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2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题（二模三模）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题（二模三模）含解析，共65页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，计算题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程有两个相等实数根，且满足则m的值是（ ）
A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2
3. 在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与工夫t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所的路程为( )
A. 88米 B. 68米 C. 48米 D. 28米
4. 下列三个命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形．
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
5. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）
A 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
6. AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 122° B. 128° C. 132° D. 138°
7. 如图，反比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【 】
A. 0＜x＜2 B. x＞2 C. x＞2或-2＜x＜0 D. x＜－2或0＜x＜2
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “打开电视，正在播放河南旧事节目”是必然
B. 某种中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C. 神舟飞船发射前要对各部件进行抽样检查
D. 了解某种节能灯的运用寿命合适抽样调查
9. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，中止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，反复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和工夫（min）的关系如图，为了在上午节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的工夫可以是当天上午的
A. 7：20 B. 7：30 C. 7：45 D. 7：50
10. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 ，则原铁皮的边长为（ ）
A. 10cm B. 13cm C. 14cm D. 16cm
11. （2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模仿）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A. B. 3 C. 2 D. 1
12. 如图，在△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOR=（ ）
A. 60° B. 65° C. 72° D. 75°
13. 图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A. y=﹣2x2 B. y=2x2
C. y=﹣0.5x2 D. y=0.5x2
14. 如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题：
16. 把一元二次方程化成二次项系数大于零的普通方式是_____________，其中二次项系数是_____________，项系数是____________，常数项是___________．
17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延伸线于点E，则△BDE的面积为________．
18. 有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图）．按照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的_____倍．
19. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD程度，BC与程度面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所的路线长为____cm．
20. 在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=___________.（结果保留根号）
三、计算题：
21. 计算： +|﹣3|﹣2sin60°﹣（）2+20160．
22. 解方程:3x2＋2x＋1=0
四、解 答 题：
23. 如图1和图2均是由边长为1小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．
要求：
（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；
（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的在理数．
24. 某班“2016年联欢会”中，有一个摸奖游戏：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，2张是哭脸，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同窗去翻纸牌．
（1）如今小芳和小霞分别有翻牌机会，若正面是笑脸，则小芳获奖；若正面是哭脸，则小霞获奖，她们获奖的机会相反吗？判断并阐明理由．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．翻牌规则：小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只需出现笑脸就获奖．请问他们获奖的机会相等吗？判断并阐明理由．
25. 如图,一艘轮船以18海里/时的速度由西向东方向航行,行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上,继续向东行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上,求轮船与灯塔的最短距离．（到0.1，≈1.73）
26. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延伸线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的外形，并证明你的结论．
27. 近年来，我国煤矿事故频频发生，其中危害的是瓦斯，其次要成分是CO．在矿难的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型添加，在第7小时达到值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列成绩：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与工夫x函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只要在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
28. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
29. 如图，抛物线y=ax2+bx+cA（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上能否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请阐明理由；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点,连接BC,在线段BC上能否存在这样的点M,使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在,求点M的坐标；若不存在,请阐明理由．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，故选B．
考点：简单几何体的三视图．
2. 方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ）
A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2
【正确答案】C
【分析】根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2-4ac=0，求得m的值，由相反的解处理成绩．
【详解】解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，
∴m+6=m2，
解得m=3或m=-2，
∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0
解得m=6或m=-2
∴m=-2．
故选：C．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=．
3. 在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与工夫t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所的路程为( )
A. 88米 B. 68米 C. 48米 D. 28米
【正确答案】A
【详解】当t=4时，路程(米).
故本题应选A.
4. 下列三个命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形．
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【正确答案】B
【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，①错误；三个角是直角的四边形是矩形，②正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，③正确，所以真命题有2个故选B.，
5. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得，然后根据AC=4，CE=6，BD=3，可代入求解DF=4．5．
故选B
考点：平行线分线段成比例
6. AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 122° B. 128° C. 132° D. 138°
【正确答案】C
【详解】试题分析：首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案．
解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=42°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=48°，
∴∠BCD=180°﹣∠A=132°．
故选C．
考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．
7. 如图，反比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【 】
A. 0＜x＜2 B. x＞2 C. x＞2或-2＜x＜0 D. x＜－2或0＜x＜2
【正确答案】D
【分析】先根据反比例函数与反比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论.
【详解】∵反比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称.
∵A（2，1），
∴B（－2，－1）.
∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜－2时函数y1的图象在y2的上方，
∴使y1＞y2的x的取值范围是x＜－2或0＜x＜2.故选D.
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “打开电视，正在播放河南旧事节目”是必然
B. 某种中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C. 神舟飞船发射前要对各部件进行抽样检查
D. 了解某种节能灯的运用寿命合适抽样调查
【正确答案】D
【详解】必然指在一定条件下一定发生的．不可能是指在一定条件下，一定不发生的．不确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．
【分析】解：A．“打开电视，正在播放河南旧事节目”是随机，故A选项错误；
B．某种中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；
C．神舟飞船发射前需求对零部件进行全面调查，故C选项错误；
D．了解某种节能灯的运用寿命，具有破坏性合适抽样调查，故D选项正确．
故选：D．
本题考查了调查的方式和的分类．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然指在一定条件下一定发生的．不可能是指在一定条件下，一定不发生的．不确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的．
9. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，中止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，反复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和工夫（min）的关系如图，为了在上午节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的工夫可以是当天上午的
A. 7：20 B. 7：30 C. 7：45 D. 7：50
【正确答案】A
【详解】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需求7分钟．
设函数关系式为：y=k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30．
∴y=10x+30（0≤x≤7）．
令y=50，解得x=2；
设反比例函数关系式为：，
将（7，100）代入得k=700，∴．
将y=30代入，解得．∴（7≤x≤）．
令y=50，解得x=14．
∴饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤工夫段内，水温不超过50℃．
逐一分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤工夫段内，故可行；
选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤工夫段内，故不可行；
选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤工夫段内，故不可行；
选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤工夫段内，故不可行．
综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A．
10. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 ，则原铁皮的边长为（ ）
A. 10cm B. 13cm C. 14cm D. 16cm
【正确答案】D
【详解】设原铁皮的边长为xcm，
则(x－6)(x－6)×3=300，
解得：x=16或x=－4(舍去)，
即原铁皮的边长为16cm.
11. （2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模仿）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A. B. 3 C. 2 D. 1
【正确答案】D
【详解】试题解析：由题意得：DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∵∠C=∠DEA，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB,
∴=,
∵A′为CE的中点，
∴C A′=E A′，
∴C A′=E A′=AE，
∴==，
∴DE=1.
故选D
12. 如图，在△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOR=（ ）
A. 60° B. 65° C. 72° D. 75°
【正确答案】D
【分析】作辅助线连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．
【详解】解：连接OD，AR，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴∠PRQ=60°，
∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠AOD=90°，
∵BC∥RQ，AD∥BC，
∴AD∥QR，
∴∠ARQ=∠DAR，
∴，
∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=PR，
∴，
∴，
∴∠AOP=∠AOD=45°，
所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．
故选D．
考点: 正多边形和圆．
13. 图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A. y=﹣2x2 B. y=2x2
C. y=﹣0.5x2 D. y=0.5x2
【正确答案】C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
【详解】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式为 y=﹣0.5x2 ，选C．
根据题意得到抛物线点的坐标，求解函数解析式是处理本题的关键.
14. 如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】如图：过点A作垂线AC⊥x轴于点C.
则AC=4，BC=3，故由勾股定理得AB=5.
si==.故选D.
15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的地位：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点地位：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题：
16. 把一元二次方程化成二次项系数大于零的普通方式是_____________，其中二次项系数是_____________，项系数是____________，常数项是___________．
【正确答案】 ①. ②. 1 ③. 2 ④.
【分析】经过去括号，移项，可以得到一元二次方程的普通方式，然后写出二次项系数，项系数和常数项．
【详解】解：去括号：1-x2=2x，
移项：x2+2x-1=0，
∴二次项系数是：1，项系数是：2，常数项是：-1，
故答案分别是：x2+2x-1=0，1，2，-1．
本题考查的是一元二次方程的普通方式，经过去括号，移项，可以得到一元二次方程的普通方式，然后写出二次项系数，项系数和常数项．
17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延伸线于点E，则△BDE的面积为________．
【正确答案】24
【详解】解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，
∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
∴OA=OC= AC=3，AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
在RT△BCO中，BO= =4，
∴BD=8，
∴S△BDE= DE•BD=24．
故24
18. 有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图）．按照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的_____倍．
【正确答案】
【详解】设原等腰直角三角形三条边长分别为：a、a、a，原周长为（2+）a；
折叠后三角形三边长分别为：a、a、a，周长为（+1）a；
折叠两次后三角形三边长分别为：a、a、a，周长为（1+）a；
……
折叠n次后三角形周长为（2+）a×（）n.
所以折叠四次后三角形的周长为：（2+）a×（）4=（2+）a，是原三角形周长的.
故答案为.
点睛：此题关键在于找出每折叠后三角形的周长的变化规律.
19. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD程度，BC与程度面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所的路线长为____cm．
【正确答案】
【详解】试题解析：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心挪动路线的分解图象．
可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO1，线段O1O2，圆弧，线段O3O4四部分构成．
其中O1E⊥AB，O1F⊥BC，O2C⊥BC，O3C⊥CD，O4D⊥CD．
∵BC与AB延伸线夹角为60°，O1是圆盘在AB上滚动到与BC相切时的圆心地位，
∴此时⊙O1与AB和BC都相切．
则∠O1BE=∠O1BF=60度．
此时Rt△O1BE和Rt△O1BF全等，
在Rt△O1BE中，BE=cm．
∴OO1=AB-BE=（60-）cm．
∵BF=BE=cm，
∴O1O2=BC-BF=（40-）cm．
∵AB∥CD，BC与程度夹角为60°，
∴∠BCD=120度．
又∵∠O2CB=∠O3CD=90°，
∴∠O2CO3=60度．
则圆盘在C点处滚动，其圆心所的路线为圆心角为60°且半径为10cm的圆弧．
∴的长=×2π×10=πcm．
∵四边形O3O4DC是矩形，
∴O3O4=CD=40cm．
综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心的路线长度是:
（60-）+（40-）+π+40=（140-+π）cm．
20. 在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=___________.（结果保留根号）
【正确答案】
【分析】先延伸EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．
【详解】延伸EF和BC，交于点G．
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE==9，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF．
∵AD∥BC，
∴∠G=∠DEF，
∴∠BEG=∠G，
∴BG=BE=9．
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC，
∴.
设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC．
∵BG=BC+CG，
∴9=9+2x+x，解得x=3-3，
∴BC=9+2（3-3）=6+3．
故答案为6+3．
考点：矩形的性质；等腰三角形的判定；类似三角形的判定与性质．
三、计算题：
21. 计算： +|﹣3|﹣2sin60°﹣（）2+20160．
【正确答案】1
【详解】试题分析：先分别对根式、值、三角函数、乘方进行运算，再进行加减运算.
试题解析：原式=2+3－-2×－3+1=2+3－－－3+1=1.
点睛：（1）a0=1，a≠0；
（2）熟记角三角函数值.
22. 解方程:3x2＋2x＋1=0.
【正确答案】原方程没有实数根．
【详解】试题分析：利用公式法解方程即可.
试题解析：
∵a＝3，b＝2，c＝1，
∴b2－4ac＝4－4×3×1＝－8<0.
∴原方程没有实数根．
四、解 答 题：
23. 如图1和图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．
要求：
（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；
（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的在理数．
【正确答案】图形见解析
【详解】试题分析：（1）要画出面积为2.5的等腰三角形，即要画出腰长为的等腰直角三角形，由网格图不难得出AB=，过B作CB⊥AB，且使BC=AB 即可确定点C，将A、B、C三点连接；（2）画出边长分别为、3、2的三角形即可.
试题解析：
（1）如图1所示，△ABC为所求三角形；
（2）如图2所示，直角三角形为所求三角形．
点睛：此类成绩充分利用网格点勾股定理求出对应边的长度是关键.
24. 某班“2016年联欢会”中，有一个摸奖游戏：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，2张是哭脸，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同窗去翻纸牌．
（1）如今小芳和小霞分别有翻牌机会，若正面是笑脸，则小芳获奖；若正面是哭脸，则小霞获奖，她们获奖的机会相反吗？判断并阐明理由．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．翻牌规则：小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只需出现笑脸就获奖．请问他们获奖的机会相等吗？判断并阐明理由．
【正确答案】（1）相反，理由见解析；（2）机会不相等，理由见解析
【详解】试题分析：（1）由于有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸，翻牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，所以她们获奖的概率都是，获奖的机会相反；（2）先列举出小芳和小明翻牌的所无情况，然后分别计算出她们获奖的概率，比较她们获奖的概率，若概率相等，那么她们的获奖机会相等，若概率不相等，那么她们获奖机会不相等.
试题解析：
（1）∵有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸，翻牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，
∴她们获奖的概率都是，
∴她们获奖机会相反；
（2）他们获奖机会不相等，理由如下：
小芳：
张
第二张
笑1
笑2
哭1
哭2
笑1
笑1，笑1
笑2，笑1
哭1，笑1
哭2，笑1
笑2
笑1，笑2
笑2，笑2
哭1，笑2
哭2，笑2
哭1
笑1，哭1
笑2，哭1
哭1，哭1
哭2，哭1
哭2
笑1，哭2
笑2，哭2
哭1，哭2
哭2，哭2
∵共有16种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只需出现笑脸的有12种情况，
∴P（小芳获奖）==；
小明：
张
第二张
笑1
笑2
哭1
哭2
笑1
笑2，笑1
哭1，笑1
哭2，笑1
笑2
笑1，笑2
哭1，笑2
哭2，笑2
哭1
笑1，哭1
笑2，哭1
哭2，哭1
哭2
笑1，哭2
笑2，哭2
哭1，哭2
∵共有12种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只需出现笑脸的有10种情况，
∴P（小明获奖）==，
∵P（小芳获奖）≠P（小明获奖），
∴他们获奖的机会不相等．
点睛：小芳先翻一张，放回后再翻一张，所以她次翻出的牌有4种可能，第二次翻出的牌仍是4种可能；小明同时翻开两张纸牌，那么可以理解为先翻一张，再翻第二张，与小芳不同的是，小明次翻牌有4种可能，第二次翻牌不可能翻到次翻开的那张，因此只要3种可能.
25. 如图,一艘轮船以18海里/时的速度由西向东方向航行,行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上,继续向东行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上,求轮船与灯塔的最短距离．（到0.1，≈1.73）
【正确答案】轮船与灯塔的最短距离约为8.2海里．
【详解】试题分析：过点P作PC⊥AB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题意可得AB=6海里，BC=PC，在Rt△PAC中，tan30°==，由此求得PC的长，即可得轮船与灯塔的最短距离．
试题解析：
解：过点P作PC⊥AB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题意，得
AB=18×=6，∠PAB=90°﹣60°=30°，∠PBC=90°﹣45°=45°，∠PCB=90°，
∴PC=BC，在Rt△PAC中，tan30°==，即=，
解得PC=3+3≈8.2（海里），∴轮船与灯塔的最短距离约为8.2海里．
26. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延伸线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF外形，并证明你的结论．
【正确答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形．
27. 近年来，我国煤矿事故频频发生，其中危害的是瓦斯，其次要成分是CO．在矿难的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型添加，在第7小时达到值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列成绩：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与工夫x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只要在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
【正确答案】（1），自变量x的取值范围是x＞7；（2）撤离的最小速度为1.5km/h；（3）矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.
【详解】解：（1）由于爆炸前浓度呈直线型添加，
所以可设y与x的函数关系式为
由图象知过点（0，4）与（7，46）
∴. 解得,
∴,此时自变量的取值范围是0≤≤7.
(不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中)
由于爆炸后浓度成反比例下降，
所以可设y与x的函数关系式为.
由图象知过点（7,46），
∴. ∴,
∴，此时自变量x的取值范围是x＞7.
（2）当=34时，由得,6x+4=34，x ="5" .
∴撤离的最长工夫为7-5=2(小时).
∴撤离的最小速度为3÷2="1.5(km/h)"
(3)当=4时，由得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井
（1）由于爆炸前浓度呈直线型添加，所以可设y与x的函数关系式为
用待定系数法求得函数关系式，由图像得自变量的取值范围；由于爆炸后浓度成反比例下降，过点（7,46）即可求出函数关系式，由图像得自变量的取值范围．
（2）将=34代入函数求得工夫，即可求得速度
（3）将=4代入反比例函数求得x,再减7求得
28. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．
【详解】解：（1）连结OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO=90°，
∵AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠CFA=∠DFO，
∴∠CAF=∠DFO，
而OA=OD，
∴∠OAD=∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵圆的半径R=5，EF=3，
∴OF=2，
在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，
∴DF=．
本题考查切线的判定．
29. 如图，抛物线y=ax2+bx+cA（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上能否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请阐明理由；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点,连接BC,在线段BC上能否存在这样的点M,使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在,求点M的坐标；若不存在,请阐明理由．
【正确答案】（1）y=x2﹣x+3；（2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）点M的坐标为或．
【分析】（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；
（2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；
（3）分两种情况分别讨论，即可求得．
【详解】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），
代入C（0，3）得3=4a，解得a=，
y=（x﹣1）（x﹣4）=x2﹣x+3，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．
（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA=1，OC=3，BC==5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．
（3）∵B（4，0）、C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y轴，
∴△MQB∽△COB，
∴,
即，解得b=，代入y=﹣x+3得，=﹣a+3，解得a=，
∴M；
②当∠QMB=90°时，如图3，
∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，
∴BM=5﹣m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴，解得m=，
作MN∥OB，
∴，即
∴MN=，CN=，
∴ON=OC﹣CN=3﹣=，
∴M，
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为或．
考点：1、待定系数法求二次函数的解析式，2、轴对称﹣最短路线成绩，3、等腰三角形的性质
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选：
1. 如图，是由相反小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
4. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
5. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
6. 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
7. 若函数y＝x2m＋1为反比例函数，则m的值是( )
A. 1 B. 0 C. 0．5 D. －1
8. 袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（ ）
A. 不断不变 B. 先增大后减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后不变
10. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196
C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
11. 如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形类似.
A B. C. 或 D. 或
12. 正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是( )
A. B. 2 C. 3 D. 2
13. 图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A. y=﹣2x2 B. y=2x2
C. y=﹣0.5x2 D. y=0.5x2
14. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
15. 将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图象，则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题：
16. 方程x2﹣3x+1=0的项系数是_____．
17. 如图，四边形是正方形，延伸到，使，则__________°．
18. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=1.5 m，CD=4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，则AB与CD间的距离是m．
19. 如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则____．（填“＞“，”“＝”“＜”）
20. 如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似坐标是_____．
三、计算题：
21. 计算：|1﹣|+3tan30°﹣（﹣5）0﹣（﹣）﹣1．
22. （x+3）（x﹣1）=12（用配方法）
四、解 答 题：
23. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
24. 甲乙两人玩摸球游戏：一个不透明的袋子中装有相反大小的3个球，球上分别标有数字1，2，3．首先，甲从中随机摸出一个球，然后，乙从剩下的球中随机摸出一个球，比较球上的数字，较大的获胜．
（1）求甲摸到标有数字3的球的概率；
（2）这个游戏公平吗？请阐明理由．
25. 如图，贵阳市某中学数学小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一程度线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）
26. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点、过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么四边形？阐明你理由；
（3）若D为中点，则当______时，四边形是正方形（直接写出答案）．
27. 心思学家研讨发现，普通情况下，一节课40分钟中，先生的留意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，先生的留意力逐渐加强，两头有一段工夫先生的留意力保持较为理想的波动形态，随后先生的留意力开始分散．实验分析可知，先生的留意力指数y随工夫x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时先生的留意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需求讲19分钟，为了较好，要求先生的留意力指数达到36，那么适当安排，老师能否在先生留意力达到所需的形态下讲解完这道标题？
28. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O直径为10，求AB的长度．
29. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．女女
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP2＝BD•BC；
（3）当△PCD的面积时，求点P的坐标．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选：
1. 如图，是由相反小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看可得到共有4列，每一列小正方形的个数从左到右依次为3、1、1、2，
观察只要D选项符合，
故选D．
本题考查了三视图的知识，纯熟掌握主视图是从物体的正面看得到的图形是解题的关键．
2. 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【详解】A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△=-16＜0，方程没有实数根；
D、△=1-4=-3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
3. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．函数的图象．
4. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【正确答案】B
【详解】解:∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD=2，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形DECO为菱形，
∴OD=DE=EC=OC=2，
则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，
故选B．
5. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
【正确答案】B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B
6. 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【正确答案】C
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用角的三角函数值即可求出OD．
【详解】解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故答案选：C．
本题次要考查了圆周角定理、垂径定理、角的三角函数计算．
7. 若函数y＝x2m＋1为反比例函数，则m的值是( )
A. 1 B. 0 C. 0．5 D. －1
【正确答案】D
【详解】解：由于函数为反比例函数，
故选D．
反比例函数有三种方式：
8. 袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，
∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：．
故选C．
考点：1．列表法或树状图法；2．概率．
9. 如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（ ）
A. 不断不变 B. 先增大后减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后不变
【正确答案】A
【详解】
作CD⊥AB交AB于点D，
则S△ACD=，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∴S△ACD=S△BCD，
∴S△ABC=2 S△ACD=2×=k.
∴△ABC的面积不变．
故选A.
点睛：本题次要理解并运用反比例函数k的几何意义.
10. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196
C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
【正确答案】C
【详解】试题分析：普通增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，从而根据题意得出方程：
50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
故选C．
11. 如图，正方形ABCD边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形类似.
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】C
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D. M、N为顶点的三角形类似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+DM2=1，
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时,DM=DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM= .
∴DM为或时，△ABE与以D. M、N为顶点的三角形类似．
故选C.
点睛：本题考查了类似三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理的运用，掌握类似三角形的对应边的比相等是解题的关键，留意分情况讨论思想与数形思想在本题中的运用.
12. 正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是( )
A. B. 2 C. 3 D. 2
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图：
∵正六边形的边心距为，
∴OB=，AB=OA，
∵OA2=AB2+OB2，
∴OA2=（OA）2+（）2，
解得OA=2．
故选B．
考点：1．正多边形和圆；2．勾股定理．
13. 图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A. y=﹣2x2 B. y=2x2
C. y=﹣0.5x2 D. y=0.5x2
【正确答案】C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
【详解】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式为 y=﹣0.5x2 ，选C．
根据题意得到抛物线点的坐标，求解函数解析式是处理本题的关键.
14. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠α＝∠ACD，
∴cosα＝cos∠ACD＝＝＝，
只要选项C错误，符合题意．
故选：C．
此题次要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．
15. 将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图象，则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】由于,∴顶点横坐标为：−；∵，∴顶点的横坐标为：；
∴a=−(−)=2.
点睛：求得原抛物线的顶点的横坐标及新抛物线的顶点的横坐标，a=新抛物线顶点的横坐标-原抛物线顶点的横坐标．
二、填 空 题：
16. 方程x2﹣3x+1=0的项系数是_____．
【正确答案】-3
【详解】x2－3x+1=0项系数是－3.
故答案为－3.
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）二次项系数为a，项系数为b，常数项为c.
17. 如图，四边形是正方形，延伸到，使，则__________°．
【正确答案】22.5
【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=∠ACB=45°，再根据AC=AE求出∠ACE=67.5°，由此即可求出答案.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠DCB=90°，
∵AC是对角线，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵AC=AE,
∴∠ACE=67.5°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，
故22.5°.
此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，是一道较为基础的题型.
18. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=1.5 m，CD=4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，则AB与CD间的距离是m．
【正确答案】1.8
【详解】由AB ∥ CD，可得△PAB ∽ △PCD，设CD到AB距离为x，根据类似三角形的性质可得，即，解得x=1.8m．
所以AB离地面的距离为1.8m，
故答案为1.8.
19. 如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则____．（填“＞“，”“＝”“＜”）
【正确答案】＜．
【详解】试题分析：如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然．＜，故答案为＜．
考点：确定圆条件．
20. 如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似的坐标是_____．
【正确答案】（0，），（﹣6，7）．
【详解】由图可得：B（－2，5），C（－2，3），F（3，1），
当B、F是对应点时，E、A是对应点，故位似位于直线BF与y轴的交点处，
设直线BF的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，
∴直线BF的解析式是：y=－x+，
则x=0时，y=，
∴位似是（0，）；
当C、E是对应点时，D、F是对应点，故位似位于直线CE与直线DF的交点处，
设直线CE的解析式为：y=ax+c，
则，
解得，
∴直线CE的解析式是：y=－x+1，
设直线DF的解析式为：y=dx+e，
则，
解得，
∴直线DF的解析式是：y=－x+3，
,
解得：，
∴位似是（－6，7）；
故答案为（0，），（－6，7）．
点睛：已知两个图形位似，要确似，若已知对应点，那么对应点的连线的交点即为位似；若对应点未知，要对对应点进行分类讨论.
三、计算题：
21. 计算：|1﹣|+3tan30°﹣（﹣5）0﹣（﹣）﹣1．
【正确答案】2
【详解】试题分析：先对值、三角函数、幂进行运算，再进行加减运算.
试题解析：
解：原式=－1+3×－1－（－3）=－1++3=2．
点睛：（1）熟记锐角三角函数值，去值的时分留意符号成绩；
（2）a0=1（a≠0），=.
22. （x+3）（x﹣1）=12（用配方法）
【正确答案】x1=3，x2=﹣5
【详解】试题分析：先将方程左边去括号，再将常数项移到方程左边，然后方程左右两边同时加上项系数一半的平方，解出x即可.
试题解析：
将原方程整理，得x2+2x=15，
两边都加上12，得x2+2x+12=15+12，
即（x+1）2=16，
开平方，得x+1=±4，
即x+1=4，或x+1=－4，
∴x1=3，x2=－5.
点睛：用配方法进行配方时先将二次项系数化为1，然后方程左右两边同时加上项系数一半的平方.
四、解 答 题：
23. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【正确答案】（1）如下图；（2）；（3）（－2，0）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转旋转180°的对应点A1、B1的地位，然后与点C依次连接即可；再根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的地位，然后依次连接即可；
（2）根据对称的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转，然后写出坐标即可；
（3）根据轴对称确定最短路线成绩，找出点A关于x轴的对称点A′的地位，然后连接A′B与x轴的交点即为点P．
【详解】（1）画出△A1B1C与△A2B2C2如图
（2）如图所示,旋转的坐标为:（，-1）
(3) 如图所示,点P的坐标为（-2，0）.
24. 甲乙两人玩摸球游戏：一个不透明的袋子中装有相反大小的3个球，球上分别标有数字1，2，3．首先，甲从中随机摸出一个球，然后，乙从剩下的球中随机摸出一个球，比较球上的数字，较大的获胜．
（1）求甲摸到标有数字3的球的概率；
（2）这个游戏公平吗？请阐明理由．
【正确答案】(1) ;(2)公平
【详解】试题分析：（1）袋子中装有相反大小的3个球，球上分别标有数字1，2，3，甲摸到标有数字3的球的概率为；（2）列举出所无情况，分别计算出甲、乙两人摸到的数字较大的概率，若概率相等，则公平；若不相等，则不公平.
试题解析：
解：（1）∵袋子中装有相反大小的3个球，球上分别标有数字1，2，3，
∴甲摸到标有数字3的球的概率为；
（2）游戏公平，理由如下：
列举一切可能：
由表可知：甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，
所以游戏是公平的．
点睛：（1）掌握列表法、画树状图法；
（2）要判断游戏能否公平，即比较概率能否相等.
25. 如图，贵阳市某中学数学小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一程度线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）
【正确答案】21m
【详解】试题分析：过点D作DH⊥BC于点M，得出四边形DECH是矩形，所以DH=EC，DE=HC，设BC的长度为xm，则BH=（x－5）m，由∠BDH=30°可以求出∠DBH=60°，进而表示出DH=（x－5），然后表示出AC=（x－5）－10，由BC= tan50°·AC列出方程，解出x即可.
试题解析：
过点D作DH⊥BC于点M，
则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC，
设BC的高度为xm，则BH=（x－5）m，
∵∠BDH=30°，
∴∠DBH=60°，
∴DH=BH·tan60°=（x－5），
∴AC=EC－EA=（x－5）－10，
∵∠BAC=50°，
∴BC= tan50°·AC，
∴x=tan50°·[（x－5）]，
解得：x≈21，
答：建筑物BC的高约为21m．
点睛：本题关键利用待定系数法，锐角三角函数找出等量关系列出方程，解方程即可.
26. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点、过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么四边形？阐明你的理由；
（3）若D为中点，则当______时，四边形是正方形（直接写出答案）．
【正确答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析
（3）
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质推出即可；
（2）证明四边形是平行四边形，然后阐明，利用菱形的判定阐明即可；
（3）当，四边形是正方形．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
理由是：∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D为中点，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问3详解】
当时，四边形是正方形，
理由是：∵，，
∴，
∴，
∵D为中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形是正方形，
故
本题考查了平行四边形性质和判定、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质．纯熟掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是处理成绩的关键．
27. 心思学家研讨发现，普通情况下，一节课40分钟中，先生的留意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，先生的留意力逐渐加强，两头有一段工夫先生的留意力保持较为理想的波动形态，随后先生的留意力开始分散．实验分析可知，先生的留意力指数y随工夫x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时先生的留意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需求讲19分钟，为了较好，要求先生的留意力指数达到36，那么适当安排，老师能否在先生留意力达到所需的形态下讲解完这道标题？
【正确答案】（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）；曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟留意力更集中．（3）适当安排，老师能在先生留意力达到所需的形态下讲解完这道标题．
【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的留意力指数，比较判断；
（3）分别求出留意力指数为36时的两个工夫，再将两工夫之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【详解】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴曲线CD解析式为：y2=（x≥25）；
（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当x2=30时，y2=，
∴y1＜y2，
∴第30分钟留意力更集中．
（3）令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8，
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8，
∵27.8－8=19.8＞19，
∴适当安排，老师能在先生留意力达到所需的形态下讲解完这道标题．
本题考查了反比例函数与函数的运用，解题的关键是根据图像求出函数关系式，并从中找到对应的自变量的取值范围．
28. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
【正确答案】（1）证明见解析（2）6
【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
【详解】(1)证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为O半径，
∴CD为O的切线；
(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x，
∵O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5−x，
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA.
即(5−x) +(6−x) =25，化简得x−11x+18=0，
解得 .
∵CD=6−x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6.
29. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．女女
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP2＝BD•BC；
（3）当△PCD的面积时，求点P的坐标．
【正确答案】（1）y＝－x－4；
（2）见解析
（3）点P的坐标为(1，0)
【详解】(1)利用A(4，0)、B(－2，0)两点，求出该抛物线的解析式
(2)令x＝0时，求出点C的坐标，经过△BPD∽△BAC，求得BD的长，根据勾股定理求出BC的长，利用BP2＝BD•BC，求出点P的坐标
(3)经过面积比是类似比的平方，求得△BPD的面积,利用S△BPC的值，求出点P的坐标
解：(1)由题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x－4；
(2)设点P运动到点(x，0)时，有BP2＝BD•BC，
令x＝0时，则y＝－4，
∴点C的坐标为(0，－4)．
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BAC，
∴．
∵BC＝，
AB＝6，BP＝x－(－2)＝x＋2．
∴BD＝＝＝．
∵BP2＝BD•BC，
∴(x＋2)2＝，
解得x1＝，x2＝－2(－2不合题意，舍去)，
∴点P的坐标是(，0)，即当点P运动到(，0)时，BP2＝BD•BC；
(3)∵△BPD∽△BAC，
∴，
∴×
S△BPC＝×(x＋2)×4－
∵，
∴当x＝1时，S△BPC有值为3．
即点P的坐标为(1，0)时，△PDC的面积．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程有两个相等实数根，且满足则m的值是（ ）
A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2
3. 在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与工夫t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所的路程为( )
A. 88米 B. 68米 C. 48米 D. 28米
4. 下列三个命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形．
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
5. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）
A 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
6. AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 122° B. 128° C. 132° D. 138°
7. 如图，反比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【 】
A. 0＜x＜2 B. x＞2 C. x＞2或-2＜x＜0 D. x＜－2或0＜x＜2
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “打开电视，正在播放河南旧事节目”是必然
B. 某种中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C. 神舟飞船发射前要对各部件进行抽样检查
D. 了解某种节能灯的运用寿命合适抽样调查
9. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，中止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，反复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和工夫（min）的关系如图，为了在上午节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的工夫可以是当天上午的
A. 7：20 B. 7：30 C. 7：45 D. 7：50
10. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 ，则原铁皮的边长为（ ）
A. 10cm B. 13cm C. 14cm D. 16cm
11. （2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模仿）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A. B. 3 C. 2 D. 1
12. 如图，在△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOR=（ ）
A. 60° B. 65° C. 72° D. 75°
13. 图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A. y=﹣2x2 B. y=2x2
C. y=﹣0.5x2 D. y=0.5x2
14. 如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题：
16. 把一元二次方程化成二次项系数大于零的普通方式是_____________，其中二次项系数是_____________，项系数是____________，常数项是___________．
17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延伸线于点E，则△BDE的面积为________．
18. 有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图）．按照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的_____倍．
19. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD程度，BC与程度面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所的路线长为____cm．
20. 在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=___________.（结果保留根号）
三、计算题：
21. 计算： +|﹣3|﹣2sin60°﹣（）2+20160．
22. 解方程:3x2＋2x＋1=0
四、解 答 题：
23. 如图1和图2均是由边长为1小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．
要求：
（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；
（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的在理数．
24. 某班“2016年联欢会”中，有一个摸奖游戏：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，2张是哭脸，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同窗去翻纸牌．
（1）如今小芳和小霞分别有翻牌机会，若正面是笑脸，则小芳获奖；若正面是哭脸，则小霞获奖，她们获奖的机会相反吗？判断并阐明理由．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．翻牌规则：小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只需出现笑脸就获奖．请问他们获奖的机会相等吗？判断并阐明理由．
25. 如图,一艘轮船以18海里/时的速度由西向东方向航行,行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上,继续向东行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上,求轮船与灯塔的最短距离．（到0.1，≈1.73）
26. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延伸线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的外形，并证明你的结论．
27. 近年来，我国煤矿事故频频发生，其中危害的是瓦斯，其次要成分是CO．在矿难的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型添加，在第7小时达到值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列成绩：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与工夫x函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只要在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
28. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
29. 如图，抛物线y=ax2+bx+cA（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上能否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请阐明理由；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点,连接BC,在线段BC上能否存在这样的点M,使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在,求点M的坐标；若不存在,请阐明理由．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，故选B．
考点：简单几何体的三视图．
2. 方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ）
A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2
【正确答案】C
【分析】根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2-4ac=0，求得m的值，由相反的解处理成绩．
【详解】解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，
∴m+6=m2，
解得m=3或m=-2，
∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0
解得m=6或m=-2
∴m=-2．
故选：C．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=．
3. 在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与工夫t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所的路程为( )
A. 88米 B. 68米 C. 48米 D. 28米
【正确答案】A
【详解】当t=4时，路程(米).
故本题应选A.
4. 下列三个命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形．
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【正确答案】B
【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，①错误；三个角是直角的四边形是矩形，②正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，③正确，所以真命题有2个故选B.，
5. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得，然后根据AC=4，CE=6，BD=3，可代入求解DF=4．5．
故选B
考点：平行线分线段成比例
6. AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 122° B. 128° C. 132° D. 138°
【正确答案】C
【详解】试题分析：首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案．
解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=42°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=48°，
∴∠BCD=180°﹣∠A=132°．
故选C．
考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．
7. 如图，反比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【 】
A. 0＜x＜2 B. x＞2 C. x＞2或-2＜x＜0 D. x＜－2或0＜x＜2
【正确答案】D
【分析】先根据反比例函数与反比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论.
【详解】∵反比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称.
∵A（2，1），
∴B（－2，－1）.
∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜－2时函数y1的图象在y2的上方，
∴使y1＞y2的x的取值范围是x＜－2或0＜x＜2.故选D.
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “打开电视，正在播放河南旧事节目”是必然
B. 某种中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C. 神舟飞船发射前要对各部件进行抽样检查
D. 了解某种节能灯的运用寿命合适抽样调查
【正确答案】D
【详解】必然指在一定条件下一定发生的．不可能是指在一定条件下，一定不发生的．不确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．
【分析】解：A．“打开电视，正在播放河南旧事节目”是随机，故A选项错误；
B．某种中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；
C．神舟飞船发射前需求对零部件进行全面调查，故C选项错误；
D．了解某种节能灯的运用寿命，具有破坏性合适抽样调查，故D选项正确．
故选：D．
本题考查了调查的方式和的分类．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然指在一定条件下一定发生的．不可能是指在一定条件下，一定不发生的．不确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的．
9. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，中止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，反复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和工夫（min）的关系如图，为了在上午节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的工夫可以是当天上午的
A. 7：20 B. 7：30 C. 7：45 D. 7：50
【正确答案】A
【详解】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需求7分钟．
设函数关系式为：y=k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30．
∴y=10x+30（0≤x≤7）．
令y=50，解得x=2；
设反比例函数关系式为：，
将（7，100）代入得k=700，∴．
将y=30代入，解得．∴（7≤x≤）．
令y=50，解得x=14．
∴饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤工夫段内，水温不超过50℃．
逐一分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤工夫段内，故可行；
选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤工夫段内，故不可行；
选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤工夫段内，故不可行；
选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤工夫段内，故不可行．
综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A．
10. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 ，则原铁皮的边长为（ ）
A. 10cm B. 13cm C. 14cm D. 16cm
【正确答案】D
【详解】设原铁皮的边长为xcm，
则(x－6)(x－6)×3=300，
解得：x=16或x=－4(舍去)，
即原铁皮的边长为16cm.
11. （2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模仿）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A. B. 3 C. 2 D. 1
【正确答案】D
【详解】试题解析：由题意得：DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∵∠C=∠DEA，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB,
∴=,
∵A′为CE的中点，
∴C A′=E A′，
∴C A′=E A′=AE，
∴==，
∴DE=1.
故选D
12. 如图，在△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOR=（ ）
A. 60° B. 65° C. 72° D. 75°
【正确答案】D
【分析】作辅助线连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．
【详解】解：连接OD，AR，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴∠PRQ=60°，
∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠AOD=90°，
∵BC∥RQ，AD∥BC，
∴AD∥QR，
∴∠ARQ=∠DAR，
∴，
∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=PR，
∴，
∴，
∴∠AOP=∠AOD=45°，
所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．
故选D．
考点: 正多边形和圆．
13. 图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A. y=﹣2x2 B. y=2x2
C. y=﹣0.5x2 D. y=0.5x2
【正确答案】C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
【详解】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式为 y=﹣0.5x2 ，选C．
根据题意得到抛物线点的坐标，求解函数解析式是处理本题的关键.
14. 如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】如图：过点A作垂线AC⊥x轴于点C.
则AC=4，BC=3，故由勾股定理得AB=5.
si==.故选D.
15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的地位：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点地位：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题：
16. 把一元二次方程化成二次项系数大于零的普通方式是_____________，其中二次项系数是_____________，项系数是____________，常数项是___________．
【正确答案】 ①. ②. 1 ③. 2 ④.
【分析】经过去括号，移项，可以得到一元二次方程的普通方式，然后写出二次项系数，项系数和常数项．
【详解】解：去括号：1-x2=2x，
移项：x2+2x-1=0，
∴二次项系数是：1，项系数是：2，常数项是：-1，
故答案分别是：x2+2x-1=0，1，2，-1．
本题考查的是一元二次方程的普通方式，经过去括号，移项，可以得到一元二次方程的普通方式，然后写出二次项系数，项系数和常数项．
17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延伸线于点E，则△BDE的面积为________．
【正确答案】24
【详解】解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，
∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
∴OA=OC= AC=3，AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
在RT△BCO中，BO= =4，
∴BD=8，
∴S△BDE= DE•BD=24．
故24
18. 有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图）．按照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的_____倍．
【正确答案】
【详解】设原等腰直角三角形三条边长分别为：a、a、a，原周长为（2+）a；
折叠后三角形三边长分别为：a、a、a，周长为（+1）a；
折叠两次后三角形三边长分别为：a、a、a，周长为（1+）a；
……
折叠n次后三角形周长为（2+）a×（）n.
所以折叠四次后三角形的周长为：（2+）a×（）4=（2+）a，是原三角形周长的.
故答案为.
点睛：此题关键在于找出每折叠后三角形的周长的变化规律.
19. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD程度，BC与程度面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所的路线长为____cm．
【正确答案】
【详解】试题解析：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心挪动路线的分解图象．
可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO1，线段O1O2，圆弧，线段O3O4四部分构成．
其中O1E⊥AB，O1F⊥BC，O2C⊥BC，O3C⊥CD，O4D⊥CD．
∵BC与AB延伸线夹角为60°，O1是圆盘在AB上滚动到与BC相切时的圆心地位，
∴此时⊙O1与AB和BC都相切．
则∠O1BE=∠O1BF=60度．
此时Rt△O1BE和Rt△O1BF全等，
在Rt△O1BE中，BE=cm．
∴OO1=AB-BE=（60-）cm．
∵BF=BE=cm，
∴O1O2=BC-BF=（40-）cm．
∵AB∥CD，BC与程度夹角为60°，
∴∠BCD=120度．
又∵∠O2CB=∠O3CD=90°，
∴∠O2CO3=60度．
则圆盘在C点处滚动，其圆心所的路线为圆心角为60°且半径为10cm的圆弧．
∴的长=×2π×10=πcm．
∵四边形O3O4DC是矩形，
∴O3O4=CD=40cm．
综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心的路线长度是:
（60-）+（40-）+π+40=（140-+π）cm．
20. 在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=___________.（结果保留根号）
【正确答案】
【分析】先延伸EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．
【详解】延伸EF和BC，交于点G．
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE==9，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF．
∵AD∥BC，
∴∠G=∠DEF，
∴∠BEG=∠G，
∴BG=BE=9．
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC，
∴.
设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC．
∵BG=BC+CG，
∴9=9+2x+x，解得x=3-3，
∴BC=9+2（3-3）=6+3．
故答案为6+3．
考点：矩形的性质；等腰三角形的判定；类似三角形的判定与性质．
三、计算题：
21. 计算： +|﹣3|﹣2sin60°﹣（）2+20160．
【正确答案】1
【详解】试题分析：先分别对根式、值、三角函数、乘方进行运算，再进行加减运算.
试题解析：原式=2+3－-2×－3+1=2+3－－－3+1=1.
点睛：（1）a0=1，a≠0；
（2）熟记角三角函数值.
22. 解方程:3x2＋2x＋1=0.
【正确答案】原方程没有实数根．
【详解】试题分析：利用公式法解方程即可.
试题解析：
∵a＝3，b＝2，c＝1，
∴b2－4ac＝4－4×3×1＝－8<0.
∴原方程没有实数根．
四、解 答 题：
23. 如图1和图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．
要求：
（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；
（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的在理数．
【正确答案】图形见解析
【详解】试题分析：（1）要画出面积为2.5的等腰三角形，即要画出腰长为的等腰直角三角形，由网格图不难得出AB=，过B作CB⊥AB，且使BC=AB 即可确定点C，将A、B、C三点连接；（2）画出边长分别为、3、2的三角形即可.
试题解析：
（1）如图1所示，△ABC为所求三角形；
（2）如图2所示，直角三角形为所求三角形．
点睛：此类成绩充分利用网格点勾股定理求出对应边的长度是关键.
24. 某班“2016年联欢会”中，有一个摸奖游戏：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，2张是哭脸，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同窗去翻纸牌．
（1）如今小芳和小霞分别有翻牌机会，若正面是笑脸，则小芳获奖；若正面是哭脸，则小霞获奖，她们获奖的机会相反吗？判断并阐明理由．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．翻牌规则：小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只需出现笑脸就获奖．请问他们获奖的机会相等吗？判断并阐明理由．
【正确答案】（1）相反，理由见解析；（2）机会不相等，理由见解析
【详解】试题分析：（1）由于有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸，翻牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，所以她们获奖的概率都是，获奖的机会相反；（2）先列举出小芳和小明翻牌的所无情况，然后分别计算出她们获奖的概率，比较她们获奖的概率，若概率相等，那么她们的获奖机会相等，若概率不相等，那么她们获奖机会不相等.
试题解析：
（1）∵有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸，翻牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，
∴她们获奖的概率都是，
∴她们获奖机会相反；
（2）他们获奖机会不相等，理由如下：
小芳：
张
第二张
笑1
笑2
哭1
哭2
笑1
笑1，笑1
笑2，笑1
哭1，笑1
哭2，笑1
笑2
笑1，笑2
笑2，笑2
哭1，笑2
哭2，笑2
哭1
笑1，哭1
笑2，哭1
哭1，哭1
哭2，哭1
哭2
笑1，哭2
笑2，哭2
哭1，哭2
哭2，哭2
∵共有16种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只需出现笑脸的有12种情况，
∴P（小芳获奖）==；
小明：
张
第二张
笑1
笑2
哭1
哭2
笑1
笑2，笑1
哭1，笑1
哭2，笑1
笑2
笑1，笑2
哭1，笑2
哭2，笑2
哭1
笑1，哭1
笑2，哭1
哭2，哭1
哭2
笑1，哭2
笑2，哭2
哭1，哭2
∵共有12种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只需出现笑脸的有10种情况，
∴P（小明获奖）==，
∵P（小芳获奖）≠P（小明获奖），
∴他们获奖的机会不相等．
点睛：小芳先翻一张，放回后再翻一张，所以她次翻出的牌有4种可能，第二次翻出的牌仍是4种可能；小明同时翻开两张纸牌，那么可以理解为先翻一张，再翻第二张，与小芳不同的是，小明次翻牌有4种可能，第二次翻牌不可能翻到次翻开的那张，因此只要3种可能.
25. 如图,一艘轮船以18海里/时的速度由西向东方向航行,行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上,继续向东行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上,求轮船与灯塔的最短距离．（到0.1，≈1.73）
【正确答案】轮船与灯塔的最短距离约为8.2海里．
【详解】试题分析：过点P作PC⊥AB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题意可得AB=6海里，BC=PC，在Rt△PAC中，tan30°==，由此求得PC的长，即可得轮船与灯塔的最短距离．
试题解析：
解：过点P作PC⊥AB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题意，得
AB=18×=6，∠PAB=90°﹣60°=30°，∠PBC=90°﹣45°=45°，∠PCB=90°，
∴PC=BC，在Rt△PAC中，tan30°==，即=，
解得PC=3+3≈8.2（海里），∴轮船与灯塔的最短距离约为8.2海里．
26. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延伸线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF外形，并证明你的结论．
【正确答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形．
27. 近年来，我国煤矿事故频频发生，其中危害的是瓦斯，其次要成分是CO．在矿难的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型添加，在第7小时达到值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列成绩：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与工夫x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只要在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
【正确答案】（1），自变量x的取值范围是x＞7；（2）撤离的最小速度为1.5km/h；（3）矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.
【详解】解：（1）由于爆炸前浓度呈直线型添加，
所以可设y与x的函数关系式为
由图象知过点（0，4）与（7，46）
∴. 解得,
∴,此时自变量的取值范围是0≤≤7.
(不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中)
由于爆炸后浓度成反比例下降，
所以可设y与x的函数关系式为.
由图象知过点（7,46），
∴. ∴,
∴，此时自变量x的取值范围是x＞7.
（2）当=34时，由得,6x+4=34，x ="5" .
∴撤离的最长工夫为7-5=2(小时).
∴撤离的最小速度为3÷2="1.5(km/h)"
(3)当=4时，由得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井
（1）由于爆炸前浓度呈直线型添加，所以可设y与x的函数关系式为
用待定系数法求得函数关系式，由图像得自变量的取值范围；由于爆炸后浓度成反比例下降，过点（7,46）即可求出函数关系式，由图像得自变量的取值范围．
（2）将=34代入函数求得工夫，即可求得速度
（3）将=4代入反比例函数求得x,再减7求得
28. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．
【详解】解：（1）连结OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO=90°，
∵AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠CFA=∠DFO，
∴∠CAF=∠DFO，
而OA=OD，
∴∠OAD=∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵圆的半径R=5，EF=3，
∴OF=2，
在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，
∴DF=．
本题考查切线的判定．
29. 如图，抛物线y=ax2+bx+cA（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上能否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请阐明理由；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点,连接BC,在线段BC上能否存在这样的点M,使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在,求点M的坐标；若不存在,请阐明理由．
【正确答案】（1）y=x2﹣x+3；（2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）点M的坐标为或．
【分析】（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；
（2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；
（3）分两种情况分别讨论，即可求得．
【详解】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），
代入C（0，3）得3=4a，解得a=，
y=（x﹣1）（x﹣4）=x2﹣x+3，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．
（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA=1，OC=3，BC==5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．
（3）∵B（4，0）、C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y轴，
∴△MQB∽△COB，
∴,
即，解得b=，代入y=﹣x+3得，=﹣a+3，解得a=，
∴M；
②当∠QMB=90°时，如图3，
∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，
∴BM=5﹣m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴，解得m=，
作MN∥OB，
∴，即
∴MN=，CN=，
∴ON=OC﹣CN=3﹣=，
∴M，
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为或．
考点：1、待定系数法求二次函数的解析式，2、轴对称﹣最短路线成绩，3、等腰三角形的性质
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选：
1. 如图，是由相反小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
4. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
5. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
6. 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
7. 若函数y＝x2m＋1为反比例函数，则m的值是( )
A. 1 B. 0 C. 0．5 D. －1
8. 袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（ ）
A. 不断不变 B. 先增大后减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后不变
10. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196
C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
11. 如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形类似.
A B. C. 或 D. 或
12. 正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是( )
A. B. 2 C. 3 D. 2
13. 图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A. y=﹣2x2 B. y=2x2
C. y=﹣0.5x2 D. y=0.5x2
14. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
15. 将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图象，则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题：
16. 方程x2﹣3x+1=0的项系数是_____．
17. 如图，四边形是正方形，延伸到，使，则__________°．
18. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=1.5 m，CD=4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，则AB与CD间的距离是m．
19. 如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则____．（填“＞“，”“＝”“＜”）
20. 如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似坐标是_____．
三、计算题：
21. 计算：|1﹣|+3tan30°﹣（﹣5）0﹣（﹣）﹣1．
22. （x+3）（x﹣1）=12（用配方法）
四、解 答 题：
23. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
24. 甲乙两人玩摸球游戏：一个不透明的袋子中装有相反大小的3个球，球上分别标有数字1，2，3．首先，甲从中随机摸出一个球，然后，乙从剩下的球中随机摸出一个球，比较球上的数字，较大的获胜．
（1）求甲摸到标有数字3的球的概率；
（2）这个游戏公平吗？请阐明理由．
25. 如图，贵阳市某中学数学小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一程度线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）
26. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点、过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么四边形？阐明你理由；
（3）若D为中点，则当______时，四边形是正方形（直接写出答案）．
27. 心思学家研讨发现，普通情况下，一节课40分钟中，先生的留意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，先生的留意力逐渐加强，两头有一段工夫先生的留意力保持较为理想的波动形态，随后先生的留意力开始分散．实验分析可知，先生的留意力指数y随工夫x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时先生的留意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需求讲19分钟，为了较好，要求先生的留意力指数达到36，那么适当安排，老师能否在先生留意力达到所需的形态下讲解完这道标题？
28. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O直径为10，求AB的长度．
29. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．女女
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP2＝BD•BC；
（3）当△PCD的面积时，求点P的坐标．
2022-2023学年北京市海淀区中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选：
1. 如图，是由相反小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看可得到共有4列，每一列小正方形的个数从左到右依次为3、1、1、2，
观察只要D选项符合，
故选D．
本题考查了三视图的知识，纯熟掌握主视图是从物体的正面看得到的图形是解题的关键．
2. 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【详解】A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△=-16＜0，方程没有实数根；
D、△=1-4=-3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
3. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．函数的图象．
4. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【正确答案】B
【详解】解:∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD=2，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形DECO为菱形，
∴OD=DE=EC=OC=2，
则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，
故选B．
5. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
【正确答案】B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B
6. 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【正确答案】C
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用角的三角函数值即可求出OD．
【详解】解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故答案选：C．
本题次要考查了圆周角定理、垂径定理、角的三角函数计算．
7. 若函数y＝x2m＋1为反比例函数，则m的值是( )
A. 1 B. 0 C. 0．5 D. －1
【正确答案】D
【详解】解：由于函数为反比例函数，
故选D．
反比例函数有三种方式：
8. 袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，
∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：．
故选C．
考点：1．列表法或树状图法；2．概率．
9. 如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（ ）
A. 不断不变 B. 先增大后减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后不变
【正确答案】A
【详解】
作CD⊥AB交AB于点D，
则S△ACD=，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∴S△ACD=S△BCD，
∴S△ABC=2 S△ACD=2×=k.
∴△ABC的面积不变．
故选A.
点睛：本题次要理解并运用反比例函数k的几何意义.
10. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196
C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
【正确答案】C
【详解】试题分析：普通增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，从而根据题意得出方程：
50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
故选C．
11. 如图，正方形ABCD边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形类似.
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】C
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D. M、N为顶点的三角形类似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+DM2=1，
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时,DM=DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM= .
∴DM为或时，△ABE与以D. M、N为顶点的三角形类似．
故选C.
点睛：本题考查了类似三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理的运用，掌握类似三角形的对应边的比相等是解题的关键，留意分情况讨论思想与数形思想在本题中的运用.
12. 正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是( )
A. B. 2 C. 3 D. 2
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图：
∵正六边形的边心距为，
∴OB=，AB=OA，
∵OA2=AB2+OB2，
∴OA2=（OA）2+（）2，
解得OA=2．
故选B．
考点：1．正多边形和圆；2．勾股定理．
13. 图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A. y=﹣2x2 B. y=2x2
C. y=﹣0.5x2 D. y=0.5x2
【正确答案】C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
【详解】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式为 y=﹣0.5x2 ，选C．
根据题意得到抛物线点的坐标，求解函数解析式是处理本题的关键.
14. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠α＝∠ACD，
∴cosα＝cos∠ACD＝＝＝，
只要选项C错误，符合题意．
故选：C．
此题次要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．
15. 将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图象，则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】由于,∴顶点横坐标为：−；∵，∴顶点的横坐标为：；
∴a=−(−)=2.
点睛：求得原抛物线的顶点的横坐标及新抛物线的顶点的横坐标，a=新抛物线顶点的横坐标-原抛物线顶点的横坐标．
二、填 空 题：
16. 方程x2﹣3x+1=0的项系数是_____．
【正确答案】-3
【详解】x2－3x+1=0项系数是－3.
故答案为－3.
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）二次项系数为a，项系数为b，常数项为c.
17. 如图，四边形是正方形，延伸到，使，则__________°．
【正确答案】22.5
【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=∠ACB=45°，再根据AC=AE求出∠ACE=67.5°，由此即可求出答案.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠DCB=90°，
∵AC是对角线，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵AC=AE,
∴∠ACE=67.5°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，
故22.5°.
此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，是一道较为基础的题型.
18. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=1.5 m，CD=4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，则AB与CD间的距离是m．
【正确答案】1.8
【详解】由AB ∥ CD，可得△PAB ∽ △PCD，设CD到AB距离为x，根据类似三角形的性质可得，即，解得x=1.8m．
所以AB离地面的距离为1.8m，
故答案为1.8.
19. 如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则____．（填“＞“，”“＝”“＜”）
【正确答案】＜．
【详解】试题分析：如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然．＜，故答案为＜．
考点：确定圆条件．
20. 如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似的坐标是_____．
【正确答案】（0，），（﹣6，7）．
【详解】由图可得：B（－2，5），C（－2，3），F（3，1），
当B、F是对应点时，E、A是对应点，故位似位于直线BF与y轴的交点处，
设直线BF的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，
∴直线BF的解析式是：y=－x+，
则x=0时，y=，
∴位似是（0，）；
当C、E是对应点时，D、F是对应点，故位似位于直线CE与直线DF的交点处，
设直线CE的解析式为：y=ax+c，
则，
解得，
∴直线CE的解析式是：y=－x+1，
设直线DF的解析式为：y=dx+e，
则，
解得，
∴直线DF的解析式是：y=－x+3，
,
解得：，
∴位似是（－6，7）；
故答案为（0，），（－6，7）．
点睛：已知两个图形位似，要确似，若已知对应点，那么对应点的连线的交点即为位似；若对应点未知，要对对应点进行分类讨论.
三、计算题：
21. 计算：|1﹣|+3tan30°﹣（﹣5）0﹣（﹣）﹣1．
【正确答案】2
【详解】试题分析：先对值、三角函数、幂进行运算，再进行加减运算.
试题解析：
解：原式=－1+3×－1－（－3）=－1++3=2．
点睛：（1）熟记锐角三角函数值，去值的时分留意符号成绩；
（2）a0=1（a≠0），=.
22. （x+3）（x﹣1）=12（用配方法）
【正确答案】x1=3，x2=﹣5
【详解】试题分析：先将方程左边去括号，再将常数项移到方程左边，然后方程左右两边同时加上项系数一半的平方，解出x即可.
试题解析：
将原方程整理，得x2+2x=15，
两边都加上12，得x2+2x+12=15+12，
即（x+1）2=16，
开平方，得x+1=±4，
即x+1=4，或x+1=－4，
∴x1=3，x2=－5.
点睛：用配方法进行配方时先将二次项系数化为1，然后方程左右两边同时加上项系数一半的平方.
四、解 答 题：
23. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【正确答案】（1）如下图；（2）；（3）（－2，0）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转旋转180°的对应点A1、B1的地位，然后与点C依次连接即可；再根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的地位，然后依次连接即可；
（2）根据对称的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转，然后写出坐标即可；
（3）根据轴对称确定最短路线成绩，找出点A关于x轴的对称点A′的地位，然后连接A′B与x轴的交点即为点P．
【详解】（1）画出△A1B1C与△A2B2C2如图
（2）如图所示,旋转的坐标为:（，-1）
(3) 如图所示,点P的坐标为（-2，0）.
24. 甲乙两人玩摸球游戏：一个不透明的袋子中装有相反大小的3个球，球上分别标有数字1，2，3．首先，甲从中随机摸出一个球，然后，乙从剩下的球中随机摸出一个球，比较球上的数字，较大的获胜．
（1）求甲摸到标有数字3的球的概率；
（2）这个游戏公平吗？请阐明理由．
【正确答案】(1) ;(2)公平
【详解】试题分析：（1）袋子中装有相反大小的3个球，球上分别标有数字1，2，3，甲摸到标有数字3的球的概率为；（2）列举出所无情况，分别计算出甲、乙两人摸到的数字较大的概率，若概率相等，则公平；若不相等，则不公平.
试题解析：
解：（1）∵袋子中装有相反大小的3个球，球上分别标有数字1，2，3，
∴甲摸到标有数字3的球的概率为；
（2）游戏公平，理由如下：
列举一切可能：
由表可知：甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，
所以游戏是公平的．
点睛：（1）掌握列表法、画树状图法；
（2）要判断游戏能否公平，即比较概率能否相等.
25. 如图，贵阳市某中学数学小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一程度线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）
【正确答案】21m
【详解】试题分析：过点D作DH⊥BC于点M，得出四边形DECH是矩形，所以DH=EC，DE=HC，设BC的长度为xm，则BH=（x－5）m，由∠BDH=30°可以求出∠DBH=60°，进而表示出DH=（x－5），然后表示出AC=（x－5）－10，由BC= tan50°·AC列出方程，解出x即可.
试题解析：
过点D作DH⊥BC于点M，
则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC，
设BC的高度为xm，则BH=（x－5）m，
∵∠BDH=30°，
∴∠DBH=60°，
∴DH=BH·tan60°=（x－5），
∴AC=EC－EA=（x－5）－10，
∵∠BAC=50°，
∴BC= tan50°·AC，
∴x=tan50°·[（x－5）]，
解得：x≈21，
答：建筑物BC的高约为21m．
点睛：本题关键利用待定系数法，锐角三角函数找出等量关系列出方程，解方程即可.
26. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点、过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么四边形？阐明你的理由；
（3）若D为中点，则当______时，四边形是正方形（直接写出答案）．
【正确答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析
（3）
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质推出即可；
（2）证明四边形是平行四边形，然后阐明，利用菱形的判定阐明即可；
（3）当，四边形是正方形．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
理由是：∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D为中点，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问3详解】
当时，四边形是正方形，
理由是：∵，，
∴，
∴，
∵D为中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形是正方形，
故
本题考查了平行四边形性质和判定、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质．纯熟掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是处理成绩的关键．
27. 心思学家研讨发现，普通情况下，一节课40分钟中，先生的留意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，先生的留意力逐渐加强，两头有一段工夫先生的留意力保持较为理想的波动形态，随后先生的留意力开始分散．实验分析可知，先生的留意力指数y随工夫x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时先生的留意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需求讲19分钟，为了较好，要求先生的留意力指数达到36，那么适当安排，老师能否在先生留意力达到所需的形态下讲解完这道标题？
【正确答案】（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）；曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟留意力更集中．（3）适当安排，老师能在先生留意力达到所需的形态下讲解完这道标题．
【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的留意力指数，比较判断；
（3）分别求出留意力指数为36时的两个工夫，再将两工夫之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【详解】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴曲线CD解析式为：y2=（x≥25）；
（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当x2=30时，y2=，
∴y1＜y2，
∴第30分钟留意力更集中．
（3）令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8，
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8，
∵27.8－8=19.8＞19，
∴适当安排，老师能在先生留意力达到所需的形态下讲解完这道标题．
本题考查了反比例函数与函数的运用，解题的关键是根据图像求出函数关系式，并从中找到对应的自变量的取值范围．
28. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
【正确答案】（1）证明见解析（2）6
【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
【详解】(1)证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为O半径，
∴CD为O的切线；
(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x，
∵O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5−x，
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA.
即(5−x) +(6−x) =25，化简得x−11x+18=0，
解得 .
∵CD=6−x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6.
29. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．女女
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP2＝BD•BC；
（3）当△PCD的面积时，求点P的坐标．
【正确答案】（1）y＝－x－4；
（2）见解析
（3）点P的坐标为(1，0)
【详解】(1)利用A(4，0)、B(－2，0)两点，求出该抛物线的解析式
(2)令x＝0时，求出点C的坐标，经过△BPD∽△BAC，求得BD的长，根据勾股定理求出BC的长，利用BP2＝BD•BC，求出点P的坐标
(3)经过面积比是类似比的平方，求得△BPD的面积,利用S△BPC的值，求出点P的坐标
解：(1)由题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x－4；
(2)设点P运动到点(x，0)时，有BP2＝BD•BC，
令x＝0时，则y＝－4，
∴点C的坐标为(0，－4)．
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BAC，
∴．
∵BC＝，
AB＝6，BP＝x－(－2)＝x＋2．
∴BD＝＝＝．
∵BP2＝BD•BC，
∴(x＋2)2＝，
解得x1＝，x2＝－2(－2不合题意，舍去)，
∴点P的坐标是(，0)，即当点P运动到(，0)时，BP2＝BD•BC；
(3)∵△BPD∽△BAC，
∴，
∴×
S△BPC＝×(x＋2)×4－
∵，
∴当x＝1时，S△BPC有值为3．
即点P的坐标为(1，0)时，△PDC的面积．
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