湖南省长沙市长郡中学2022届高三下学期二模数学试题及参考答案

长郡中学2022届模拟试卷（二）

数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在复平面内,复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是（    ）

A. 60 B. 160 C. 180 D. 240

4. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设等比数列满足，则的最大值为（    ）

A 64 B. 128 C. 256 D. 512

6. 已知是双曲线C两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数的部分图像如图所示，则（    ）

A. 函数的最小正周期是 B. 函数关于直线对称

C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上的最大值是

8. 已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，

9. 2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中错误的是（    ）

A. 2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降

B. 2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加

C. 2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

D. 2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率12.6%

10. 已知向量，则下列命题正确的是（    ）

A. 存在，使得 B. 当时，与垂直

C. 对任意，都有 D. 当时，

11. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，O为坐标原点，则（    ）

A. C的准线方程为 B. 若，则

C. 若，则l的斜率为 D. 过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分，则

12. 已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 平面

C. 与所成角余弦值为 D. 动点P的轨迹长为

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

13. 已知函数是奇函数，则__________.

14. 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.记事件A为“抽取到的两张卡片上的数奇偶性相同”，事件B为“两张卡片上的数字均为偶数”，则________.

15. 已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.

16. 已知数列的前n项和（a为常数），则________；设函数且，则__________.

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，

（1）求角A的大小；

（2）请在① ② 两个条件任选一个，求面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）

18. 已知数列满足，.

（1）记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19. 某食品企业与甲、乙两超市签订了长期供应某种海鲜罐头的合同，每月供应一次，经调研发现：①每家超市的月需求量都只有两种：400件或600件，且互相不受影响；

②甲、乙两超市的月需求量为400件的概率分别为，.

（1）求两超市的月需求总量为1000件的概率；

（2）已知企业对此罐头的供货价格为30元／件，生产此罐头的成本为：800件内（含800）为20元／件，超过800件但不超过1000件的部分为15元／件，超过1000件的部分为10元／件.企业拟将月生产量X（单位：件）定为800或1000或1200.若两超市的月需求总量超过企业的月生产量，则企业每月按月生产量供货，若两超市的月需求总量不超过企业的月生产量，则企业每月按月需求总量供货.为保障食品安全，若有多余罐头企业每月自行销毁，损失自负.请你确定的值，使该企业的生产方案最佳，即企业每月生产此罐头的利润的数学期望最大，并说明理由.

20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，.

（1）证明：；

（2）求当面与面所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥的体积.

21. 已知平面内两点，动点P满足：.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.

22. 已知．其中，为自然对数的底数．

（1）设曲线在点处的切线为l，若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，求实数a的值．

（2）若，当时，恒成立时，求a的最大值．