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2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共55页。试卷主要包含了单项选一选，填 空 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、单项选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
2. 口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球. 则（ ）
A. 从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大
B. 从中随机摸出一个球, 摸到红球和白球的可能性一样大
C. 从中随机摸出5个球，必有2个白球
D. 从中随机摸出7个球，可能都是白球
3. 如图，直线∥，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 方程的两根为、，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在菱形中，，，、分别是边、中点，则周长等于（ ）
A. B. C. D.
6. 下面两图是某班全体学生上学时，乘车、步行、骑车的人数分布条形统计图和扇形统计图（两图均没有完整），则下列结论中错误的是（ ）
A. 该班总人数为50人 B. 骑车人数占总人数的20%
C. 乘车人数是骑车人数的倍 D. 步行人数为30人
7. 小明用作图象的方法解二元方程组时，他作出了相应的两个函数的图象，则他解的这个方程组是（ ）
A. B. C. D.
8. 甲工厂生产的5件产品中有4件，1件次品；乙工厂生产的5件产品中有3件，2件次品．从这两个工厂生产的产品各任取1件，2件都是次品的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 二次函数y=-x2-2x+c在的范围内有最小值-5，则c的值是（ ）
A. -6 B. -2 C. 2 D. 3
10. 如图，正方形中，点、分别是边、的中点，连接、交于点，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 计算： _________.
12. 分式方程的解为 __________.
13. 老师对甲乙两人五次的数学测试成绩进行统计，得出甲乙两人五次测试的平均分别为91分和92分，他们的方差分别是，.则成绩比较稳定的是 _______.
14. 如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是________．
15. 在一自助夏令营中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．
16. 如图，直线交轴于点，交轴于点.在内依次作等边三角形使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出等边三角形个是，第二个是,第三个是…
(1)的边长等于________；
(2)的边长等于________.
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17. 计算：-.
18. 已知，求的值.
19 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用没有超过5500元，那么至多可购买多少个足球？
20. 如图，在正方形中，、分别是、边上的点，且.
（1）求证:；
（2）若，，求的长.
21. 某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和利润如表：设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装获利y元．
A
B
成本元件
50
35
利润元件
20
15
请写出y关于x的函数关系式；
如果服装厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？
22. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，以B为圆心，BC为半径的圆弧交AD于点E，交BA的延长线于点F，∠ECB=60°，求图中阴影部分的面积．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23. 如图，点在⊙的直径的延长线上，切⊙于点,于点.
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长.
24. 如图，直线与反比例函数的图象只有一个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在函数的图象上取异于点的一点，作轴于点，连接交直线于点.设直线与轴交于点，若的面积是面积的倍，求点的坐标．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分
25. 阅读下列材料：
题目：如图1，中，已知，，，请用、表示.
解：如图2，作边上中线，于，
则，，，
在中，
根据以上阅读，请解决下列问题：
(1)如图3，在中，，，，求，的值
(2)上面阅读材料中，题目条件没有变，请用或表示
26. 如图，抛物线点，，与轴正半轴交于点，与轴交于点.
(1)求直线的解析式；
(2)设点为直线下方抛物线上一点，连接、，当面积时，求点的坐标；
(3)在(2)的条件下，直线过直线与轴的交点.设的中点为，是直线上一点，是直线上一点，求周长的最小值.
2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、单项选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：是2的倒数.
详解.
故选D.
点睛：任何非零数的－p(p是正整数)次幂都等于这个数的p次幂的倒数，即(a≠0，p是正整数).
2. 口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球. 则（ ）
A. 从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大
B. 从中随机摸出一个球, 摸到红球和白球的可能性一样大
C. 从中随机摸出5个球，必有2个白球
D. 从中随机摸出7个球，可能都是白球
【正确答案】A
【详解】分析：摸到任何一个球的可能性都有，红球比白球多，摸到红球的可能性要大.
详解：A.红球比白球多，则A正确；
B.两种球的个数没有是一样多，所以摸到的可能性没有一样，则B错误；
C.没有一定，也有可能都是红球，则C错误；
D.没有可能，白球只有6个，是D错误.
故选A.
点睛：本题考查了可能性的意义，要理解可能性大的没有是一定就能发生，可能性小的也没有是一定没有能发生，可能性大，只是表示发生的机率较大，但并是一定能发生.
3. 如图，直线∥，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：由两直线平行，求出∠BDE，再根据三角形的外角的性质求解.
详解：因为AB∥CD，∠B＝100°，所以∠BDE＝∠B＝100°.
因为∠BDE＝∠E＋∠F，∠F＝40°，所以100°＝∠E＋40°，
所以∠E＝60°.
故选B
点睛：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直角平行，同旁内角互补.三角形的一个外角等于和它没有相邻的两个内角的和.
4. 方程的两根为、，则（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：由根与系数的关系求，的值，把化为后，整体代入求值.
详解：根据题意得，，，
.
故选D.
点睛：一元二次方程根与系数的关系的考查方式主要有运用根与系数的关系求解一元二次方程中的字母，或求代数式的值，利用根与系数的关系求代数式的值时，往往需要对代数式进行变形，变形为含有x1＋x2，x1x2的代数式，然后利用根与系数的关系，求出代数式的值，注意整体思想的运用.
5. 如图，在菱形中，，，、分别是边、中点，则周长等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：分别判断△ABC，△AEF是等边三角形，用勾股定理求出AE的长.
详解：连接AC，因为∠B＝60°，BA＝BC，所以△ABC是等边三角形，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以△AEF是等边三角形.
因为AB＝2，所以BE＝1，由勾股定理得AE＝，
所以△AEF的周长为.
故选B.
点睛：在菱形中，如果有60°的内角，则其中一定会有等边三角形，一般一边上的高，或对角线互相垂直构造直角三角形，用勾股定理求解.
6. 下面两图是某班全体学生上学时，乘车、步行、骑车的人数分布条形统计图和扇形统计图（两图均没有完整），则下列结论中错误的是（ ）
A. 该班总人数为50人 B. 骑车人数占总人数的20%
C. 乘车人数是骑车人数的倍 D. 步行人数为30人
【正确答案】D
【分析】此题首先根据乘车人数和所占总数的比例，求出总人数，即可根据图中获取信息求出步行的人数；根据乘车和骑车所占比例，可得乘车人数是骑车人数的2.5倍．
【详解】根据条形图可知：
乘车的人数是25人，所以总数是：25÷50%=50(人)；故A选项正确；
骑车人数在扇形图中占总人数的：1-50%-30%=20%；故B选项正确；
则乘车人数是骑车人数的2.5倍；故C选项正确；
步行人数为30%×50=15(人)，故D选项错误；
故选：D．
本题考查了扇形统计图和条形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
7. 小明用作图象的方法解二元方程组时，他作出了相应的两个函数的图象，则他解的这个方程组是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据直线所在的象限，确定k，b的符号.
【详解】由图象可知，两条直线的项系数都是负数，且一条直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，b为正数，另一条直线的与y轴的交点在y轴的负半轴上，b为负数，符合条件的方程组只有D.
故选D.
函数y＝kx＋b的图象所在象限与常数k，b的关系是：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象，三，四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象第二，三，四象限，反之也成立.
8. 甲工厂生产5件产品中有4件，1件次品；乙工厂生产的5件产品中有3件，2件次品．从这两个工厂生产的产品各任取1件，2件都是次品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：根据等可能性的概率的定义求解.
详解：从这两个工厂生产的产品各任取1件的可能性有25种，其中符合条件的可能性有2种，故2件都是次品的概率为.
故选A.
点睛：本题主要考查等可能概率的计算方法，在等可能的概率计算中，关键是找到所有等可能的结果n，和其中所包含的A可能出现的结果数m，则可得到A的概率.
9. 二次函数y=-x2-2x+c在的范围内有最小值-5，则c的值是（ ）
A. -6 B. -2 C. 2 D. 3
【正确答案】D
【分析】首先把二次函数y=-x2-2x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在-3≤x≤2内有最小值，判断c的取值．
【详解】把二次函数y=-x2-2x+c转化成顶点坐标式为y=-（x+1）2+c+1，
又知二次函数开口向下，对称轴为x=-1，
故当x=2时，二次函数有最小值为-5，
故-9+c+1=-5，
故c=3．
故选D．
本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
10. 如图，正方形中，点、分别是边、的中点，连接、交于点，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：证明△ABP≌△DAF可判断AP与DF的位置关系与数量关系；延长AP与DC的延长线交于点G，用EC是斜边DG上的中线证明；过点C作CH⊥EG于点H，可证PH＝EF，则EP＝EF＝EH，比较EH与EC的关系.
详解：A.易证△ABP≌△DAF(SAS)得，AP＝DF；
B.由△ABP≌△DAF(SAS)得，∠BAP＝∠ADF，
因为∠ADF＋∠AFD＝90°，所以∠BAP＋∠AFD＝90°，所以∠AEF＝90°，
所以AP⊥DF；
C.延长AP与DC的延长线交于点G，
易证△ABP≌△GCP(ASA)，所以CG＝AB，
又AB＝CD，所以CG＝CD，
因为∠DEG＝90°，所以CE＝CD；
D.过点C作CH⊥EG于点H，
易证△AEF≌△CHP(ASA)，所以EF＝HP，
所以EP＋EF＝EP＋PH＝EH＜EC，即EP＋EF＜CD.
故选D.
点睛：正方形中如果有中点，一般采用倍中线法，构建全等三角形，把已知条件和要解决的问题集中在一起.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 计算： _________.
【正确答案】3
【详解】分析：(－1)2＝1，|－2|＝2，再相加.
详解：(－1)2＋|－2|＝1＋2＝3.
故答案为3.
点睛：负1的偶数次方是正数，奇数次方是负数，正数的值是它本身，负数的值是它的相反数，0的值是0．
12. 分式方程的解为 __________.
【正确答案】4
【详解】分析：把方程两边都乘以2x，化分式方程为整式方程后求解.
详解：去分母得，2(x－2)＝x；
去括号得，2x－4＝x；
移项合并同类项得，x＝4.
经检验，x＝4是原方程的解.
故答案为4.
点睛：本题考查了解分式方程的，解分式方程的基本思路是，将方程两边都乘以分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，求出整式方程的解后，要代入到最简公分母中检验，若最简公分母没有等于0，则是原分式方程的解，否则原分式方程无解．
13. 老师对甲乙两人五次的数学测试成绩进行统计，得出甲乙两人五次测试的平均分别为91分和92分，他们的方差分别是，.则成绩比较稳定的是 _______.
【正确答案】乙
【详解】分析：当一组数据的平均分相等可比较接近时，方差越小，数据越稳定.
详解：因为＞，所以成绩比较稳定的是乙.
故答案为乙.
点睛：本题考查了方差的意义，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.
14. 如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是________．
【正确答案】∠ABP=∠C（答案没有）
【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对对应角相等即可.
【详解】在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对对应角相等，即∠ABP＝∠C，便可使△ABP∽△ACB，所以∠ABP＝∠C（答案没有）.
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.
15. 在一自助夏令营中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．
【正确答案】200
【详解】解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=200．
16. 如图，直线交轴于点，交轴于点.在内依次作等边三角形使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形个是，第二个是,第三个是…
(1)的边长等于________；
(2)的边长等于________.
【正确答案】 ①. ②.
【详解】分析：判断∠AA1C＝90°，求出AA1的长，在Rt△A1B1A2中，求B1A2，依次类推.
详解：由直线分别求出B(，0)，C(0，1)，所以∠BCO＝60°.
因为△AA1B1是等边三角形，所以∠A1AB1＝60°，∠CAA1＝30°，则∠AA1C＝90°.
Rt△AA1C中，AA1＝OCcos∠A1AC＝1×cos30°＝；
Rt△A1B1A2中，∠B1A1A2＝30°，B1A2＝A1B1＝×；
同理，B2A3＝A2B2＝××；
……
依次类推，第n个等边三角形的边长为.
则的边长等于，的边长等于.
故答案为(1).(2)..
点睛：寻找图形中的计算规律，要善于找到切入点，可将问题分成“变”与“没有变”两部分来考虑，尤其是抓住没有变的部分，以此为基础观察变化部分的规律，关键是观察图形的结构组成，通过列举部分图形，找出其中的变化规律，从而推测出通式.
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17. 计算：-.
【正确答案】
【详解】分析：分别计算出每一部分的值，再用实数的混合运算法则求解.
详解：
＝＋1
＝＋1
＝
点睛：此类问题容易出错的地方：一是符号，二是角的三角函数值，三是零指数幂的运算．实数的运算通常会一些角的三角函数值，整数指数幂(包括正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂)，二次根式，值等来考查．运算时应先“各个击破”，准确记忆角的三角函数值及相关运算的法则，如(a≠0)，a0＝1(a≠0)．
18. 已知，求的值.
【正确答案】3
【详解】分析：设a＝2k，b＝3k，分别代入原分式后化简求解.
详解：设a＝2k，b＝3k，则
＝
＝
＝－1＋4＝3
点睛：求分式的值时，如果分式中含有几个未知数，且未知数是成比例的关系，则可用比例的基本性质设出每一个未知数的值(含字母系数)，直接代入原分式中求值.
19. 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用没有超过5500元，那么至多可购买多少个足球？
【正确答案】（1）每个篮球和的售价为100元，每个足球的售价为120元；（2）至多可购买25个．
【分析】（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）设篮球购买a个，则足球购买（50﹣a）个，根据题意列出没有等式，求出没有等式的解集即可确定出至多购买的足球．
【详解】解：（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个篮球和的售价为100元，每个足球的售价为120元；
（2）设足球购买a个，则篮球购买（50﹣a）个，根据题意得：
120a+100（50﹣a）≤5500，
整理得：20a≤500，
解得：a≤25．
答：至多可购买25个足球．
本题考查了二元方程组的应用以及一元没有等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元没有等式组．
20. 如图，在正方形中，、分别是、边上的点，且.
（1）求证:；
（2）若，，求的长.
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【详解】分析：(1)根据正方形的性质，用SAS证明△AED≌△BFA，得到∠ADE＝∠BAF，再证∠BAF＋∠AED＝90°；(2)根据∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠PEA，证得△ADE∽△PAE，由对应边成比例求解.
详解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝BF，
∴△AED≌△BFA(SAS)，∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BAF＋∠AED＝90°，
∴∠APE＝90°，即AF⊥DE.
(2)Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，
由勾股定理得，DE＝5.
∵∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠PEA，
∴△ADE∽△PAE，∴AE2＝EP·ED.
∴32＝5EP，EP＝.
点睛：因为正方形既是轴对称图形，又是对称图形，所以解决正方形中的问题时，一般可利用三角形全等证明其中的边或角相等，利用三角形相似证明角相等或求相关线段的长.
21. 某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和利润如表：设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装获利y元．
A
B
成本元件
50
35
利润元件
20
15
请写出y关于x的函数关系式；
如果服装厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？
【正确答案】(1) (2) ，
【分析】(1)根据总利润＝A品牌的利润＋B品牌的利润列方程；
(2)A品牌的成本＋B品牌的成本≥26400列没有等式，求出x的最小值，(1)求解.
【详解】解：(1)根据题意得，y＝20x＋15(600－x)，
即y＝5x＋9000；
(2)根据题意得，50x＋35(600－x)≥26400，
解得x≥360，
当x取最小值360时利润y有最小值5×360＋9000＝10800元.
答：每天至少获利10800元.
注意题中的相等关系总利润＝A品牌的利润＋B品牌的利润，没有等关系A品牌的成本＋B品牌的成本≥26400，由函数关系式y＝5x＋9000知，利润y随x的增大而增大，所以当x取最小值时，y取最小值.
22. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，以B为圆心，BC为半径的圆弧交AD于点E，交BA的延长线于点F，∠ECB=60°，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】；
【详解】分析：判断△BCE是等边三角形，在Rt△DCE中，求出DE，CE的长，得到BE，AE的长和∠ABE的度数，利用阴影部分的面积＝S扇形BEF－S△BAE求解.
详解：连接BE，
∵BC＝BE，∠ECB＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∴∠ABE＝90°－60°＝30°.
Rt△DCE中，∠DCE＝90°－60°＝30°，
∵DC＝AB＝，∴DE＝2，CE＝4.
∴BE＝BC＝CE＝4，∴AE＝4－2＝2.
∴阴影部分的面积＝S扇形BEF－S△BAE
＝×2×.
点睛：若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分没有是规则图形，也没有是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求.
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23. 如图，点在⊙的直径的延长线上，切⊙于点,于点.
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长.
【正确答案】（1）证明见解析（2），
【详解】分析：(1)连接OC，由OC∥AE，OA＝OC可得AC平分∠DAE；(2)在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD，根据平行线分线段成比例定理求CE.
详解：(1)连接OC，则OC⊥CD，
∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAE＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE；
(2)∵AB＝6，∴OA＝OB＝3，
Rt△OCD中，OC＝OB＝3，OD＝3＋2＝5，由勾股定理得CD＝4.
∵OC∥AE，∴，即，解得CE＝.
点睛：理解基本图形“角平分线＋平行线→等腰三角形”，把“角平分线”，“平行线”，“等腰三角形”，这三个中的任意两个作为题设，另一个作为结论所得的命题都是真命题.
24. 如图，直线与反比例函数的图象只有一个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在函数的图象上取异于点的一点，作轴于点，连接交直线于点.设直线与轴交于点，若的面积是面积的倍，求点的坐标．
【正确答案】(1) (2) ，
【详解】分析：(1)直线与双曲线只有一个交点，则把它们的解析式联立整理为一元二次方程后，方程的判别式为0；(2)由k的几何意义求得S△OBC，得到S△EOF，又OE＝4，根据△EOF的面积求F有横坐标.
详解：(1)根据题意得，整理得4x2－12x＋3k＝0，
△＝(－12)2－4×4×3k＝0，解得k＝3，
所以反比例函数的解析式为；
(2)设F(a，)，则E(0，4).
∵S△OBC＝，∴S△EOF＝，
∴×4×a＝，解得a＝，
则＝1，所以F(，1).
点睛：本题考查了反比例函数与函数的综合，反比例函数与函数只有一个交点，意味着将它们的解析式联立整理成为一元二次方程后的根的判别式为0.过反比例函数(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足，原点，P点组成一个矩形，矩形的面积．过反比例函数上一点，作垂线，三角形的面积为．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分
25. 阅读下列材料：
题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示.
解：如图2，作边上的中线，于，
则，，，
在中，
根据以上阅读，请解决下列问题：
(1)如图3，在中，，，，求，的值
(2)上面阅读材料中，题目条件没有变，请用或表示.
【正确答案】(1) ， ；(2).
【分析】(1) 作边上的中线，于，分别在Rt△ACD，Rt△CED中用三角形函数求解；
（2）仿照题中求sin2A的方法求cos2A.
【详解】解：(1)作边上的中线，于，
Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝，
sinA＝.
则，，
×.
在中，
.
(2)则，，，，
所以AD＝ACcosA＝cos2A，DE＝AD－AE＝cos2A－.
中，
.
本题考查了解直角三角形，在非直角三角形中求边与角的关系时，需要作高构造直角三角形，勾股定理三角形函数来解直角三角形.
26. 如图，抛物线点，，与轴正半轴交于点，与轴交于点.
(1)求直线的解析式；
(2)设点为直线下方抛物线上一点，连接、，当面积时，求点的坐标；
(3)在(2)的条件下，直线过直线与轴的交点.设的中点为，是直线上一点，是直线上一点，求周长的最小值.
【正确答案】（1）y=2x-3（2）当时，有值，此时P(2，-3)（3）
【详解】分析：(1)把点A的坐标代入中求出二次函数的解析式，得点C的坐标，用待定系数法求AC的解析式；(2)设，则过P作轴的平行线与AC的交点坐标为，用含x的式子表示出，二次函数的性质求解；(3)判断点F关于CP的对称点Q的坐标，关于直线的对称点是原点O，则△EHF的周长的最小值是OQ的长.
详解：(1)…
(2)设，则过P作轴的平行线与AC的交点坐标为，
.
所以当x＝2时，有值，此时P(2，－3)
(3)B(3，0)，C(0，－3)，则，F关于PC的对称点为
直线过D(，0)，所以直线的解析式为，
所以F点关于直线的对称点为原点，
所以△EHF的周长的最小值为OQ的长，
根据勾股定理得，OQ＝ ＝.
点睛：在直角坐标系中，求三角形面积的值的问题通常转化为求二次函数的最值；已知两个定点A，B，在定直线l上找一点P，使PA＋PB最小时，可作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点即为点P.
2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选
1. 的相反数是（ ）
A. B. - C. D. -
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 5a2+3a2=8a4 B. a3•a4=a12 C. （a+2b）2=a2+4b2 D. ﹣=﹣5
3. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
4. 校篮球队所买10双运动鞋的尺码统计如表：
尺码（cm）
25
25.5
26
26.5
27
购买量（双）
1
1
2
4
2
则这10双运动鞋尺码众数和中位数分别为（ ）
A. 4cm，26cm B. 4cm，26.5cm
C. 26.5cm，26.5cm D. 26.5cm，26cm
5. 下列图形：任取一个是对称图形的概率是 （ ）
A. B. C. D. 1
6. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A. B. C. D.
7. 将没有等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是( )
A. B. C. D.
8. 为治理大气污染，保护人民健康．某市积极行动，调整产业结构，压减钢铁生产总量，2013年某市钢铁生产量为9700万吨，计划到2015年钢铁生产量设定为5000万吨，设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. 9700（1﹣2x）=5000 B. 5000（1+x）2=9700
C. 5000（1﹣2x）=9700 D. 9700（1﹣x）2=5000
9. 如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD边上的点，EG⊥FH，FH=2，则四边形EFGH的面积为（ ）
A. 6 B. 12 C. 12 D. 24
10. 如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 4 D. 8
二、填 空 题
11. 分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2=_____．
12. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有 0. 00 000 0076 克，用科学记数法表示是_____克.
13. 要使式子有意义，则a的取值范围是___．
14. 如图,直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O两条弦,且CD∥AB，半径为2.5，CD=4，则弦AC长为_____．
15. 一个没有透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球____________个.
16. 如图，点A（t，4）在象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值为_____．
17. ′如图，已知△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则点B运动的路径长为_____（结果保留π）
18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有_____．
三、解 答 题
19. 先化简，再求值：其中a是方程x2+2x=8的一个根．
20. 从营口站（起点）开往大石桥站（终点）一辆大客车，中途只停靠老边站，甲、乙、丙3名互没有相识的旅客同时从营口站上车．
（1）求甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车的概率；
（2）求甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在老边站下车的概率．
21. 随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多，教师为了指导学生有效利用进行学习，对学生进行了随机问卷（问卷表如图所示），并用结果绘制了图1、图2两幅统计图（均没有完整），请根据统计图解答以下问题：
（1）本次接受问卷学生共有 人，在扇形统计图中“D“选项所占的百分比为 ；
（2）扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有1200名学生，请您估计该校学生课外利用学习的时间在“A”选项的有多少人？
22. 某体育场看台坡面AB与地面的夹角是37°，看台点B到地面的垂直距离BC为2.4米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.2米，看台点A与旗杆底端D之间的距离为15米（C，A，D在同一条直线上）．
（1）求看台点A到点B的坡面距离AB；
（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
24. 某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略没有计）这些薄板形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，（即=基础价+浮动价）其中基础价与薄板的大小无关，是固定没有变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元．（利润=﹣成本价）
薄板的边长（cm）
20
30
（元/张）
50
70
（1）求一张薄板的y与边长x之间满足的函数关系式；
（2）求一张薄板的利润p与边长x之间的函数关系式；
（3）若一张薄板的利润是34元，且成本，此时薄板的边长为多少？当薄板的边长为多少时，所获利润，求出这个值．
25. 在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上没有重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，没有需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=2，DP=6，则BC= ．
26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选
1. 的相反数是（ ）
A. B. - C. D. -
【正确答案】B
【详解】∵+（﹣）=0，
∴的相反数是﹣．
故选B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 5a2+3a2=8a4 B. a3•a4=a12 C. （a+2b）2=a2+4b2 D. ﹣=﹣5
【正确答案】D
【详解】根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式计算即可．
解：A、5a2+3a2=8a2，错误；
B、a3•a4=a7，错误；
C、（a+2b）2=a2+4ab+4b2，错误；
D、，正确；
故选D．
“点睛”此题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式，关键是根据法则计算．
3. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．
故选C．
4. 校篮球队所买10双运动鞋的尺码统计如表：
尺码（cm）
25
25.5
26
26.5
27
购买量（双）
1
1
2
4
2
则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ）
A. 4cm，26cm B. 4cm，26.5cm
C. 26.5cm，26.5cm D. 26.5cm，26cm
【正确答案】C
【详解】找中位线要把数据从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数至多的数据，注意众数可以没有止一个.
解：在这一组数据中26.5是出现次数至多的，故众数是26.5cm；
处于这组数据中间位置的数是26.5、26.5，那么中位数的定义可知，这组数据的正直无私是（26.5+26.5）÷2=26.6cm.
故选C.
5. 下列图形：任取一个是对称图形的概率是 （ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】C
【详解】本题考查概率的计算和对称图形的概念,根据对称图形的概念可以判定①③④是对称图形,4个图形任取一个是对称的图形的概率为P=,因此本题正确选项是C.
6. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．
故选D
7. 将没有等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】先解没有等式组中的每一个没有等式，再把没有等式的解集表示在数轴上即可．
解：没有等式可化为：，即．
∴在数轴上可表示为．故选B．
“点睛”没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8. 为治理大气污染，保护人民健康．某市积极行动，调整产业结构，压减钢铁生产总量，2013年某市钢铁生产量为9700万吨，计划到2015年钢铁生产量设定为5000万吨，设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. 9700（1﹣2x）=5000 B. 5000（1+x）2=9700
C. 5000（1﹣2x）=9700 D. 9700（1﹣x）2=5000
【正确答案】D
【分析】依题意可知2014年钢铁生产量= 9700（1-x），则2015的人数为：9700（1-x）（1-x），再令9700（1-x）（1-x）=5000即可得出答案．
【详解】解：设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，
根据题意得 ，9700（1﹣x）2=5000.
故选D.
本题考查的是一元二次方程的应用中的平均降低率，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣．
9. 如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD边上的点，EG⊥FH，FH=2，则四边形EFGH的面积为（ ）
A. 6 B. 12 C. 12 D. 24
【正确答案】B
【详解】过F作FM⊥AD于M，过E作EN⊥CD于N，根据矩形的性质和判定推出EN=2FH，求出EN的长，即可得出答案．
解：过F作FM⊥AD于M，过E作EN⊥CD于N，
则∠FMH=∠ENG=90°，
∵四边形ABCD是矩形，EG⊥FH，
∴∠A=∠D=∠AEN=∠EOF=∠EZF=90°，
∴四边形AEND是矩形，
∴AD=EN，
同理AB=FM，
∵AD=2AB，
∴EN=2FM，
∵∠NEG+∠EQZ+∠EZQ=180°，∠MFH+∠EOF+∠FQO=180°，∠EQZ=∠FQO，
∴∠MFH=∠NEG，
∵∠FMH=∠ENG=90°，
∴△FMH∽△ENG，
∴=2，
∵FH=2，
∴EG=4，
∴EG×EG×FH=×2×4=8，
故选B．
10. 如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 4 D. 8
【正确答案】D
【详解】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．
解：设点D坐标为（a，b），
∵点D为OB的中点，
∴点B的坐标为（2a，2b），
∴k=4ab，
又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，
∴A的坐标为（4a，b），
∴AD=4a﹣a=3a，
∵△AOD的面积为3，
∴×3a×b=3，
∴ab=2，
∴k=4ab=4×2=8．
故选D．
“点睛”本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为3列出关系式是解题的关键．
二、填 空 题
11. 分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2=_____．
【正确答案】3a（a﹣2b）2
【详解】原式=3a(a2−4ab+4b2)=3a(a−2b)2，
故答案为3a(a−2b)2
12. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有 0. 00 000 0076 克，用科学记数法表示是_____克.
【正确答案】
【分析】值小于1正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0. 00 000 0076克用科学记数法表示为克．
故答案为．
本题考查科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 要使式子有意义，则a的取值范围是___．
【正确答案】a≥﹣3且a≠±1
【分析】分式的分母没有等于零且二次根式的被开方数是非负数，据此解答．
【详解】解：由题意，得a+3≥0且a2﹣1≠0．
解得a≥﹣3且a≠±1
故答案是：a≥﹣3且a≠±1．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，实数的运算等知识点，属于基础计算题．
14. 如图,直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O两条弦,且CD∥AB，半径为2.5，CD=4，则弦AC长为_____．
【正确答案】
【分析】连接OA，作OE⊥CD于E，利用垂径定理得出CE，通过CD∥AB，AB⊥OB，证明E、O、A三点共线，再利用勾股定理解Rt△OEC求出OE，利用勾股定理解Rt△AEC求出AC．
【详解】解：连接OA，作OE⊥CD于E，则，
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB．
∵CD∥AB，OE⊥CD，
∴E、O、A三点共线．
连接OC，
在Rt△OEC中，OC=，CE=2，
由勾股定理得，
，
．
本题考查圆的切线的定义、垂径定理和勾股定理，本题中通过垂径定理得出CE，证明E、O、A三点共线是解题的关键．
15. 一个没有透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球____________个.
【正确答案】20
【详解】∵摸到黄球的频率稳定在30%，
∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，而袋中黄球只有6个，
∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个），
故答案为20．
16. 如图，点A（t，4）在象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值为_____．
【正确答案】3
【详解】试题分析：过点A作ABx轴，垂足为B, 因为tanα＝，且点A（t，4），所以,所以t=OB=3．
考点：1．点的坐标；2．锐角三角函数．
17. ′如图，已知△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则点B运动的路径长为_____（结果保留π）
【正确答案】
【分析】过点A作AD⊥BC于D，首先由已知条件可求出BC的长，即点B旋转的半径，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=1，∠BAC=120°，
∴∠B=30°，
∴BD=，
∴BC=2BD=，
∵∠BCB′=90°，
∴点B运动的路径长=，
故答案为．
本题考查了旋转的性质、解直角三角形的运用以及弧长公式的运用，题目比较简单，是中考常见题型．
18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有_____．
【正确答案】①③④
【详解】①由图象可知：a<0，c>0，
∴b>0，
∴abc<0，故此选项正确；
②当x=−1时，y=a−b+c<0，故a−b+c>0，错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故此选项正确；
④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且，
即,代入得，得2c<3b，故此选项正确；
⑤当x=1时，y的值.此时，y=a+b+c，
而当x=m时,y=am2+bm+c，
所以a+b+c>am2+bm+c，
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b)，故此选项错误.
故①③④正确.
故①③④.
三、解 答 题
19. 先化简，再求值：其中a是方程x2+2x=8的一个根．
【正确答案】
【详解】首先计算括号内的式子，然后把除法转化为乘法，计算乘法即可把式子化简，然后解方程求得x的值，代入化简后的式子求值即可．
原式=（x=2没有合题意）
“点睛”本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
20. 从营口站（起点）开往大石桥站（终点）的一辆大客车，中途只停靠老边站，甲、乙、丙3名互没有相识的旅客同时从营口站上车．
（1）求甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车概率；
（2）求甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在老边站下车的概率．
【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）列表和画树状图，然后根据概率公式计算即可；（2）三名游客中至少有有人在苏州站下车有7种情况，所以概率为.
解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车的有2种情况，
∴甲、乙、 丙三名旅客在同一个站下车的概率为： =
（2）∵甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在老边站下车的有7种情况；
∴甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在老边站下车的概率为：．
21. 随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多，教师为了指导学生有效利用进行学习，对学生进行了随机问卷（问卷表如图所示），并用结果绘制了图1、图2两幅统计图（均没有完整），请根据统计图解答以下问题：
（1）本次接受问卷的学生共有 人，在扇形统计图中“D“选项所占的百分比为 ；
（2）扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有1200名学生，请您估计该校学生课外利用学习的时间在“A”选项的有多少人？
【正确答案】（1）100，10%；（2）72；（3）补图见解析；（4）240人.
【详解】由条形统计图与扇形统计图获得的数据：
因为图（1）、图（2）中已知C选项的百分比与人数，由C选项的百分比=×100％求解；
先求出B选项的百分比，再利用扇形统计图的圆心角的度数=360°×B选项的百分比求解；
（3）由（1）所得总人数求出B选项的人数即可作图；
（4）先求出A选项的百分比即可求解.
解：（1）50÷50%＝100．∴本次接受问卷的学生共有100人；
10÷100×＝10%．∴在扇形统计图中“D”选项所占的百分比为10%．
（2）20÷100×360°＝72°．∴扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为72°．
（3）100－20－50－10＝20（人），∴条形统计图中“A”选项所对应的人数是20人．
（补图略）
（4）20÷100×1200＝240（人）．
答：估计该校学生课外利用学习的时间在“A”选项的有240人．
22. 某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台点B到地面的垂直距离BC为2.4米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.2米，看台点A与旗杆底端D之间的距离为15米（C，A，D在同一条直线上）．
（1）求看台点A到点B的坡面距离AB；
（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
【正确答案】（1）4米；（2）红旗升起的平均速度为0.45米/秒．
【详解】（1）根据正弦的定义计算即可；
（2）作FP⊥ED于P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可．
解：（1）在Rt△ABC中，AB==4米；
（2）AC==3.2米，则CD=3.2+15=18.5米，
作FP⊥ED于P，
∴FP=CD=18.5，
∴EP=FP×tan∠EFP=12.025，
DP=BF+BC=3.6，ED=EP+PD=15.625，EG=ED﹣GH﹣HD=13.425，
则红旗升起的平均速度为：13.425÷30≈0.45，
答：红旗升起的平均速度为0.45米/秒．
“点睛”本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）详见解析；（2）2﹣
【分析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF＝1，DF＝，通过解直角三角形得出CD＝2、∠C＝60°，从而得出△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∵AC=AB，
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线，
∴ODAC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O切线．
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，
∴tan∠C==，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=4．
∵ODAC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD•tan∠DOG=2，
∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG•OD﹣×OB2=2﹣．
本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD⊥DF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度没有大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练．
24. 某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略没有计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，（即=基础价+浮动价）其中基础价与薄板的大小无关，是固定没有变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元．（利润=﹣成本价）
薄板的边长（cm）
20
30
（元/张）
50
70
（1）求一张薄板y与边长x之间满足的函数关系式；
（2）求一张薄板的利润p与边长x之间的函数关系式；
（3）若一张薄板的利润是34元，且成本，此时薄板的边长为多少？当薄板的边长为多少时，所获利润，求出这个值．
【正确答案】（1）y=2x+10；（2）p=﹣x2+2x+10；（3）当薄板的边长为25cm时，所获利润，值35元．
【详解】（1）利用待定系数法求函数解析式即可得出答案；
（2）首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
（3）利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．
解：（1）设一张薄板的边长为x cm，它的为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n
由表格中数据得，解得
∴y=2x+10
（2）设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得P= y-mx2＝2x+10-mx2
将x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26= 解得m=
∴.
（3）当P=34时， x=20，x=30（舍去），
所以一张薄板的利润是34元，且成本时薄板的边长为20cm；当薄板的边长为25cm时，所获利润，值为875元．
25. 在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上没有重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，没有需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=2，DP=6，则BC= ．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）4或8．
【详解】（1）根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：BC=BD=BP+PD=BP+BQ；
（2）图②，证明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根据线段的和得结论；
图③，证明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出结论；
（3）分别代入图①和图②条件下的BC，计算即可．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，
∵AP∥CQ，∴∠APQ=∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，
∴DP=BQ，∵AD=BD，AD=BC，∴BD=BC，∵BD=BP+DP，∴BC=BP+BQ；
（2）图②：BQ﹣BP=BC，理由是：∵AP∥CQ，∴∠APB=∠CQD，
∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ABP=∠CDQ，∵AB=CD，∴△ABP≌△CDQ，
∴BP=DQ，∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；
图③：BP﹣BQ=BC，理由是：同理得：△ADP≌△CBQ，∴PD=BQ，
∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；
（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=2+6=8，图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=6﹣2=4，∴BC=4或8．
26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）；（3）①M（1，﹣2），M′；②（2，0）或（﹣3，10）．
【详解】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，利设出两点法解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；
②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．
解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），
即y=x2﹣x﹣2；
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在Rt△POC中，
由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，
即OP=；
（3）①∵△CHM∽△AOC，
∴∠MCH=∠，
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠MCH=∠OAC
∴∠OCA+∠MCH=90°
∴∠OCM=90°=∠AOC
∴CM∥x轴
∴yM=﹣2，
∴x2﹣x﹣2=﹣2，
解得x1=0（舍去），x2=1，
∴M（1，﹣2），
（ii）如图1，当H在点C上方时，
∵∠MCH=∠，
∴PA=PC，由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，
解得k=，
∴y=x﹣2，
由x﹣2=x2﹣x﹣2，
解得x1=0（舍去），x2=，
此时y=×﹣2=，
∴M′，
②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，，
在Rt△AOC中，AC=，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，∴，
解得AD=3，
∴D（2，0）或D（﹣4，0）．
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+4或y=﹣2x﹣8，
当﹣2x﹣8=x2﹣x﹣2时，即x2+x+6=0，方程无实数根，
当﹣2x+4=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣6=0，解得x1=2，x2=-3，
∴点M的坐标为（2，0）或（-3，10）．
“点睛”本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．
2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、单项选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
2. 口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球. 则（ ）
A. 从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大
B. 从中随机摸出一个球, 摸到红球和白球的可能性一样大
C. 从中随机摸出5个球，必有2个白球
D. 从中随机摸出7个球，可能都是白球
3. 如图，直线∥，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 方程的两根为、，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在菱形中，，，、分别是边、中点，则周长等于（ ）
A. B. C. D.
6. 下面两图是某班全体学生上学时，乘车、步行、骑车的人数分布条形统计图和扇形统计图（两图均没有完整），则下列结论中错误的是（ ）
A. 该班总人数为50人 B. 骑车人数占总人数的20%
C. 乘车人数是骑车人数的倍 D. 步行人数为30人
7. 小明用作图象的方法解二元方程组时，他作出了相应的两个函数的图象，则他解的这个方程组是（ ）
A. B. C. D.
8. 甲工厂生产的5件产品中有4件，1件次品；乙工厂生产的5件产品中有3件，2件次品．从这两个工厂生产的产品各任取1件，2件都是次品的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 二次函数y=-x2-2x+c在的范围内有最小值-5，则c的值是（ ）
A. -6 B. -2 C. 2 D. 3
10. 如图，正方形中，点、分别是边、的中点，连接、交于点，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 计算： _________.
12. 分式方程的解为 __________.
13. 老师对甲乙两人五次的数学测试成绩进行统计，得出甲乙两人五次测试的平均分别为91分和92分，他们的方差分别是，.则成绩比较稳定的是 _______.
14. 如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是________．
15. 在一自助夏令营中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．
16. 如图，直线交轴于点，交轴于点.在内依次作等边三角形使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出等边三角形个是，第二个是,第三个是…
(1)的边长等于________；
(2)的边长等于________.
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17. 计算：-.
18. 已知，求的值.
19 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用没有超过5500元，那么至多可购买多少个足球？
20. 如图，在正方形中，、分别是、边上的点，且.
（1）求证:；
（2）若，，求的长.
21. 某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和利润如表：设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装获利y元．
A
B
成本元件
50
35
利润元件
20
15
请写出y关于x的函数关系式；
如果服装厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？
22. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，以B为圆心，BC为半径的圆弧交AD于点E，交BA的延长线于点F，∠ECB=60°，求图中阴影部分的面积．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23. 如图，点在⊙的直径的延长线上，切⊙于点,于点.
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长.
24. 如图，直线与反比例函数的图象只有一个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在函数的图象上取异于点的一点，作轴于点，连接交直线于点.设直线与轴交于点，若的面积是面积的倍，求点的坐标．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分
25. 阅读下列材料：
题目：如图1，中，已知，，，请用、表示.
解：如图2，作边上中线，于，
则，，，
在中，
根据以上阅读，请解决下列问题：
(1)如图3，在中，，，，求，的值
(2)上面阅读材料中，题目条件没有变，请用或表示
26. 如图，抛物线点，，与轴正半轴交于点，与轴交于点.
(1)求直线的解析式；
(2)设点为直线下方抛物线上一点，连接、，当面积时，求点的坐标；
(3)在(2)的条件下，直线过直线与轴的交点.设的中点为，是直线上一点，是直线上一点，求周长的最小值.
2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、单项选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：是2的倒数.
详解.
故选D.
点睛：任何非零数的－p(p是正整数)次幂都等于这个数的p次幂的倒数，即(a≠0，p是正整数).
2. 口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球. 则（ ）
A. 从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大
B. 从中随机摸出一个球, 摸到红球和白球的可能性一样大
C. 从中随机摸出5个球，必有2个白球
D. 从中随机摸出7个球，可能都是白球
【正确答案】A
【详解】分析：摸到任何一个球的可能性都有，红球比白球多，摸到红球的可能性要大.
详解：A.红球比白球多，则A正确；
B.两种球的个数没有是一样多，所以摸到的可能性没有一样，则B错误；
C.没有一定，也有可能都是红球，则C错误；
D.没有可能，白球只有6个，是D错误.
故选A.
点睛：本题考查了可能性的意义，要理解可能性大的没有是一定就能发生，可能性小的也没有是一定没有能发生，可能性大，只是表示发生的机率较大，但并是一定能发生.
3. 如图，直线∥，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：由两直线平行，求出∠BDE，再根据三角形的外角的性质求解.
详解：因为AB∥CD，∠B＝100°，所以∠BDE＝∠B＝100°.
因为∠BDE＝∠E＋∠F，∠F＝40°，所以100°＝∠E＋40°，
所以∠E＝60°.
故选B
点睛：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直角平行，同旁内角互补.三角形的一个外角等于和它没有相邻的两个内角的和.
4. 方程的两根为、，则（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：由根与系数的关系求，的值，把化为后，整体代入求值.
详解：根据题意得，，，
.
故选D.
点睛：一元二次方程根与系数的关系的考查方式主要有运用根与系数的关系求解一元二次方程中的字母，或求代数式的值，利用根与系数的关系求代数式的值时，往往需要对代数式进行变形，变形为含有x1＋x2，x1x2的代数式，然后利用根与系数的关系，求出代数式的值，注意整体思想的运用.
5. 如图，在菱形中，，，、分别是边、中点，则周长等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：分别判断△ABC，△AEF是等边三角形，用勾股定理求出AE的长.
详解：连接AC，因为∠B＝60°，BA＝BC，所以△ABC是等边三角形，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以△AEF是等边三角形.
因为AB＝2，所以BE＝1，由勾股定理得AE＝，
所以△AEF的周长为.
故选B.
点睛：在菱形中，如果有60°的内角，则其中一定会有等边三角形，一般一边上的高，或对角线互相垂直构造直角三角形，用勾股定理求解.
6. 下面两图是某班全体学生上学时，乘车、步行、骑车的人数分布条形统计图和扇形统计图（两图均没有完整），则下列结论中错误的是（ ）
A. 该班总人数为50人 B. 骑车人数占总人数的20%
C. 乘车人数是骑车人数的倍 D. 步行人数为30人
【正确答案】D
【分析】此题首先根据乘车人数和所占总数的比例，求出总人数，即可根据图中获取信息求出步行的人数；根据乘车和骑车所占比例，可得乘车人数是骑车人数的2.5倍．
【详解】根据条形图可知：
乘车的人数是25人，所以总数是：25÷50%=50(人)；故A选项正确；
骑车人数在扇形图中占总人数的：1-50%-30%=20%；故B选项正确；
则乘车人数是骑车人数的2.5倍；故C选项正确；
步行人数为30%×50=15(人)，故D选项错误；
故选：D．
本题考查了扇形统计图和条形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
7. 小明用作图象的方法解二元方程组时，他作出了相应的两个函数的图象，则他解的这个方程组是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据直线所在的象限，确定k，b的符号.
【详解】由图象可知，两条直线的项系数都是负数，且一条直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，b为正数，另一条直线的与y轴的交点在y轴的负半轴上，b为负数，符合条件的方程组只有D.
故选D.
函数y＝kx＋b的图象所在象限与常数k，b的关系是：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象，三，四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象第二，三，四象限，反之也成立.
8. 甲工厂生产5件产品中有4件，1件次品；乙工厂生产的5件产品中有3件，2件次品．从这两个工厂生产的产品各任取1件，2件都是次品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：根据等可能性的概率的定义求解.
详解：从这两个工厂生产的产品各任取1件的可能性有25种，其中符合条件的可能性有2种，故2件都是次品的概率为.
故选A.
点睛：本题主要考查等可能概率的计算方法，在等可能的概率计算中，关键是找到所有等可能的结果n，和其中所包含的A可能出现的结果数m，则可得到A的概率.
9. 二次函数y=-x2-2x+c在的范围内有最小值-5，则c的值是（ ）
A. -6 B. -2 C. 2 D. 3
【正确答案】D
【分析】首先把二次函数y=-x2-2x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在-3≤x≤2内有最小值，判断c的取值．
【详解】把二次函数y=-x2-2x+c转化成顶点坐标式为y=-（x+1）2+c+1，
又知二次函数开口向下，对称轴为x=-1，
故当x=2时，二次函数有最小值为-5，
故-9+c+1=-5，
故c=3．
故选D．
本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
10. 如图，正方形中，点、分别是边、的中点，连接、交于点，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：证明△ABP≌△DAF可判断AP与DF的位置关系与数量关系；延长AP与DC的延长线交于点G，用EC是斜边DG上的中线证明；过点C作CH⊥EG于点H，可证PH＝EF，则EP＝EF＝EH，比较EH与EC的关系.
详解：A.易证△ABP≌△DAF(SAS)得，AP＝DF；
B.由△ABP≌△DAF(SAS)得，∠BAP＝∠ADF，
因为∠ADF＋∠AFD＝90°，所以∠BAP＋∠AFD＝90°，所以∠AEF＝90°，
所以AP⊥DF；
C.延长AP与DC的延长线交于点G，
易证△ABP≌△GCP(ASA)，所以CG＝AB，
又AB＝CD，所以CG＝CD，
因为∠DEG＝90°，所以CE＝CD；
D.过点C作CH⊥EG于点H，
易证△AEF≌△CHP(ASA)，所以EF＝HP，
所以EP＋EF＝EP＋PH＝EH＜EC，即EP＋EF＜CD.
故选D.
点睛：正方形中如果有中点，一般采用倍中线法，构建全等三角形，把已知条件和要解决的问题集中在一起.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 计算： _________.
【正确答案】3
【详解】分析：(－1)2＝1，|－2|＝2，再相加.
详解：(－1)2＋|－2|＝1＋2＝3.
故答案为3.
点睛：负1的偶数次方是正数，奇数次方是负数，正数的值是它本身，负数的值是它的相反数，0的值是0．
12. 分式方程的解为 __________.
【正确答案】4
【详解】分析：把方程两边都乘以2x，化分式方程为整式方程后求解.
详解：去分母得，2(x－2)＝x；
去括号得，2x－4＝x；
移项合并同类项得，x＝4.
经检验，x＝4是原方程的解.
故答案为4.
点睛：本题考查了解分式方程的，解分式方程的基本思路是，将方程两边都乘以分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，求出整式方程的解后，要代入到最简公分母中检验，若最简公分母没有等于0，则是原分式方程的解，否则原分式方程无解．
13. 老师对甲乙两人五次的数学测试成绩进行统计，得出甲乙两人五次测试的平均分别为91分和92分，他们的方差分别是，.则成绩比较稳定的是 _______.
【正确答案】乙
【详解】分析：当一组数据的平均分相等可比较接近时，方差越小，数据越稳定.
详解：因为＞，所以成绩比较稳定的是乙.
故答案为乙.
点睛：本题考查了方差的意义，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.
14. 如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是________．
【正确答案】∠ABP=∠C（答案没有）
【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对对应角相等即可.
【详解】在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对对应角相等，即∠ABP＝∠C，便可使△ABP∽△ACB，所以∠ABP＝∠C（答案没有）.
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.
15. 在一自助夏令营中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．
【正确答案】200
【详解】解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=200．
16. 如图，直线交轴于点，交轴于点.在内依次作等边三角形使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形个是，第二个是,第三个是…
(1)的边长等于________；
(2)的边长等于________.
【正确答案】 ①. ②.
【详解】分析：判断∠AA1C＝90°，求出AA1的长，在Rt△A1B1A2中，求B1A2，依次类推.
详解：由直线分别求出B(，0)，C(0，1)，所以∠BCO＝60°.
因为△AA1B1是等边三角形，所以∠A1AB1＝60°，∠CAA1＝30°，则∠AA1C＝90°.
Rt△AA1C中，AA1＝OCcos∠A1AC＝1×cos30°＝；
Rt△A1B1A2中，∠B1A1A2＝30°，B1A2＝A1B1＝×；
同理，B2A3＝A2B2＝××；
……
依次类推，第n个等边三角形的边长为.
则的边长等于，的边长等于.
故答案为(1).(2)..
点睛：寻找图形中的计算规律，要善于找到切入点，可将问题分成“变”与“没有变”两部分来考虑，尤其是抓住没有变的部分，以此为基础观察变化部分的规律，关键是观察图形的结构组成，通过列举部分图形，找出其中的变化规律，从而推测出通式.
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17. 计算：-.
【正确答案】
【详解】分析：分别计算出每一部分的值，再用实数的混合运算法则求解.
详解：
＝＋1
＝＋1
＝
点睛：此类问题容易出错的地方：一是符号，二是角的三角函数值，三是零指数幂的运算．实数的运算通常会一些角的三角函数值，整数指数幂(包括正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂)，二次根式，值等来考查．运算时应先“各个击破”，准确记忆角的三角函数值及相关运算的法则，如(a≠0)，a0＝1(a≠0)．
18. 已知，求的值.
【正确答案】3
【详解】分析：设a＝2k，b＝3k，分别代入原分式后化简求解.
详解：设a＝2k，b＝3k，则
＝
＝
＝－1＋4＝3
点睛：求分式的值时，如果分式中含有几个未知数，且未知数是成比例的关系，则可用比例的基本性质设出每一个未知数的值(含字母系数)，直接代入原分式中求值.
19. 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用没有超过5500元，那么至多可购买多少个足球？
【正确答案】（1）每个篮球和的售价为100元，每个足球的售价为120元；（2）至多可购买25个．
【分析】（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）设篮球购买a个，则足球购买（50﹣a）个，根据题意列出没有等式，求出没有等式的解集即可确定出至多购买的足球．
【详解】解：（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个篮球和的售价为100元，每个足球的售价为120元；
（2）设足球购买a个，则篮球购买（50﹣a）个，根据题意得：
120a+100（50﹣a）≤5500，
整理得：20a≤500，
解得：a≤25．
答：至多可购买25个足球．
本题考查了二元方程组的应用以及一元没有等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元没有等式组．
20. 如图，在正方形中，、分别是、边上的点，且.
（1）求证:；
（2）若，，求的长.
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【详解】分析：(1)根据正方形的性质，用SAS证明△AED≌△BFA，得到∠ADE＝∠BAF，再证∠BAF＋∠AED＝90°；(2)根据∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠PEA，证得△ADE∽△PAE，由对应边成比例求解.
详解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝BF，
∴△AED≌△BFA(SAS)，∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BAF＋∠AED＝90°，
∴∠APE＝90°，即AF⊥DE.
(2)Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，
由勾股定理得，DE＝5.
∵∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠PEA，
∴△ADE∽△PAE，∴AE2＝EP·ED.
∴32＝5EP，EP＝.
点睛：因为正方形既是轴对称图形，又是对称图形，所以解决正方形中的问题时，一般可利用三角形全等证明其中的边或角相等，利用三角形相似证明角相等或求相关线段的长.
21. 某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和利润如表：设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装获利y元．
A
B
成本元件
50
35
利润元件
20
15
请写出y关于x的函数关系式；
如果服装厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？
【正确答案】(1) (2) ，
【分析】(1)根据总利润＝A品牌的利润＋B品牌的利润列方程；
(2)A品牌的成本＋B品牌的成本≥26400列没有等式，求出x的最小值，(1)求解.
【详解】解：(1)根据题意得，y＝20x＋15(600－x)，
即y＝5x＋9000；
(2)根据题意得，50x＋35(600－x)≥26400，
解得x≥360，
当x取最小值360时利润y有最小值5×360＋9000＝10800元.
答：每天至少获利10800元.
注意题中的相等关系总利润＝A品牌的利润＋B品牌的利润，没有等关系A品牌的成本＋B品牌的成本≥26400，由函数关系式y＝5x＋9000知，利润y随x的增大而增大，所以当x取最小值时，y取最小值.
22. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，以B为圆心，BC为半径的圆弧交AD于点E，交BA的延长线于点F，∠ECB=60°，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】；
【详解】分析：判断△BCE是等边三角形，在Rt△DCE中，求出DE，CE的长，得到BE，AE的长和∠ABE的度数，利用阴影部分的面积＝S扇形BEF－S△BAE求解.
详解：连接BE，
∵BC＝BE，∠ECB＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∴∠ABE＝90°－60°＝30°.
Rt△DCE中，∠DCE＝90°－60°＝30°，
∵DC＝AB＝，∴DE＝2，CE＝4.
∴BE＝BC＝CE＝4，∴AE＝4－2＝2.
∴阴影部分的面积＝S扇形BEF－S△BAE
＝×2×.
点睛：若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分没有是规则图形，也没有是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求.
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23. 如图，点在⊙的直径的延长线上，切⊙于点,于点.
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长.
【正确答案】（1）证明见解析（2），
【详解】分析：(1)连接OC，由OC∥AE，OA＝OC可得AC平分∠DAE；(2)在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD，根据平行线分线段成比例定理求CE.
详解：(1)连接OC，则OC⊥CD，
∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAE＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE；
(2)∵AB＝6，∴OA＝OB＝3，
Rt△OCD中，OC＝OB＝3，OD＝3＋2＝5，由勾股定理得CD＝4.
∵OC∥AE，∴，即，解得CE＝.
点睛：理解基本图形“角平分线＋平行线→等腰三角形”，把“角平分线”，“平行线”，“等腰三角形”，这三个中的任意两个作为题设，另一个作为结论所得的命题都是真命题.
24. 如图，直线与反比例函数的图象只有一个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在函数的图象上取异于点的一点，作轴于点，连接交直线于点.设直线与轴交于点，若的面积是面积的倍，求点的坐标．
【正确答案】(1) (2) ，
【详解】分析：(1)直线与双曲线只有一个交点，则把它们的解析式联立整理为一元二次方程后，方程的判别式为0；(2)由k的几何意义求得S△OBC，得到S△EOF，又OE＝4，根据△EOF的面积求F有横坐标.
详解：(1)根据题意得，整理得4x2－12x＋3k＝0，
△＝(－12)2－4×4×3k＝0，解得k＝3，
所以反比例函数的解析式为；
(2)设F(a，)，则E(0，4).
∵S△OBC＝，∴S△EOF＝，
∴×4×a＝，解得a＝，
则＝1，所以F(，1).
点睛：本题考查了反比例函数与函数的综合，反比例函数与函数只有一个交点，意味着将它们的解析式联立整理成为一元二次方程后的根的判别式为0.过反比例函数(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足，原点，P点组成一个矩形，矩形的面积．过反比例函数上一点，作垂线，三角形的面积为．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分
25. 阅读下列材料：
题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示.
解：如图2，作边上的中线，于，
则，，，
在中，
根据以上阅读，请解决下列问题：
(1)如图3，在中，，，，求，的值
(2)上面阅读材料中，题目条件没有变，请用或表示.
【正确答案】(1) ， ；(2).
【分析】(1) 作边上的中线，于，分别在Rt△ACD，Rt△CED中用三角形函数求解；
（2）仿照题中求sin2A的方法求cos2A.
【详解】解：(1)作边上的中线，于，
Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝，
sinA＝.
则，，
×.
在中，
.
(2)则，，，，
所以AD＝ACcosA＝cos2A，DE＝AD－AE＝cos2A－.
中，
.
本题考查了解直角三角形，在非直角三角形中求边与角的关系时，需要作高构造直角三角形，勾股定理三角形函数来解直角三角形.
26. 如图，抛物线点，，与轴正半轴交于点，与轴交于点.
(1)求直线的解析式；
(2)设点为直线下方抛物线上一点，连接、，当面积时，求点的坐标；
(3)在(2)的条件下，直线过直线与轴的交点.设的中点为，是直线上一点，是直线上一点，求周长的最小值.
【正确答案】（1）y=2x-3（2）当时，有值，此时P(2，-3)（3）
【详解】分析：(1)把点A的坐标代入中求出二次函数的解析式，得点C的坐标，用待定系数法求AC的解析式；(2)设，则过P作轴的平行线与AC的交点坐标为，用含x的式子表示出，二次函数的性质求解；(3)判断点F关于CP的对称点Q的坐标，关于直线的对称点是原点O，则△EHF的周长的最小值是OQ的长.
详解：(1)…
(2)设，则过P作轴的平行线与AC的交点坐标为，
.
所以当x＝2时，有值，此时P(2，－3)
(3)B(3，0)，C(0，－3)，则，F关于PC的对称点为
直线过D(，0)，所以直线的解析式为，
所以F点关于直线的对称点为原点，
所以△EHF的周长的最小值为OQ的长，
根据勾股定理得，OQ＝ ＝.
点睛：在直角坐标系中，求三角形面积的值的问题通常转化为求二次函数的最值；已知两个定点A，B，在定直线l上找一点P，使PA＋PB最小时，可作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点即为点P.
2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选
1. 的相反数是（ ）
A. B. - C. D. -
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 5a2+3a2=8a4 B. a3•a4=a12 C. （a+2b）2=a2+4b2 D. ﹣=﹣5
3. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
4. 校篮球队所买10双运动鞋的尺码统计如表：
尺码（cm）
25
25.5
26
26.5
27
购买量（双）
1
1
2
4
2
则这10双运动鞋尺码众数和中位数分别为（ ）
A. 4cm，26cm B. 4cm，26.5cm
C. 26.5cm，26.5cm D. 26.5cm，26cm
5. 下列图形：任取一个是对称图形的概率是 （ ）
A. B. C. D. 1
6. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A. B. C. D.
7. 将没有等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是( )
A. B. C. D.
8. 为治理大气污染，保护人民健康．某市积极行动，调整产业结构，压减钢铁生产总量，2013年某市钢铁生产量为9700万吨，计划到2015年钢铁生产量设定为5000万吨，设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. 9700（1﹣2x）=5000 B. 5000（1+x）2=9700
C. 5000（1﹣2x）=9700 D. 9700（1﹣x）2=5000
9. 如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD边上的点，EG⊥FH，FH=2，则四边形EFGH的面积为（ ）
A. 6 B. 12 C. 12 D. 24
10. 如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 4 D. 8
二、填 空 题
11. 分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2=_____．
12. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有 0. 00 000 0076 克，用科学记数法表示是_____克.
13. 要使式子有意义，则a的取值范围是___．
14. 如图,直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O两条弦,且CD∥AB，半径为2.5，CD=4，则弦AC长为_____．
15. 一个没有透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球____________个.
16. 如图，点A（t，4）在象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值为_____．
17. ′如图，已知△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则点B运动的路径长为_____（结果保留π）
18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有_____．
三、解 答 题
19. 先化简，再求值：其中a是方程x2+2x=8的一个根．
20. 从营口站（起点）开往大石桥站（终点）一辆大客车，中途只停靠老边站，甲、乙、丙3名互没有相识的旅客同时从营口站上车．
（1）求甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车的概率；
（2）求甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在老边站下车的概率．
21. 随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多，教师为了指导学生有效利用进行学习，对学生进行了随机问卷（问卷表如图所示），并用结果绘制了图1、图2两幅统计图（均没有完整），请根据统计图解答以下问题：
（1）本次接受问卷学生共有 人，在扇形统计图中“D“选项所占的百分比为 ；
（2）扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有1200名学生，请您估计该校学生课外利用学习的时间在“A”选项的有多少人？
22. 某体育场看台坡面AB与地面的夹角是37°，看台点B到地面的垂直距离BC为2.4米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.2米，看台点A与旗杆底端D之间的距离为15米（C，A，D在同一条直线上）．
（1）求看台点A到点B的坡面距离AB；
（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
24. 某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略没有计）这些薄板形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，（即=基础价+浮动价）其中基础价与薄板的大小无关，是固定没有变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元．（利润=﹣成本价）
薄板的边长（cm）
20
30
（元/张）
50
70
（1）求一张薄板的y与边长x之间满足的函数关系式；
（2）求一张薄板的利润p与边长x之间的函数关系式；
（3）若一张薄板的利润是34元，且成本，此时薄板的边长为多少？当薄板的边长为多少时，所获利润，求出这个值．
25. 在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上没有重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，没有需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=2，DP=6，则BC= ．
26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
2022-2023学年山东省淄博市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选
1. 的相反数是（ ）
A. B. - C. D. -
【正确答案】B
【详解】∵+（﹣）=0，
∴的相反数是﹣．
故选B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. 5a2+3a2=8a4 B. a3•a4=a12 C. （a+2b）2=a2+4b2 D. ﹣=﹣5
【正确答案】D
【详解】根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式计算即可．
解：A、5a2+3a2=8a2，错误；
B、a3•a4=a7，错误；
C、（a+2b）2=a2+4ab+4b2，错误；
D、，正确；
故选D．
“点睛”此题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式，关键是根据法则计算．
3. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．
故选C．
4. 校篮球队所买10双运动鞋的尺码统计如表：
尺码（cm）
25
25.5
26
26.5
27
购买量（双）
1
1
2
4
2
则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ）
A. 4cm，26cm B. 4cm，26.5cm
C. 26.5cm，26.5cm D. 26.5cm，26cm
【正确答案】C
【详解】找中位线要把数据从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数至多的数据，注意众数可以没有止一个.
解：在这一组数据中26.5是出现次数至多的，故众数是26.5cm；
处于这组数据中间位置的数是26.5、26.5，那么中位数的定义可知，这组数据的正直无私是（26.5+26.5）÷2=26.6cm.
故选C.
5. 下列图形：任取一个是对称图形的概率是 （ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】C
【详解】本题考查概率的计算和对称图形的概念,根据对称图形的概念可以判定①③④是对称图形,4个图形任取一个是对称的图形的概率为P=,因此本题正确选项是C.
6. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．
故选D
7. 将没有等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】先解没有等式组中的每一个没有等式，再把没有等式的解集表示在数轴上即可．
解：没有等式可化为：，即．
∴在数轴上可表示为．故选B．
“点睛”没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8. 为治理大气污染，保护人民健康．某市积极行动，调整产业结构，压减钢铁生产总量，2013年某市钢铁生产量为9700万吨，计划到2015年钢铁生产量设定为5000万吨，设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. 9700（1﹣2x）=5000 B. 5000（1+x）2=9700
C. 5000（1﹣2x）=9700 D. 9700（1﹣x）2=5000
【正确答案】D
【分析】依题意可知2014年钢铁生产量= 9700（1-x），则2015的人数为：9700（1-x）（1-x），再令9700（1-x）（1-x）=5000即可得出答案．
【详解】解：设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，
根据题意得 ，9700（1﹣x）2=5000.
故选D.
本题考查的是一元二次方程的应用中的平均降低率，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣．
9. 如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD边上的点，EG⊥FH，FH=2，则四边形EFGH的面积为（ ）
A. 6 B. 12 C. 12 D. 24
【正确答案】B
【详解】过F作FM⊥AD于M，过E作EN⊥CD于N，根据矩形的性质和判定推出EN=2FH，求出EN的长，即可得出答案．
解：过F作FM⊥AD于M，过E作EN⊥CD于N，
则∠FMH=∠ENG=90°，
∵四边形ABCD是矩形，EG⊥FH，
∴∠A=∠D=∠AEN=∠EOF=∠EZF=90°，
∴四边形AEND是矩形，
∴AD=EN，
同理AB=FM，
∵AD=2AB，
∴EN=2FM，
∵∠NEG+∠EQZ+∠EZQ=180°，∠MFH+∠EOF+∠FQO=180°，∠EQZ=∠FQO，
∴∠MFH=∠NEG，
∵∠FMH=∠ENG=90°，
∴△FMH∽△ENG，
∴=2，
∵FH=2，
∴EG=4，
∴EG×EG×FH=×2×4=8，
故选B．
10. 如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 4 D. 8
【正确答案】D
【详解】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．
解：设点D坐标为（a，b），
∵点D为OB的中点，
∴点B的坐标为（2a，2b），
∴k=4ab，
又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，
∴A的坐标为（4a，b），
∴AD=4a﹣a=3a，
∵△AOD的面积为3，
∴×3a×b=3，
∴ab=2，
∴k=4ab=4×2=8．
故选D．
“点睛”本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为3列出关系式是解题的关键．
二、填 空 题
11. 分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2=_____．
【正确答案】3a（a﹣2b）2
【详解】原式=3a(a2−4ab+4b2)=3a(a−2b)2，
故答案为3a(a−2b)2
12. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有 0. 00 000 0076 克，用科学记数法表示是_____克.
【正确答案】
【分析】值小于1正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0. 00 000 0076克用科学记数法表示为克．
故答案为．
本题考查科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 要使式子有意义，则a的取值范围是___．
【正确答案】a≥﹣3且a≠±1
【分析】分式的分母没有等于零且二次根式的被开方数是非负数，据此解答．
【详解】解：由题意，得a+3≥0且a2﹣1≠0．
解得a≥﹣3且a≠±1
故答案是：a≥﹣3且a≠±1．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，实数的运算等知识点，属于基础计算题．
14. 如图,直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O两条弦,且CD∥AB，半径为2.5，CD=4，则弦AC长为_____．
【正确答案】
【分析】连接OA，作OE⊥CD于E，利用垂径定理得出CE，通过CD∥AB，AB⊥OB，证明E、O、A三点共线，再利用勾股定理解Rt△OEC求出OE，利用勾股定理解Rt△AEC求出AC．
【详解】解：连接OA，作OE⊥CD于E，则，
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB．
∵CD∥AB，OE⊥CD，
∴E、O、A三点共线．
连接OC，
在Rt△OEC中，OC=，CE=2，
由勾股定理得，
，
．
本题考查圆的切线的定义、垂径定理和勾股定理，本题中通过垂径定理得出CE，证明E、O、A三点共线是解题的关键．
15. 一个没有透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球____________个.
【正确答案】20
【详解】∵摸到黄球的频率稳定在30%，
∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，而袋中黄球只有6个，
∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个），
故答案为20．
16. 如图，点A（t，4）在象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值为_____．
【正确答案】3
【详解】试题分析：过点A作ABx轴，垂足为B, 因为tanα＝，且点A（t，4），所以,所以t=OB=3．
考点：1．点的坐标；2．锐角三角函数．
17. ′如图，已知△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则点B运动的路径长为_____（结果保留π）
【正确答案】
【分析】过点A作AD⊥BC于D，首先由已知条件可求出BC的长，即点B旋转的半径，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=1，∠BAC=120°，
∴∠B=30°，
∴BD=，
∴BC=2BD=，
∵∠BCB′=90°，
∴点B运动的路径长=，
故答案为．
本题考查了旋转的性质、解直角三角形的运用以及弧长公式的运用，题目比较简单，是中考常见题型．
18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有_____．
【正确答案】①③④
【详解】①由图象可知：a<0，c>0，
∴b>0，
∴abc<0，故此选项正确；
②当x=−1时，y=a−b+c<0，故a−b+c>0，错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故此选项正确；
④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且，
即,代入得，得2c<3b，故此选项正确；
⑤当x=1时，y的值.此时，y=a+b+c，
而当x=m时,y=am2+bm+c，
所以a+b+c>am2+bm+c，
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b)，故此选项错误.
故①③④正确.
故①③④.
三、解 答 题
19. 先化简，再求值：其中a是方程x2+2x=8的一个根．
【正确答案】
【详解】首先计算括号内的式子，然后把除法转化为乘法，计算乘法即可把式子化简，然后解方程求得x的值，代入化简后的式子求值即可．
原式=（x=2没有合题意）
“点睛”本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
20. 从营口站（起点）开往大石桥站（终点）的一辆大客车，中途只停靠老边站，甲、乙、丙3名互没有相识的旅客同时从营口站上车．
（1）求甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车概率；
（2）求甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在老边站下车的概率．
【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）列表和画树状图，然后根据概率公式计算即可；（2）三名游客中至少有有人在苏州站下车有7种情况，所以概率为.
解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车的有2种情况，
∴甲、乙、 丙三名旅客在同一个站下车的概率为： =
（2）∵甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在老边站下车的有7种情况；
∴甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在老边站下车的概率为：．
21. 随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多，教师为了指导学生有效利用进行学习，对学生进行了随机问卷（问卷表如图所示），并用结果绘制了图1、图2两幅统计图（均没有完整），请根据统计图解答以下问题：
（1）本次接受问卷的学生共有 人，在扇形统计图中“D“选项所占的百分比为 ；
（2）扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有1200名学生，请您估计该校学生课外利用学习的时间在“A”选项的有多少人？
【正确答案】（1）100，10%；（2）72；（3）补图见解析；（4）240人.
【详解】由条形统计图与扇形统计图获得的数据：
因为图（1）、图（2）中已知C选项的百分比与人数，由C选项的百分比=×100％求解；
先求出B选项的百分比，再利用扇形统计图的圆心角的度数=360°×B选项的百分比求解；
（3）由（1）所得总人数求出B选项的人数即可作图；
（4）先求出A选项的百分比即可求解.
解：（1）50÷50%＝100．∴本次接受问卷的学生共有100人；
10÷100×＝10%．∴在扇形统计图中“D”选项所占的百分比为10%．
（2）20÷100×360°＝72°．∴扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为72°．
（3）100－20－50－10＝20（人），∴条形统计图中“A”选项所对应的人数是20人．
（补图略）
（4）20÷100×1200＝240（人）．
答：估计该校学生课外利用学习的时间在“A”选项的有240人．
22. 某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台点B到地面的垂直距离BC为2.4米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.2米，看台点A与旗杆底端D之间的距离为15米（C，A，D在同一条直线上）．
（1）求看台点A到点B的坡面距离AB；
（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
【正确答案】（1）4米；（2）红旗升起的平均速度为0.45米/秒．
【详解】（1）根据正弦的定义计算即可；
（2）作FP⊥ED于P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可．
解：（1）在Rt△ABC中，AB==4米；
（2）AC==3.2米，则CD=3.2+15=18.5米，
作FP⊥ED于P，
∴FP=CD=18.5，
∴EP=FP×tan∠EFP=12.025，
DP=BF+BC=3.6，ED=EP+PD=15.625，EG=ED﹣GH﹣HD=13.425，
则红旗升起的平均速度为：13.425÷30≈0.45，
答：红旗升起的平均速度为0.45米/秒．
“点睛”本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）详见解析；（2）2﹣
【分析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF＝1，DF＝，通过解直角三角形得出CD＝2、∠C＝60°，从而得出△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∵AC=AB，
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线，
∴ODAC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O切线．
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，
∴tan∠C==，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=4．
∵ODAC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD•tan∠DOG=2，
∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG•OD﹣×OB2=2﹣．
本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD⊥DF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度没有大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练．
24. 某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略没有计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，（即=基础价+浮动价）其中基础价与薄板的大小无关，是固定没有变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元．（利润=﹣成本价）
薄板的边长（cm）
20
30
（元/张）
50
70
（1）求一张薄板y与边长x之间满足的函数关系式；
（2）求一张薄板的利润p与边长x之间的函数关系式；
（3）若一张薄板的利润是34元，且成本，此时薄板的边长为多少？当薄板的边长为多少时，所获利润，求出这个值．
【正确答案】（1）y=2x+10；（2）p=﹣x2+2x+10；（3）当薄板的边长为25cm时，所获利润，值35元．
【详解】（1）利用待定系数法求函数解析式即可得出答案；
（2）首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
（3）利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．
解：（1）设一张薄板的边长为x cm，它的为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n
由表格中数据得，解得
∴y=2x+10
（2）设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得P= y-mx2＝2x+10-mx2
将x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26= 解得m=
∴.
（3）当P=34时， x=20，x=30（舍去），
所以一张薄板的利润是34元，且成本时薄板的边长为20cm；当薄板的边长为25cm时，所获利润，值为875元．
25. 在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上没有重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，没有需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=2，DP=6，则BC= ．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）4或8．
【详解】（1）根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：BC=BD=BP+PD=BP+BQ；
（2）图②，证明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根据线段的和得结论；
图③，证明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出结论；
（3）分别代入图①和图②条件下的BC，计算即可．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，
∵AP∥CQ，∴∠APQ=∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，
∴DP=BQ，∵AD=BD，AD=BC，∴BD=BC，∵BD=BP+DP，∴BC=BP+BQ；
（2）图②：BQ﹣BP=BC，理由是：∵AP∥CQ，∴∠APB=∠CQD，
∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ABP=∠CDQ，∵AB=CD，∴△ABP≌△CDQ，
∴BP=DQ，∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；
图③：BP﹣BQ=BC，理由是：同理得：△ADP≌△CBQ，∴PD=BQ，
∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；
（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=2+6=8，图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=6﹣2=4，∴BC=4或8．
26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）；（3）①M（1，﹣2），M′；②（2，0）或（﹣3，10）．
【详解】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，利设出两点法解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；
②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．
解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），
即y=x2﹣x﹣2；
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在Rt△POC中，
由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，
即OP=；
（3）①∵△CHM∽△AOC，
∴∠MCH=∠，
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠MCH=∠OAC
∴∠OCA+∠MCH=90°
∴∠OCM=90°=∠AOC
∴CM∥x轴
∴yM=﹣2，
∴x2﹣x﹣2=﹣2，
解得x1=0（舍去），x2=1，
∴M（1，﹣2），
（ii）如图1，当H在点C上方时，
∵∠MCH=∠，
∴PA=PC，由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，
解得k=，
∴y=x﹣2，
由x﹣2=x2﹣x﹣2，
解得x1=0（舍去），x2=，
此时y=×﹣2=，
∴M′，
②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，，
在Rt△AOC中，AC=，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，∴，
解得AD=3，
∴D（2，0）或D（﹣4，0）．
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+4或y=﹣2x﹣8，
当﹣2x﹣8=x2﹣x﹣2时，即x2+x+6=0，方程无实数根，
当﹣2x+4=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣6=0，解得x1=2，x2=-3，
∴点M的坐标为（2，0）或（-3，10）．
“点睛”本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．
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