的直线方程为，即，

则，又，

联立解得．

椭圆的方程为；

(2)假设存在这样的值，由，得．

①

设，，，，则，②

而，

要使以为直径的圆过点，即，

则，即；

③

将②式代入③整理即，即，解得或．

经验证，或使①成立．

故存在或，使得以为直径的圆过点．

变式训练1：已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，

(1)求椭圆的方程；

(2)设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆过定点．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

解析：(1)椭圆长轴端点在轴上，可设椭圆方程为，

由题意可得：，解得：，椭圆的方程为：；

(2)由得：，

曲线与直线只有一个公共点，，即，

设，则，

，；

由得：，即；

，，，

，即，

以为直径的圆恒过定点.

变式训练2：椭圆的离心率为，设为坐标原点，为椭圆的左顶点，动直线过线段的中点，且与椭圆相交于、两点．已知当直线的倾斜角为时，．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)是否存在定直线，使得直线、分别与相交于、两点，且点总在以线段为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)存在，且直线的方程为或

解析：(1)因为，则，，

所以，椭圆的方程为，即，

易知点，则点，当直线的倾斜角为时，直线的方程为，

设点、，联立，可得，

，由韦达定理可得，，

所以，，

解得，则，，因此，椭圆的标准方程为.

(2)易知点，若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的两个端点，不合乎题意.

设直线的方程为，设点、，

联立，可得，

，

由韦达定理可得，，

直线的斜率为，直线的方程为，

故点，同理可得点，

，，

由题意可得，

解得或.

因此，存在满足题设条件的直线，且直线的方程为或，点总在以线段为直径的圆上.

变式训练3：已知椭圆与双曲线有公共焦点，且右顶点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线：与椭圆交于不同的，两点（，不是左右顶点），若以为直径的圆经过点．求证：直线过定点，并求出定点．

【答案】(1)；(2)证明过程见解析，定点为.

解析：(1)双曲线的半焦距为：，所以椭圆的焦点坐标为：，椭圆的右顶点为，

设椭圆的标准方程为：，

所以，

因此椭圆的标准方程为：；

(2)直线方程与椭圆方程联立，

得，设，

于是有：，

，

因为以为直径的圆经过点，

所以，

即，化简得：

，而，

所以有：，化简得：

或，

显然满足，

当时，，此时直线过椭圆的右顶点不符合题意；

当时，，此时直线恒过点，

综上所述：直线过定点，定点为.

考点二：直径圆过定点（求定点）

例1．设椭圆的离心率为，点为椭圆上一点，的周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问：轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)；(2)存在，.

解析：(1)由可得，①

的周长为，所以，

即②

联立①②得：，，，

∴椭圆的方程为；

(2)

设点．

由，得，

，化简得，

∴，

∴．

由，得，

假设存在点，

则，，

∵以为直径的圆恒过点，∴，

即，

∴对任意都成立．

则，解得，

故存在定点符合题意．

变式训练1：已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；(2)存在，﹒

解析：(1)由题可知，，

则，

由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，

∴，∴，

∴P的轨迹方程为C：；

(2)假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，

联立，化为，易知恒成立，

∴(*)

由题可知，

将(*)代入可得：

即

∴，解，

∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.

变式训练2：如图，椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为8.

(1)求椭圆的方程；

(2)设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)；(2)存在，定点

解析：（1）由椭圆的定义可知△，的周长为，即，

∵，∴，

又∵，∴，

故椭圆C的方程为：，

（2）将联立，消元可得，

∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，

∴，

∴，

此时，，

∴

由得，

假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，

设，则，

，，

整理得，

对任意实数m，k恒成立，则，

故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.

变式训练3：已知，直线过且与交于两点，过点作直线的平行线交于点．

(1)求证：为定值，并求点的轨迹的方程；

(2)设动直线与相切于点，且与直线交于点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析，（）；(2)存在，

解析：（1）圆A：，

∵，∴，又，∴

∴，∴，故

∴点的轨迹是以A，为焦点的椭圆，且，

∴，故：（）；

（2）由，得

∴，故，

设，则，，

故，，

由可得：

由对，恒成立

∴

故存在使得以为直径的圆恒过定点

考点三：直径圆过定点（求圆的方程）

例1．已知定点，动点与连线的斜率之积.

(1)设动点的轨迹为，求的方程；

(2)若是上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

【答案】(1)；(2)以为直径的圆过定点，定点坐标为和.

解析：(1)设点，则直线PA，PB的斜率分别为：，，

依题意，，化简整理得：，

所以的方程是：.

(2)由(1)知，令是上任意一点，则点，

直线：，则点，直线：，则点，

以MN为直径的圆上任意一点，当点Q与M，N都不重合时，，有，

当点Q与M，N之一重合时，也成立，

因此，以MN为直径的圆的方程为：，

化简整理得：，而，即，

则以MN为直径的圆的方程化为：，显然当时，恒有，

即圆恒过两个定点和，

所以以为直径的圆过定点，定点坐标为和.

变式训练1：如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于点，已知椭圆的离心率为，△的周长为8．

(1)求椭圆的方程；

(2)设点的坐标为．

①当，，成等差数列时，求点的坐标；

②若直线、分别与直线交于点、，以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

【答案】(1)；(2)①或；②过定点、，理由见解析.

解析：（1）由题设，易知：，可得，则，

∴椭圆.

（2）①由（1）知：，令，则，

∴，解得，故，此时或

②由（1），，，

∴可令直线：，直线：，

∴将代入直线可得：，，则圆心且半径为，

∴为直径的圆为，

当时，，又，

∴，可得或.

∴为直径的圆过定点、.

变式训练2：已知椭圆过点，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作直线，与直线和椭圆分别交于两点，（与不重合）.判断以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.

【答案】(1)；(2)过定点，定点为

解析：(1)由题意得，，，

又因为，所以.

所以椭圆C的方程为.

(2)以为直径的圆过定点.理由如下：

当直线斜率存在时，设直线的方程为（）.

令，得，所以.

由得，则或，

所以.

设是以为直径的圆上的任意一点，

则，.

由题意，，

则以为直径的圆的方程为.

即恒成立.

即解得

故以为直径的圆恒过定点.

当直线斜率不存在时，以为直径的圆也过点.

综上，以为直径的圆恒过定点.

考点四：点在圆内或圆外

例1．已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足

(1)求椭圆的方程；

(2)若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

解析：(1)

依题得解得：

椭圆的方程为.

(2)由已知动直线与椭圆相交于、，设

联立得：

解得：，即：或

（*）

坐标原点总在以为直径的圆外

则：,

即将（*）代入此式，

解得：，即

或

或

变式训练1：已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形，斜率为的直线经过点，与椭圆交于不同两点、.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当椭圆的右焦点在以为直径的圆内时，求的取值范围.

【答案】(1)；(2)

解析：(1)依题意作图如下：

，，，

椭圆的方程为：；

(2)设、，先假设直线l的斜率k存在，则直线的方程为，

联立椭圆与直线l的方程：

，解得，

，

由于，，，，，

点F在圆内，故，即，，解得：；

若k不存在，则直线l与椭圆的交点为，

此时圆的半径为2，点F在圆周上，不满足要求，所以；

故答案为：，.

变式训练2：已知椭圆C：，点，分别为椭圆的左、右焦点．

(1)求椭圆的短轴长和点，的坐标；

(2)设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点，若点在以为直径的圆的外部，求的取值范围．

【答案】(1)短轴长为2，；(2)

解析：(1)将椭圆化为标准方程为，则，，，

椭圆的短轴长为2，；

(2)显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则，

联立，消去可得，，

则恒成立，

依题意，，又，

，即，

，

又，则，

，即，

又，则实数的取值范围为．

变式训练3：如图，椭圆：的离心率为，左顶点为，直线过其右焦点且与椭圆交于两点，已知三角形面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线、分别与一条定直线交于，两点，若点始终在以为直径的圆内，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

解析：（1）三角形面积，

可得∴，

∴.

（2）由题设的倾斜角不为0，

∴设：，与联立，

∴，

设，，∵，

，

∴：，

∴，

同理，

∵，

，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴.

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线的基本性质；

（2）直径所对圆周角为，即向量的数量积为零；

（3）在圆内，所对应的角为钝角，向量的数量积小于零；在圆外，所对应的角为锐角，向量的数量积大于零；

2、易错点：圆内，圆外的角度翻译，即向量数量积与零的大小关系；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．已知椭圆：经过点，设右焦点，椭圆上存在点，使垂直于轴且.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于两点.是否存在直线使得以为直径的圆过点?若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

【答案】(1)；(2)存在，或.

解析：(1)由题意，得，设，将代入椭圆方程，得，

所以，解得，所以椭圆的方程为.

(2)当斜率不存在时，即时，，为椭圆短轴两端点，

则以为直径的圆为，恒过点，满足题意；

当斜率存在时，设，，，

由得：，

，解得：．

，，

若以为直径的圆过点，则，即，

又，，

，

解得：，满足，即，此时直线的方程为．

综上，存在直线使得以为直径的圆过点，的方程为或．

2．已知抛物线：，直线经过点，且与抛物线交于两点，其中.

(1)若，且，求点的坐标；

(2)是否存在正数，使得以为直径的圆经过坐标原点，若存在，请求出正数，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)或；(2)存在，

解析：(1)依题意得为的焦点,

故，解得,

故，则

∴点的坐标或;

(2)假设存在正数，使得以为直径的圆经过坐标原点,

∴，

设直线：，，，

由,得

,

则，,

∵，,∴,

解得或（舍去）

所以存在正数，使得以为直径的圆经过坐标原点.

3．已知焦点在轴上的抛物线过

(1)求抛物线的标准方程及准线方程；

(2)已知直线与抛物线交于点A，，若以为直径的圆过原点，求直线的方程．

【答案】(1)；；(2)

解析：(1)根据题意可设抛物线的方程为，

代入点得，解得，

所以抛物线的标准方程，

准线方程为；

(2)设，

联立，消得：，

，则，

，

因为以为直径的圆过原点，

所以，则，

即，

即，

所以，解得，

又，所以，

所以直线的方程为.

4．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为4，且该四边形内切圆的方程为．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线(,均为常数)与椭圆相交于，两个不同的点(,异于,)，若以为直径的圆过椭圆的右顶点，试判断直线能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，请说明理由．

【答案】(1)；(2)直线过定点，该定点为.

解析：(1)四边形的面积为4，且可知四边形为菱形

∴，即①

由题意可得直线方程为：，即，

∵四边形内切圆方程为

∴圆心到直线的距离为，即②．

由①②：，，

∴椭圆的方程为：；

(2)设，，

由得：，

∵直线与椭圆相交于，两个不同的点，

∴，即③

由韦达定理得

∵以为直径的圆过椭圆的右顶点，

∴，，

由于，所以，

∴，

即，

从而，

即，

∴，或适合③．

当时，直线，所以恒过定点，

当时，直线，过定点，舍去．

综上可知：直线过定点，该定点为．

5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，是直角三角形．

(1)求抛物线的方程．

(2)若点在第一象限，直线与抛物线交于异于点的两点，以线段为直径的圆经过点．直线是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由．

【答案】(1)；(2)过定点.

解析：（1）由题意知：不是直角．①当为直角时，，则，即．点在抛物线上，，，解得：，与矛盾，不符合题意；②当为直角时，，解得：，符合题意．抛物线的方程为：．

（2）设直线，，，联立整理得：，则，即，则，．由（1）可知：，则，．以线段为直径的圆经过点，，即，则，即．将，代入得：，整理得：，即，解得：或．当时，直线，过定点，经验证此时，符合题意；当时，直线，此时点在直线上，则点与点或点重合，与异于点矛盾，不符合题意．综上所述：直线过定点．

6．已知椭圆为椭圆的左､右焦点，焦距为，点在上，且面积的最大值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作直线交椭圆于两点，以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若存在该定点，请求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；(2)以为直径的圆恒过轴上的定点.

解析：(1)由椭圆的焦距为，可得，即.

设点的纵坐标为的面积，

其中，根据面积的最大值为，可得.

由椭圆的性质可得：.

于是椭圆的方程为.

(2)当直线的斜率为0时，以为直径的圆的方程为

圆与轴的交点为

当直线的斜率不为0时，设直线.

将直线与椭圆联立，可得.

设点的坐标分别为，则有

以为直径的圆的方程为

令，可得：①.

其中②，

③.

②③代入①可得④.

式子④可变换为⑤.

当，且时，⑤式成立，可解得.

综上可得，以为直径的圆恒过轴上的定点.

7．已知抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上点的横坐标为，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)过抛物线的焦点作与轴不垂直的直线交抛物线于两点，直线分别交直线于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

解析：(1)由题意可设抛物线方程为，､，

由.可得，即.解得

抛物线方程为：.

(2)设直线：，，，

由联立得，.

则.

直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得.

以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为.令.则.

即，解得或.

即以AB为直径的圆经过轴上的两个定点，.