初中数学中考复习 考点21 定义、命题、定理-中考数学考点一遍过

考点21  定义、命题、定理

一、定义与命题

1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．

2．判断一件事情的语句叫做命题．

3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．

4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．

二、真命题、假命题

1．正确的命题叫做真命题．

2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．

3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

三、逆命题

1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．

2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．

3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．

4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．

四、公理与定理

1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．

2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．

3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．

4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．

五、互逆命题

1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．

3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．

六、反证法

1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．

2．反证法的步骤：学+科网

①假设命题结论的反面正确；

②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；

③说明假设不成立，从而得出原命题正确．

考向一　命题的改写

每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的．但有些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果……那么……”的形式给出的．区分这类命题的题设和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析．

典例1　命题“任意两个直角都相等”改写成“如果……那么……”的形式是__________．

【答案】如果两个角都是直角，那么这两个角相等

【解析】把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果……那么……”的形式是：
如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角都是直角，那么这两个角相等．

1．把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式为__________．

考向二　真命题、假命题

1．判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断．

2．辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．

典例2　下列命题是真命题的是

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．两条对角线相等的四边形是平行四边形

C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形

2．下列命题中，假命题的是

A．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半

B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．一组邻边相等的矩形是正方形

D．菱形对角线互相垂直平分

考向三　互逆命题与互逆定理

1．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．

2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

3．“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设．

典例3　下列命题中，逆命题为真命题的是

A．对顶角相等       B．若a=b，则|a|=|b|

C．同位角相等，两直线平行    D．若ac2<bc2，则a<b

【答案】C

【解析】A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行，真命题；D、若ac2<bc2，则a<b的逆命题是若a<b，则ac2<bc2，假命题；故选C．

3． “内错角相等，两直线平行”的逆命题是__________．

4．有下列命题：

①若x2=x，则x=1；

②若a2=b2，则a=b；

③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

④相等的弧所对的圆周角相等；

其中原命题与逆命题都是真命题的个数是

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

考向四　反证法

①当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法．

②矛盾的类型：

a．与已知定义、定理、公理相矛盾；

b．与已知条件相矛盾；

c．推出自相矛盾的结果．

③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏；利用反证法证明时，每一

步都要有依据，直到推出矛盾．

典例4　利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设

A．直角三角形的每个锐角都小于45°

B．直角三角形有一个锐角大于45°

C．直角三角形的每个锐角都大于45°

D．直角三角形有一个锐角小于45°

【答案】A

【解析】有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，故选A．

5．用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是

A．假设CD∥EF       B．假设AB∥EF

C．假设CD和EF不平行     D．假设AB和EF不平行

1．下列语句是命题的是

A．画两条相等的线段

B．等于同一个角的两个角相等吗？

C．延长线段AO到C，使OC=OA

D．两直线平行，内错角相等．

2．下列命题是假命题的是

A．不在同一直线上的三点确定一个圆

B．角平分线上的点到角两边的距离相等

C．正六边形的内角和是720°

D．角的边越大，角就越大

3．下列命题的逆命题是真命题的是

A．全等三角形的周长相等     B．对顶角相等

C．等边三角形的三个角都是60°    D．全等三角形的对应角相等

4．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

5．对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是

A．a=3，b=2        B．a=3，b=–2    

C．a=–3，b=–2       D．a=–2，b=–3

6．命题“对顶角相等”的条件是__________，结论是__________．

7．请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：__________．

8．用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”，应假设__________．

9．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+=0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是__________．学科-网

10．若命题“不是方程ax–2y=1的解”为假命题，则实数a满足：__________．

11．如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．

12．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？

（1）同旁内角互补，两直线平行．

（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等．

13．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：

A：①②⇒③；B：①③⇒②；C：②③⇒①．

（1）以上三个命题是真命题的为__________（直接作答）；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．

14．阅读以下证明过程：

已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．

证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．

请用类似的方法证明以下问题：

已知：关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-3=0有两个实根x1和x2．

求证：x1≠x2．

1．（2018·百色）给出下列5个命题：①两点之间直线最短；②同位角相等；③等角的补角相等；④不等式组的解集是-2<x<2；⑤对于函数y=-0.2x+11，y随x的增大而增大．其中真命题的个数是

A．2          B．3

C．4          D．5

2．（2018·重庆B卷）下列命题是真命题的是

A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0

B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1

C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0

D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0

3．（2018·广安）下列命题中：

①如果a>b，那么a2>b2；

②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等；

④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1．

其中真命题的个数是

A．1          B．2

C．3          D．4

4．（2018·贵港）下列命题中真命题是

A．=（）2一定成立

B．位似图形不可能全等

C．正多边形都是轴对称图形

D．圆锥的主视图一定是等边三角形

5．（2018·怀化）下列命题是真命题的是

A．两直线平行，同位角相等

B．相似三角形的面积比等于相似比

C．菱形的对角线相等

D．相等的两个角是对顶角

6．（2018·张家界）下列说法中，正确的是

A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

B．对角线相等的平行四边形是正方形

C．相等的角是对顶角

D．角平分线上的点到角两边的距离相等

7．（2018·眉山）下列命题为真命题的是

A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

B．相似三角形面积之比等于相似比

C．对角线互相垂直的四边形是菱形

D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形

8．（2018·无锡）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是__________．

1．【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余

【解析】把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．

2．【答案】A

【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，A是假命题；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，B是真命题；一组邻边相等的矩形是正方形，C是真命题；菱形对角线互相垂直平分，D是真命题；故选A．

3．【答案】两直线平行，内错角相等

【解析】“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．

5．【答案】C

【解析】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，

所以当用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”，故选C．

1．【答案】D

【解析】根据命题的定义：选项D“两直线平行，内错角相等”是能对事情判断的语句，故此选项正确；故选D．

2．【答案】D

【解析】A、不在同一直线上的三点确定一个圆，真命题；

B、角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题；

C、正六边形的内角和是720°，真命题；

D、角的边越大，角就越大是假命题，因为角的大小与边的长短无关．

故选D．

3．【答案】C

【解析】A、“全等三角形的周长相等”的逆命题为“周长相等的两个三角形全等”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；

B、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以B选项错误；

C、“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题为“三个角都是60°的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以C选项正确；

D、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，此逆命题为假命题，所以D选项错误．故选C．

4．【答案】B

【解析】①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．

②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项错误．

③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．

④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．

所以只有④一项正确．故选B．

5．【答案】C

【解析】当a=3，b=2时，a2>b2，而a>b成立，故A选项不符合题意；

当a=3，b=–2时，a2>b2，而a>b成立，故B选项不符合题意；

当a=–3，b=–2时，a2>b2，但a>b不成立，故C选项符合题意；

当a=–2，b=–3时，a2>b2不成立，故D选项不符合题意；故选C．

6．【答案】两个角是对顶角；这两个角相等

【解析】此命题可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”；结论是“这两个角相等”．

故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．

7．【答案】菱形的四条边相等

【解析】“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题为“菱形的四条边相等”．故答案为：菱形的四条边相等．

8．【答案】a2≤b2

【解析】用反证法证明“若，则”的第一步是假设，故答案为：．

9．【答案】当b=–，方程没有实数解

【解析】∵b=–时，Δ=（–）2–4×<0，∴方程没有实数解．∴当b=–，方程没有实数解可作为说明这个命题是假命题的一个反例．故答案为：当b=–，方程没有实数解．

11．【解析】已知：∠1=∠2，∠B=∠C；

求证：∠A=∠D．

证明：如图，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠3=∠2，

∴EC∥BF，∴∠AEC=∠B．

又∵∠B=∠C，∴∠AEC=∠C，∴AB∥CD，∴∠A=∠D．

12．【解析】（1）同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，逆命题不成立；

（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，逆命题不成立．

14．【解析】假设x1=x2，则[-（m+1）]2-4（2m-3）=0，

整理得：m2-6m+13=0，

而m2-6m+13=（m-3）2+4>0，与m2-6m+13=0矛盾，

故假设不成立，所以x1≠x2．

1．【答案】A

【解析】①两点之间线段最短，故①不正确；

②两直线平行，同位角相等，故②不正确；

③等角的补角相等，故③正确，是真命题；

④不等式组的解集是-2<x<2，故④正确，是真命题；

⑤对于函数y=-0.2x+11，y随x的增大而减小，故⑤不正确．

真命题有③④，共2个．故选A．

2．【答案】A

【解析】A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；

B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；

C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；

D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题，故选A．

3．【答案】A

【解析】①如果a>b，那么a2>b2，错误；

②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；

③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；

④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此选项错误．

故选A．

4．【答案】C

【解析】A、=（）2，当a<0时不成立，假命题；

B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；

C、正多边形都是轴对称图形，真命题；学科-网

D、圆锥的主视图不一定是等边三角形，假命题，故选C．

5．【答案】A

【解析】两直线平行，同位角相等，A是真命题；

相似三角形的面积比等于相似比的平方，B是假命题；

菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C是假命题；

相等的两个角不一定是对顶角，D是假命题，故选A．

6．【答案】D

【解析】A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；

B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；

C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；

D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意，故选D．

7．【答案】A

【解析】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，A是真命题；

相似三角形面积之比等于相似比的平方，B是假命题；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；

顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，D是假命题，故选A．

8．【答案】菱形的四条边相等

【解析】命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，

故答案为：菱形的四条边相等．