2023年高考数学压轴题--圆锥曲线专题 第07讲：轨迹问题（解析版）

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第七讲：轨迹方程
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单定义，及简单的几何性质；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的几何性质，并能够熟练利用直译法和相关点法求解轨迹方程；
拓展目标：能够熟练应用椭圆，双曲线，抛物线的定义，并数形结合找到动点的轨迹形式，通过定义求解动点的轨迹方程.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．

2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．

3、求轨迹方程的方法：
（1）直译法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
（2）相关点法：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
（1）定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。


【考点剖析】
考点一：直译法
例1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于；求动点的轨迹方程，并注明的范围；
【答案】
解析：因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为
设点P的坐标为，由题意得，化简得
故动点P的轨迹方程为；

变式训练1：已知，，动点满足与的斜率之积为，记的轨迹为曲线；求点的轨迹方程；
【答案】
解析：直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，
由题意可知：，
故曲线的方程为：.

变式训练2：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点的轨迹方程；
【答案】
解析：设 ，依题意有 ， ，即 ，
整理得： 或 ；

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为；求点的轨迹方程；
【答案】；
解析：设，因为直线相交于点，且它们的斜率之积为，
所以，
整理可得，
所以点的轨迹方程为.


例2．已知平面上动点到的距离比到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线；求曲线的方程．
【答案】；
解析：，由题意，得，
当时，，平方可得，
当时，，平方可得，
由可知，不合题意，舍去.
综上可得，所以的轨迹方程为．

变式训练1：已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线；求的方程；
【答案】
解析：由题意知，两边平方整即得，
所以，曲线的方程为.


变式训练2：已知点，平面上的动点到的距离是到直线的距离的倍，记点的轨迹为曲线；求曲线的方程；
【答案】
解析：设是所求轨迹上的任意一点，
由题意知动点到的距离是到直线的距离的倍，
可得，整理得，
即曲线C的方程为.

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为曲线；求曲线的方程；
【答案】
解析：设，则线段的中点坐标为，
因为以为直径的圆与轴相切，所以 ，
整理得．
故曲线的方程为．

例3．在平面直角坐标系中，已知点，是一动点，直线，，的斜率分别为，，，且，记点的轨迹为；求的方程；
【答案】；
解析：设，
所以，，，
因为，所以，
化简得．
所以曲线的方程为．

变式训练1：在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且直线的斜率与直线的斜率之和等于直线的斜率；求动点的轨迹的方程；
【答案】（且）；
解析：设点的坐标为，由题意可得，即，则且.
整理可得（且）.
因此，动点的轨迹的方程为（且）；

变式训练2：设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点；求动点的轨迹的方程；
【答案】；
解析：设，则，
所以，
由条件可得，
整理可得点的轨方程为；

变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线；求曲线的方程；
【答案】
解析：由点关于直线的对称点为，则
则，
所以，即
所以曲线的方程为：

考点二：相关点法
例1．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足；求点的轨迹方程；
【答案】
解析：设点在圆上，
故有，设，又，可得，，
即，
代入可得，
化简得：，故点的轨迹方程为：.

变式训练1：圆的方程为：，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点在上，且；求点的轨迹的方程；
【答案】
解析：设，则，设，，，因为，所以，把代入圆的方程得，所以的轨迹的方程为.


变式训练2：已知圆：与轴交于点，过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，是的中点，记的轨迹为曲线；求曲线的方程；
【答案】；
解析：设，则，
∵是的中点，∴，
又∵在圆上，，
即；
∴曲线的方程为：；
变式训练3：圆上的动点在轴、轴上的射影分别是，点满足；求点的轨迹的方程；
【答案】；
解析：设，，则，，
由．得
代入，所以点的轨迹的方程为.

例2．已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值；求线段的中点的轨迹方程；
【答案】
解析：∵点在上运动，点在上运动，
∴设，，线段的中点，则有，
∴，
∵线段的长为定值，∴+=8，
即+=8，化简得.
∴线段的中点的轨迹方程为.

变式训练1：如图，分别在轴､轴上运动，点满足点的轨迹为曲线；求曲线的方程；
【答案】
解析：设
由已知，即，
又，
即，


所以曲线的方程为；

变式训练2：已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C；求曲线C的方程；
【答案】
解析：设点P（x，y），D，则A 、B，由题意的，因为，
所以  而，，
所以代入圆O：得曲线C的方程为 .

变式训练3：已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线；求曲线的方程，
【答案】；
解析：设动点，，因为轴于，所以，
设圆的方程为，则，
所以圆的方程为，
由题意，，所以，
所以，即，
将代入圆，得动点的轨迹方程.


考点三：定义法
例1．已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线；请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
【答案】；
解析：以，的中点为原点，，所在直线为轴建立直角坐标系，由椭圆定义可知的轨迹为为椭圆，
即：

变式训练1：动点满足；求点的轨迹并给出标准方程；
【答案】点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为.
解析：由动点满足，
可得动点到点，，，的距离之和为常数，且，
故点的轨迹为椭圆，且，，
则，，
则，
故椭圆的方程为．

变式训练2：已知，曲线上任意一点满足；曲线上的点在轴的右边且到的距离与它到轴的距离的差为；求的方程；
【答案】的方程为，的方程为．
解析：由题意可知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，故有，∴的方程为，
设，则有，化简得，
即的方程为．

变式训练3：已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是；求曲线的方程；
【答案】；
解析：设，，，
则，，
由于，
即，设，，
则，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
故，，，
所以，动点的轨迹的方程为：．


例2．如图，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点；求点的轨迹的方程；
【答案】
解析：连结，由题意有
所以
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆
所以点的轨迹的方程为

变式训练1：已知点为圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线交于点；求点的轨迹的方程；
【答案】
解析：由题意.
∴点的轨迹是以点为焦点，焦距为，长轴为的椭圆，
所以，
所以点的轨迹方程是


变式训练2：已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点；求点的轨迹的方程；
【答案】
解析：由题意得
点的轨迹为以为焦点的椭圆
点的轨迹的方程为
变式训练3：设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
【答案】（）.
因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.

例3．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切；求动圆圆心的轨迹的方程；
【答案】
解析：设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，
∴，且.于是，，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，
所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．

变式训练1：已知圆与圆：外切，同时与圆：内切；说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
【答案】;
解析：设圆的半径为，由圆与圆: 外切，得: ,
由圆与圆：内切，得: ，故，
则动点的轨迹是，为焦点，长轴长为的椭圆，
故椭圆的短半轴长为，故椭圆的方程为.

变式训练2：在直角坐标系中，动圆与圆：外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线；求曲线的轨迹方程；
【答案】；
设圆心，圆的半径为，因为动圆与圆外切, 所以①，又动圆与直线相切.所以②，联立①②消去，可得．
所以曲线的轨迹方程为.

变式训练3：已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线；求曲线的方程；
【答案】，
解析：如图，
设圆的圆心，半径为，
则，，所以．
由双曲线定义可知，的轨迹是为焦点，实轴长为的双曲线右支，
所以曲线的方程为，．


考点四：交轨法
例1．已知点，，，，动点S，T满足，，直线MS与NT交于一点P．设动点P的轨迹为曲线C；求曲线C的方程；
【答案】；
解析：由题意，知，从而，则.
设，则，.
由M，P，S三点共线，得.
由，得，从而.
由N，P，T三点共线，得，消去得，
整理得，
即曲线C的方程为.


【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线的定义和简单性质；
（2）直译法，相关点法求解轨迹方程；
（3）定义法求解椭圆的轨迹方程；
2、易错点：通过定义，性质进行对应的分析，找寻关系求解；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.


【过关检测】
1．在平面直角坐标系中，已知，，是一个动点，分别为线段的中点，且直线的斜率之积是，记的轨迹为；求的方程；
【答案】
解析：由题意可知，直线OC，OD的斜率存在，且，．
所以直线BM，AM的斜率之积也等于，
设，则直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，整理得，
故的方程为

2．点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为；求点P的轨迹方程；
【答案】
解析：设点，则，P到直线的距离为，由题意得：，解得：.

3．已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为；求动点P的轨迹E的方程；
【答案】，；
解析：令得：，不妨设，，则，整理得：，；动点P的轨迹方程E为，；

4．已知点，点，点M与y轴的距离记为d，且点M满足：，记点M的轨迹为曲线W；求曲线W的方程；
【答案】
解析：设，由题意得，，
由,
∴
∴．
∴，
即M的轨迹方程为；

5．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，两个动点，记点的轨迹为曲线；求曲线的方程；
【答案】
解析：设动圆的圆心为，则 ，半径为， ，化简得： ，即的方程为 ；

6．在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F（2，0）且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线；求曲线的方程；
【答案】
解析：设圆心为，由题意得：，两边平方，整理得：，故曲线的方程为.
7．设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为；求的方程；
【答案】
解析：设点，，由题意可知
∵，∴，
即，
又点在圆上
∴
代入得
即轨迹的方程为

8．线段的长等于3，两端点，分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线；求曲线的方程；
【答案】；
解析：设，，，由于，则①
∵，∴，可得到，
代入①式得点的轨迹方程为.

9．已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，动点的轨迹为；求的方程；
【答案】；
解析：设，∵，
∴，∴，.
则，，又，
∴，即为的方程.

10．已知是轴上的动点（异于原点），点在圆：上，且.设线段的中点为；当点移动时，求点的轨迹方程.
【答案】.
解析：设,由,为等腰三角形.
设,则.又为的中点,故 ,解得 .
得,则,
把代入,整理得,
所以点的轨迹方程为.

11．已知：如图，两同心圆：和．为大圆上一动点，连结（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为；当点在大圆上运动时，求垂足的轨迹方程；
【答案】；
解析：设垂足，则，
因为在上，
所以，即，
故垂足的轨迹方程为；

12．半圆的直径的两端点为,点在半圆及直径上运动,若将点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点,记点的轨迹为曲线；求曲线的方程;
【答案】或.
解析：设,则,
由题意可知当在直径上时,显然;
当在半圆上时,,
曲线的方程为或.

13．已知点M是圆与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦，并使弦的中点恰好落在y轴上；求点N的轨迹E的方程；
【答案】；
解析：解法一：由题意知，，设是上的任意点，
弦的中点恰好落在轴上，
，，，
整理得，，，
点的轨迹方程为．
解法二：设，弦的中点为，，
因为在轴的负半轴上，故．，
由垂径定理得，故．

14．在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为；求轨迹的方程；
【答案】
解析：由题意：，
∴根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中，.
∴，，，
∴轨迹的方程为：；

15．已知圆：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q；求点Q的轨迹方程；
【答案】
解析：∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴.
又，∴.
∴点Q的轨迹是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为4的椭圆.
可设方程为，则，
∴，
∴点Q的轨迹方程为.

16．在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过点，且圆与圆内切；求动点的轨迹的方程；
【答案】
解析：圆的方程可化为：，
故圆心，半径，
而，所以点在圆内.
又由已知得圆的半径，由圆与圆内切可得，圆内切于圆，即，
所以，
故点的轨迹，即曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆.
显然，所以，
故曲线的方程为

17．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为；求曲线的轨迹方程；
【答案】；
由已知，
轨迹为双曲线的右支，，，，
曲线标准方程


18．如图：、是两个定点，且，动点到点的距离是4，线段的垂直平分线交于点，直线垂直于直线，且点到直线的距离为3；建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程；
【答案】；
解析：以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则点，的坐标分别是，
为的垂直平分线，
.
点的轨迹是以，为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程是：.

19．在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，；求动点的轨迹的方程；
【答案】；
解析：如图，是线段与轴的交点，直线l和y轴平行，故R是线段PF的中点，
又，故是线段PF的中垂线，所以，
结合知，动点到点F的距离等于到直线l的距离，
故动点的轨迹是开口向右的抛物线，F是焦点，l是准线，依题意动点不能与O重合，
故方程为；


20．已知定点，为轴上方的动点，线段的中点为，点在轴上的射影分别为，是的平分线，动点的轨迹为；求的方程；
【答案】；
解析：解法一：设坐标原点为，因为，所以，
因为是的平分线，所以，
所以，所以，
因为为线段的中点，，
所以，因为，所以，
因为为轴上方的动点，所以点到点的距离等于点到直线的距离，
所以动点的轨迹是顶点在原点，焦点为的抛物线（原点除外），
设的方程为，则，所以，
所以的方程为.
解法二：设点，所以点，所以，
因为是的平分线，所以点到直线的距离，
因为直线的方程为，
整理得，所以，
所以，整理得，
所以动点的轨迹的方程为