初中数学中考复习 考点27 菱形（解析版）

这是一份初中数学中考复习 考点27 菱形（解析版），共29页。

在中考中，菱形主要在选择题，填空题，解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查。
【中考考查重点】
菱形的性质及判定
二、菱形与折叠综合
考点：菱形性质及判定
一、菱形的概念和性质
概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.性质： 边：菱形的四条边都相等．
对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．
二、菱形的判定
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．
3. 四条边相等的四边形是菱形（边）
1.（2020春•澧县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A．3.5B．4C．7D．14
【答案】A
【解答】解：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝×28＝7，且O为BD的中点，
∵E为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝3.5，
故选：A．
2.（2019春•西湖区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝6．
C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．
故选：D．
3.（2021春•泗水县期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴CO＝AC＝6，BO＝BD＝8，AO⊥BO，
∴BC＝＝10，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96，
∵S菱形ABCD＝BC×AH，
∴BC×AH＝96，
∴AH＝＝
故选：B
4.（2019•安徽模拟）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF是菱形的是（ ）
A．AC⊥BDB．AC＝2BDC．AC平分∠BADD．AB＝BC
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OF＝＝，
∴四边形EBDF是平行四边形，
添加AC⊥BD时，
∵BO是△BEF的中线，
∴BE＝BF，
∴四边形EBFD是菱形，选项A正确；
添加AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACB，
∴AD＝AB＝BC，
在△ABE和△ADE中，，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∴四边形EBFD是菱形，选项C正确；
添加AB＝BC时，
∴∠BAE＝∠BCF，
在△BAE和△BCF中，，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴BE＝BF，
∴四边形EBFD是菱形，选项D正确；
只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形；
故选：B．
5.（2020春•南平期末）如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，下列判断中不正确的是（ ）
A．若AB＝BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
C．若AC平分∠BAD，则▱ABCD是菱形
D．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
【答案】D
【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断▱ABCD是菱形；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断▱ABCD是菱形；
C、由AC平分∠BAD，可得四边相等，即可判断▱ABCD是菱形；
D、由对角线相等的平行四边形是矩形，可判断▱ABCD是矩形．
故选：D．
6.（2020•兴庆区校级三模）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF，求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周长．
【答案】（1）略 （2）6．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△ADE和△CDF，
∵，
∴△ADE≌△CDF；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵菱形ABCD，DE⊥AB于点E，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，∠ADE＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
在Rt△AED中，∵AD＝4，∠A＝60°，
∴DE＝2，
∴△EDF的周长＝3DE＝6．
7.（2021春•平舆县期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AC＝8，BD＝6，求证：▱ABCD是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，BO＝3，
∵AB＝5，
∴AB2＝AO2+BO2．
∴△OAB是直角三角形．
∴AC⊥BD．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形．
8.（2020秋•会宁县期中）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，AB＝2，求菱形BCDE的面积．
【答案】（1） 略 （2）2．
【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，
∴AD＝2DE＝2AE，
∵AD＝2BC，
∴DE＝BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵∠ABD＝90°，E为AD中点，
∴在Rt△ABD中，AD＝2BE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE为菱形；
（2）解：过点BF⊥AD于点F，如图所示：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴AB＝BC＝BE＝DE＝AE＝2，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，∠BDA＝30°
∴在Rt△ABD中，BD＝AB＝2
∴在Rt△BDF中，BF＝BD＝，
∴菱形BCDE的面积＝DE×BF＝2．
1．（2019春•江岸区期中）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】A
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝8
故选：A．
2．（2019秋•莲湖区期末）菱形的对角线不一定具有的性质是（ ）
A．互相平分
B．互相垂直
C．每一条对角线平分一组对角
D．相等
【答案】D
【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；
故选：D．
3．（2019•长春模拟）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AC，AD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【解答】解：∵E，F分别是AC，AD的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴CD＝2EF＝4，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故选：C．
4．（2019春•滨海新区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AD、AB边上的中点，连接EF．若EF＝，OC＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．4C．6D．8
【答案】B
【解答】解：∵E、F分别是AD、AB边上的中点，
∴BD＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AO＝CO＝2
∴AC＝4
∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝4
故选：B．
5．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【答案】D
【解答】解：由作图得：BA＝BD，CA＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ACDB是菱形，
故选：D．
6.（2021春•长春期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件： 使平行四边形ABCD是菱形．
【答案】AB＝AD（答案不唯一）
【解答】解：添加一个条件为：AB＝AD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
7.（2021春•上城区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有 ．（只填写序号）
【答案】①③
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
8.（2021秋•长沙期末）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．
【答案】（1）略（2）120
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BC，AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO+AE＝CO+CF，
即EO＝FO，
∵BO＝DO，EO＝FO，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）解：∵四边形EBFD是菱形，BD＝10，EF＝24，
∴菱形EBFD的面积＝BD•EF＝×10×24＝120
9.（2020秋•龙泉驿区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；
（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．
【答案】（1）略 （2）略 （3）4+4
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA），
∴CF＝BD，且CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形．
（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，
∴四边形CDBF是菱形，
（3）如图，作EM⊥DB于点M，
在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2，
∴BM＝2
在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，
∴DM＝ME＝2，
∴BD＝2+2
∴△BDE面积＝×BD×ME＝×2×（2+2）＝4+4

1．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四条边相等B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
【答案】B
【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
2．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（，2）C．（3，）D．（2，）
【答案】D
【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），
∴BC＝AD＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C（1，0），D（2，），
故选：D．
3．（2021•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵tan∠ABD＝，
∴，
故选：D．
4．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；
当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；
当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；
当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，
故选：C．
5．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴，，
∴，
∴EG∥BC
∴，
同理可得HF∥AD，，
∴，
故选：A．
6．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（ ）
A．B．2C．+1D．2﹣1
【答案】C
【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB，垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°，
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠FDB，
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∵△DEF的周长是3，
∴DE＝，
设AH＝x，则HE＝2﹣x，
∵AD＝BD，DH⊥AB，
∴∠ADH＝∠ADB＝30°，
∴AD＝2x，DH＝x，
在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²，
∴（x）²+（2﹣x）²＝（）²，
解得：x＝（负值舍去），
∴AD＝2x＝1+，
故选：C．
7．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】AE＝AF
【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
即AF∥CE，
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE＝AF．
8．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．
【答案】（1） 略 （2）4
【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，
∴OE＝OF，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△OBF≌△ODE（AAS），
∴OB＝OD，
∵OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
（2）如图，∵AB•AD＝3，
∴S△ABD＝AB•AD＝，
∵ED＝2AE，
∴ED＝AD，
∴S△BDE：S△ABD＝2：3，
∴S△BDE＝，
∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，
∴EF•BD＝4．
1．（2022•大渡口区模拟）若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解答】解：∵菱形的周长为8，
∴边长＝2，
∴菱形的面积＝2×2＝4，
故选：B．
2．（2021•安徽二模）四边形ABCD中，AD∥BC，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形APCQ是菱形，则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP＝DQB．∠ABD＝∠ADBC．AB∥CDD．∠ABP＝∠BAP
【答案】D
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AP＝PC＝CQ＝AQ，AQ∥PC，AC⊥BD，
∴∠AQP＝∠CPQ，
∴∠AQD＝∠BPC，
∵AD∥BC，
∴∠ADQ＝∠CBP，
在△ADQ和△CBP中，
，
∴△ADQ≌△CBP（AAS），
∴AD＝BC，BP＝DQ，故选项A不合题意；
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，故选项C不合题意；
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，故选项B不合题意；
故选：D．
3．（2021•肇源县模拟）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为3cm，点B，D之间的距离为4cm，则线段AB的长为（ ）
A．2.5cmB．3cmC．3.5cmD．4cm
【答案】A
【解答】解：如图，过A作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，
由题意知，AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴AR＝AS．
∵AR•BC＝AS•CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．OA＝OC＝AC＝（cm），OB＝OD＝BD＝2（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（cm），
故选：A．
4．（2021•柳南区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
【答案】A
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，
∵PE⊥CD，AB∥CD，
∴PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，
∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，
故选：A．
5．（2021•海阳市一模）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB•OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故选：C．
6．（2022•郑州一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为 ．
【答案】（1）略 （2）2
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，
∴AB＝＝5，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2．
7．（2021•广东模拟）如图，点F，H是菱形ABCD的对角线BD上的两点，以FH为对角线作矩形EFGH，使点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上．
（1）求证：∠AEF＝∠CGH；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
【答案】（1）略 （2）8
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠DHE+∠EHF＝180°，∠BFG+∠GFH＝180°，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，
，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴∠AEF＝∠CGH；
（2）解：连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵△BGF≌△DEH，
∴BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵四边形EFGH是矩形，FH＝2，
∴EG＝FH＝2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长为AD+AB+DC+BC＝4AB＝4×2＝8．
8．（2021•昆明模拟）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC，若AB＝5，AC＝6，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1） 略 （2）24
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（ASA），
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝3，BO＝DO，
∵AB＝5，AO＝3，
∴BO＝，
∴BD＝2BO＝8，
∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24．
9．（2021•朝阳区一模）如图，BD是▱ABCD的对角线，且BD⊥BC，DE、BF分别是边AB、CD的中线．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若AB＝9，sinA＝，则点E、F之间的距离为 ．
【答案】（1）略 （2）3
【解答】（1）证明：∵DE、BF分别是△ABD、△BCD的中线，
∴BE＝AB，DF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∵BF是△BCD的中线，
∴BF＝CD＝DF，
∴平行四边形DEBF是菱形；
（2）解：连接EF交BD于O，如图所示：
由（1）得：四边形DEBF是菱形，
∴OE＝OF，OB＝OD，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝9，∠C＝∠A，
∴sinC＝sinA＝，
在Rt△BCD中，sinC＝＝，
∴BD＝CD＝×9＝6，
∴OB＝BD＝3，
由（1）得：BF＝CD＝，
∴OF＝＝＝，
∴EF＝2OF＝3，
故答案为：3．
10．（2021•沈阳模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F，连接OE
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△OBE的面积为 ．
【答案】（1） 略 （2）
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝1，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°＝∠AOB，
又∵∠OAB＝∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，
∴＝，
即＝，
解得：EA＝，
∴BE＝EA﹣AB＝﹣＝，
过O作OP⊥AE于P，
则OP＝＝＝，
∴△OBE的面积＝××＝，
故答案为：．