江苏省无锡市江阴市普通高中2022-2023学年高三上学期阶段测试（期末）数学试卷

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注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1＞0}，B＝{x|0＜x＜2}，则(CRA)∩B＝( ▲ )
A．{x|0＜x≤1} B．{x|x≤2} C．{x|x≤1} D．{x|1≤x＜2}
2．已知i为虚数单位，复数z＝(2＋i3)(1＋ai)为纯虚数，则|z|＝( ▲ )
A．0 B．eq \f(1,2) C．2 D．5
3．给出下列四个命题，其中正确命题为( ▲ )
A．a＞b是3a＞3b的充分不必要条件
B．α＞β是csα＜csβ的必要不充分条件
C．a＝0是函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数的充要条件
D．f(2)＜f(3)是函数f(x)＝eq \r(,x)在[0，＋∞)上单调递增的既不充分也不必要条件
4．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1：3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为( ▲ )
A．eq \f(\r(,7),8) B．eq \f(\r(,43),24) C．eq \f(1,9) D．eq \f(1,27)
5．函数f(x)＝eq \f(3\s(x)－3\s(－x),x\s(2))的图象大致为( ▲ )
A B C D
6．已知一个等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为P，Q，R，则下列等式正确的是( ▲ )
A．P＋Q＝R B．Q2＝PR C．(P＋Q)－R＝Q2 D．P2＋Q2＝P(Q＋R)
7．在平面直角坐标系xOy中，若满足x(x－k)≤y(k－y)的点(x，y)都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是( ▲ )
A．－2eq \r(,2)≤k≤2eq \r(,2) B．－eq \r(,2)≤k≤eq \r(,2) C．－2eq \r(,2)≤k≤eq \r(,2) D．[－eq \r(,2)，0)∪(0，eq \r(,2)]
8．设a＝eq \f(π,6)，b＝cs1，c＝sineq \f(1,3)，这三个数的大小关系为( ▲ )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)
9．若x＞0，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则下列结论正确的是( ▲ )
A．x＋y≥2(eq \r(,2)＋1) B．xy≥(eq \r(,2)＋1)2
C．x＋y≤(eq \r(,2)＋1)2 D．xy≤2(eq \r(,2)＋1)
10．已知一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB的面积为S，时间t(单位：时)，则以下说法中正确的选项是( ▲ )
A．时针OA旋转的角速度为－eq \f(π,6)rad/h
B．分针OB旋转的角速度为2πrad/h
C．一小时内(即t∈[0，1)时)，∠AOB为锐角的时长是eq \f(5,11)h
D．一昼夜内(即t∈[0，24)时)，S取得最大值为44次
11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( ▲ )
A．事件B与事件Ai(i＝1，2，3)相互独立 B．P(A1B)＝eq \f(8,45)
C．P(B)＝eq \f(1,3) D．P(A2|B)＝eq \f(6,31)
12．已知P为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的动点，Q(4，－4)在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，M(4，－3)，N(－1，1)，则( ▲ )
A．|PM|＋|PF|的最小值为5
B．若线段AB的中点为M．则△NAB的面积为2eq \r(,2)
C．若NA⊥NB，则直线的斜率为2
D．过点E(1，2)作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，满足直线GH的斜率为－1，则EF平分∠GEH
三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)
13．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x＋10与双曲线EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为 ▲ ．
14．(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中x的升幂排列的第3项为 ▲ ．
15．已知函数f(x)＝a(x－5)2＋6lnx(a∈R)，曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)，则函数f(x)的极小值为 ▲ ．
16．(第一空2分，第二空3分)已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为eq \f(3π,4)，m·n＝－1，则向量n＝ ▲ ；若向量n与向量q＝(1，0)的夹角为eq \f(π,2)，向量p＝(csx，2cs2(eq \f(π,3)－eq \f(x,2)))，其中0＜x＜a，当|n＋p|∈[eq \f(\r(,2),2)，eq \f(\r(,5),2))时，实数a的取值范围为 ▲ ．
四、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)
17．(本题满分10分)
已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且交BC于D．
(1)用正弦定理证明：eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,DC)；
(2)若∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，求BD．
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18．(本题满分12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝3eq \s(n－1)，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
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19．(本题满分12分)
天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布N(90，100)，航天员在此项指标中的要求为ξ≥110．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为eq \f(1,4)，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数(结果取整数)．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜X＜μ＋2a)＝0.9545，P(μ－3σ＜X＜μ＋3a)＝0.9973．
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20．(本题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，AP⊥DP，AE＝1，AP＝2，DP＝2eq \r(,3)，CD＝3，AB∥CD，AB⊥平面PAD，点M满足EQ \\ac(\S\UP7(→),AM)＝λEQ \\ac(\S\UP7(→),AD)(0＜λ＜1)．
(1)若λ＝eq \f(1,4)，求证：平面PBM⊥平面PCM；
(2)设平面MPC与平面PCD的夹角为θ，若tanθ＝eq \f(\r(,7),6)，求λ的值．
(第20题图)
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21．(本题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：eq \f(|x|,a)＋\f(|y|,b)＝1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4eq \r(,2)，曲线C1上的点到原点O的最短距离为eq \f(2\r(,2),3)．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2．
(1)求椭圆C2的标准方程：
(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上的点(与O不重合)，若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的取值范围．
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22．(本题满分12分)
已知函数f(x)＝ex－ax．
(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；
(2)若方程xex＝ax＋alnx有两个实数根x1，x2，且x1≠x2，证明：x1＋x2＋ln(x1x2)＜2lna．
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