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初中数学中考复习 辽宁省抚顺市第十六中学2019年中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份初中数学中考复习 辽宁省抚顺市第十六中学2019年中考数学模拟试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了函数y＝的图象经过点，函数y＝ax﹣a与y＝等内容，欢迎下载使用。
2019年辽宁省抚顺市第十六中学中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
4．已知关于x方程x2﹣4x+m＝0，如果从1、2、3、4、5、6中任选一个数作为方程常数项m，那么所得方程有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
6．函数y＝的图象经过点（﹣，2），则函数y＝kx﹣2的图象不经过第几象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
8．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，根据图象信息，下列结论错误的是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4a﹣2b+c＞0 D．9a+3b+c＝0
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 ．
12．a、b、c都为常数，且+|b﹣1|＝0，关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个相等的实数根，k的值为 ．
13．如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD＝，则菱形ABCD的面积为 cm2．
14．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠D＝70°，∠B＝50°，那么sin∠AEB的值为 ．
15．如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD＝10，＝，则EC＝ ．
16．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的全面积为 ．（ π取3.14）
17．如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象交于点E，∠AOD＝30°，点E的纵坐标为1，△ODE的面积是，则k的值是 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝﹣在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则S△AOB＝ ．
三．解答题（共2小题，满分14分）
19．（8分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．
20．（6分）已知三角形ABC，AD为BC边中线，P为BC上一动点，过点P作AD的平行线，交直线AB或延长线于点Q，交CA或延长线于点R．
（1）当点P在BD上运动时，过点Q作BC的平行线交AD于E点，交AC于F点，求证：QE＝EF；
（2）当点P在BC上运动时，求证：PQ+PR为定值．
四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
21．（8分）海岛A的周围8 nmile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东67°，航行12nmlie到达C点，又测得小岛A在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：sin67°≈，cos67°，tan67°≈）
22．（8分）如图，已知直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为．
（1）求k的值；
（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；
（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．
五．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
23．（8分）如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，求证：OA是⊙D的切线．
六．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
24．（8分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
七．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
25．（8分）如图，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，OC交AB于点F，CD分别交AB、OB于点E、H．
求证：EF＝EH．
八．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
26．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年辽宁省抚顺市第十六中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
2．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：sinA＝＝＝，
∴tanA＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
3．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵sA2＞sB2，
∴数据B组的波动小一些．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．【分析】由判别式判断出m的范围，然后根据概率公式求解可得．
【解答】解：∵关于x方程x2﹣4x+m＝0有实数根，
∴△＝16﹣4m≥0，
解得：m≤4，
在从1、2、3、4、5、6中符合条件的有1、2、3、4这4个数，
∴所得方程有实数根的概率是＝，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及概率公式，掌握判别式的值与方程的根之间的关系及概率公式是解题的关键．
5．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．
【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，
故选：B．
【点评】考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
6．【分析】首先把点（﹣，2）代入y＝中可得k的值，然后再确定y＝kx﹣2的图象不经过第几象限．
【解答】解：∵函数y＝的图象经过点（﹣，2），
∴2＝，
解得：k＝﹣1，
∴函数y＝kx﹣2＝﹣x﹣2，
∴图象经过第二三四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，关键是掌握y＝kx+b中，
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
7．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝3AD＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．【分析】根据切线性质得AB⊥AP，再根据圆周角定理即可求出．
【解答】解：连接AC，
根据切线的性质定理得AB⊥AP，
∴∠AOP＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝55°；
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝35°．
故选：D．
【点评】熟练运用切线的性质定理和圆周角定理的推论．
9．【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．
【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
10．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，
对称轴x＝＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由对称轴可知：＝1，
∴2a+b＝0，故正确；
（C）当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故C错误；
（D）（﹣1，0）与（3，0）关于直线x＝1对称，
∴9a+3b+c＝0，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．【分析】由七张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵五张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，
∴现从中任意抽取一张，卡片上所写的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．【分析】由非负数的性质可求得a、b的值，再利用方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的方程，则可求得k的值．
【解答】解：
∵+|b﹣1|＝0，
∴a+4＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣4，b＝1，
∴关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0为kx2﹣4x+1＝0，
∵该方程有两个相等的实数根，
∴△＝0且k≠0，即（﹣4）2﹣4k＝0且k≠0，解得k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查根的判别式及非负数的性质，利用非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．
13．【分析】连接AC交BD于点O，则可设BO＝3x，AO＝4x，继而在Rt△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
则AC⊥BD，AO＝OC，BO＝DO，
∵tan∠ABD＝，
∴设BO＝3x，AO＝4x，
则AB＝5x，
又∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴4×5x＝20cm，
解得：x＝1，
故可得AO＝4，BO＝3，AC＝2AO＝8cm，BD＝2BO＝6cm，
故可得AC×BD＝24cm2．
故答案为：24．
【点评】此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，及菱形的面积等于对角线乘积的一半是解答本题的关键．
14．【分析】根据三角形的内角和是180°求得∠AEB的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值求解．
【解答】解：∵∠D＝70°，∠B＝50°，
∴∠A＝∠D＝70°，
∴∠AEB＝60°，
∴sin∠AEB＝．
故答案为：
【点评】考查了圆周角定理、三角形的内角和是180°，还要熟记特殊角的锐角三角函数值．
15．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出△BEO∽△DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE＝6，即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△BEO∽△DAO，
∴，
∵AD＝10，
∴BE＝6，
∴CE＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16．【分析】几何体是圆锥，根据扇形面积公式即可求得侧面积，底面是直径是2的圆，两者面积的和就是全面积．
【解答】解：这个几何体是圆锥．
圆锥的侧面积是：×2π×2＝2π；
底面积是：π，
则全面积是：2π+π＝3π≈9.42．
故答案为：9.42．
【点评】本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类题的关键是由三视图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
17．【分析】作EM⊥x轴于点M，由点E的纵坐标为1可得EM＝1．根据△ODE的面积是，求出OD＝．解直角△EMD，求出DM＝＝，那么OM＝OD+DM＝3，E（3，1）．再将E点坐标代入y＝，即可求出k的值．
【解答】解：如图，作EM⊥x轴于点M，则EM＝1．
∵△ODE的面积是，
∴OD•EM＝，
∴OD＝．
在直角△OAD中，∵∠A＝90°，∠AOD＝30°，
∴∠ADO＝60°，
∴∠EDM＝∠ADO＝60°．
在直角△EMD中，∵∠DME＝90°，∠EDM＝60°，
∴DM＝＝＝，
∴OM＝OD+DM＝3，
∴E（3，1）．
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点E，
∴k＝3×1＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识．求出E点坐标是解题的关键．
18．【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以求得△AOB的面积，本题得以解决．
【解答】解：设点A的坐标为（a，﹣），
∵反比例函数y＝﹣在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本替考查反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．
三．解答题（共2小题，满分14分）
19．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）根据平行线QF∥BC，可以推知△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC；然后根据相似三角形的对应边成比例可求得；再根据已知条件“AD为BC边中线”来证明QE＝EF；
（2）分类讨论：
①当点P与点B（或点C）重合时，AD为△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位线，PQ+PR＝2AD；
②当点P在BD上（不与点B重合）运动时，由（1）证明可知，AE为△RQF的中位线，PQ+PR＝2AD；
③当点P在CD上（不与点C重合）运动时，PQ+PR＝2AD．
【解答】（1）证明：∵QF∥BC，
∴△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC．（1分）
∴，
∵BD＝DC，
∴QE＝EF．（3分）
（2）解：当点P与点B（或点C）重合时，AD为△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位线，
∴PQ+PR＝2AD．
当点P在BD上（不与点B重合）运动时，由（1）证明可知，AE为△RQF的中位线，
∴RQ＝2AE．
∵QF∥BC，PQ∥AD，
∴四边形PQED为平行四边形．
∴PQ＝DE，
∴PQ+PR＝2DE+QR＝2DE+2AE＝2AD．（5分）
同理可证，当点P在CD上（不与点C重合）运动时，
PQ+PR＝2AD．
∴P在BC上运动时，PQ+PR为定值，
即PQ+PR＝2AD．（7分）
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质．要注意的是（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．
四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
21．【分析】作AD⊥BC，交BC的延长线于D，设AD为xnmile，根据正切的概念用x分别表示出BD、CD，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：作AD⊥BC，交BC的延长线于D，
设AD为xnmile，
由题意得，∠B＝90°﹣67°＝23°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
则CD＝AD•tan45°＝x，BD＝，
BD﹣CD＝BC，
由题意得，，
解得x＝，
∵8nmile＜nmile，
∴渔船没有触礁的危险．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
22．【分析】（1）把点A的横坐标为代入y＝x求出其纵坐标，然后把A点的坐标代入y＝求出k即可．
（2）根据纵坐标为3，求出横坐标，再求出过A，C两点的直线方程，然后根据△AOC的面积＝S△COD﹣S△AOD求解即可．
（3）设P点坐标（a， a），根据题意，分两种情形①点M只能在横坐标轴上，②M在y轴上时，分别即可求解．
【解答】解：（1）把点A的横坐标为代入y＝x，
∴其纵坐标为1，
把点（，1）代入y＝，解得：k＝．
（2）∵双曲线y＝上点C的纵坐标为3，
∴横坐标为，
∴过A，C两点的直线方程为：y＝kx+b，把点（，1），（，3），代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+4，设y＝﹣x+4与x轴交点为D，
则D点坐标为（，0），
∴△AOC的面积＝S△COD﹣S△AOD＝××3﹣××1＝．
（3）设P点坐标（a， a），由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60°，
∵以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，P在直线y＝x上，
当点M只能在x轴上时，
∴N点的横坐标为a，代入y＝，解得纵坐标为：，
根据OP＝NP，即得：||＝|﹣|，
解得：a＝±1．
故P点坐标为：（1，）或（﹣1，﹣）．
当点M在y轴上时，同法可得p（3，）或（﹣3，﹣）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及反比例函数图象上坐标的特征，难度较大，关键掌握用待定系数法解函数的解析式．
五．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
23．【分析】首先过点D作DF⊥OA于F，由点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，根据角平分线的性质，即可得DF＝DE，则可得D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，则可证得⊙D与OA相切．
【解答】证明：过点D作DF⊥OA于F，
∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF＝DE，
即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，
∴⊙D与OA相切．
【点评】此题考查了切线的判定与角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，注意掌握圆的切线的判定方法．
六．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
24．【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．
【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
七．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
25．【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠A＝∠B，根据旋转的性质，可得∠AOC＝∠BOD＝30°，OD＝OB＝OA，∠D＝∠B，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】证明：∵OA＝OB，∠AOB＝50°，
∴∠A＝∠B．
∵将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，OD＝OB＝OA，∠D＝∠B．
在△AOF和△DOH中，
，
∴△AOF≌△DOH（ASA），
∴OF＝OH，
∵OC＝OB，
∴FC＝BH．
在△FCE和△HBE中，
，
∴△FCE≌△HBE（AAS），
∴EF＝EH．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质得出∠AOC＝∠BOD＝30°，OD＝OB＝OA，∠D＝∠B是解题关键．
八．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
26．【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
2019年辽宁省抚顺市第十六中学中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
4．已知关于x方程x2﹣4x+m＝0，如果从1、2、3、4、5、6中任选一个数作为方程常数项m，那么所得方程有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
6．函数y＝的图象经过点（﹣，2），则函数y＝kx﹣2的图象不经过第几象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
8．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，根据图象信息，下列结论错误的是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4a﹣2b+c＞0 D．9a+3b+c＝0
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 ．
12．a、b、c都为常数，且+|b﹣1|＝0，关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个相等的实数根，k的值为 ．
13．如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD＝，则菱形ABCD的面积为 cm2．
14．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠D＝70°，∠B＝50°，那么sin∠AEB的值为 ．
15．如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD＝10，＝，则EC＝ ．
16．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的全面积为 ．（ π取3.14）
17．如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象交于点E，∠AOD＝30°，点E的纵坐标为1，△ODE的面积是，则k的值是 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝﹣在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则S△AOB＝ ．
三．解答题（共2小题，满分14分）
19．（8分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．
20．（6分）已知三角形ABC，AD为BC边中线，P为BC上一动点，过点P作AD的平行线，交直线AB或延长线于点Q，交CA或延长线于点R．
（1）当点P在BD上运动时，过点Q作BC的平行线交AD于E点，交AC于F点，求证：QE＝EF；
（2）当点P在BC上运动时，求证：PQ+PR为定值．
四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
21．（8分）海岛A的周围8 nmile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东67°，航行12nmlie到达C点，又测得小岛A在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：sin67°≈，cos67°，tan67°≈）
22．（8分）如图，已知直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为．
（1）求k的值；
（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；
（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．
五．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
23．（8分）如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，求证：OA是⊙D的切线．
六．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
24．（8分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
七．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
25．（8分）如图，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，OC交AB于点F，CD分别交AB、OB于点E、H．
求证：EF＝EH．
八．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
26．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年辽宁省抚顺市第十六中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
2．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：sinA＝＝＝，
∴tanA＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
3．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵sA2＞sB2，
∴数据B组的波动小一些．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．【分析】由判别式判断出m的范围，然后根据概率公式求解可得．
【解答】解：∵关于x方程x2﹣4x+m＝0有实数根，
∴△＝16﹣4m≥0，
解得：m≤4，
在从1、2、3、4、5、6中符合条件的有1、2、3、4这4个数，
∴所得方程有实数根的概率是＝，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及概率公式，掌握判别式的值与方程的根之间的关系及概率公式是解题的关键．
5．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．
【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，
故选：B．
【点评】考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
6．【分析】首先把点（﹣，2）代入y＝中可得k的值，然后再确定y＝kx﹣2的图象不经过第几象限．
【解答】解：∵函数y＝的图象经过点（﹣，2），
∴2＝，
解得：k＝﹣1，
∴函数y＝kx﹣2＝﹣x﹣2，
∴图象经过第二三四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，关键是掌握y＝kx+b中，
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
7．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝3AD＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．【分析】根据切线性质得AB⊥AP，再根据圆周角定理即可求出．
【解答】解：连接AC，
根据切线的性质定理得AB⊥AP，
∴∠AOP＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝55°；
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝35°．
故选：D．
【点评】熟练运用切线的性质定理和圆周角定理的推论．
9．【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．
【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
10．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，
对称轴x＝＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由对称轴可知：＝1，
∴2a+b＝0，故正确；
（C）当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故C错误；
（D）（﹣1，0）与（3，0）关于直线x＝1对称，
∴9a+3b+c＝0，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．【分析】由七张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵五张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，
∴现从中任意抽取一张，卡片上所写的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．【分析】由非负数的性质可求得a、b的值，再利用方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的方程，则可求得k的值．
【解答】解：
∵+|b﹣1|＝0，
∴a+4＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣4，b＝1，
∴关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0为kx2﹣4x+1＝0，
∵该方程有两个相等的实数根，
∴△＝0且k≠0，即（﹣4）2﹣4k＝0且k≠0，解得k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查根的判别式及非负数的性质，利用非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．
13．【分析】连接AC交BD于点O，则可设BO＝3x，AO＝4x，继而在Rt△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
则AC⊥BD，AO＝OC，BO＝DO，
∵tan∠ABD＝，
∴设BO＝3x，AO＝4x，
则AB＝5x，
又∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴4×5x＝20cm，
解得：x＝1，
故可得AO＝4，BO＝3，AC＝2AO＝8cm，BD＝2BO＝6cm，
故可得AC×BD＝24cm2．
故答案为：24．
【点评】此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，及菱形的面积等于对角线乘积的一半是解答本题的关键．
14．【分析】根据三角形的内角和是180°求得∠AEB的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值求解．
【解答】解：∵∠D＝70°，∠B＝50°，
∴∠A＝∠D＝70°，
∴∠AEB＝60°，
∴sin∠AEB＝．
故答案为：
【点评】考查了圆周角定理、三角形的内角和是180°，还要熟记特殊角的锐角三角函数值．
15．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出△BEO∽△DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE＝6，即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△BEO∽△DAO，
∴，
∵AD＝10，
∴BE＝6，
∴CE＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16．【分析】几何体是圆锥，根据扇形面积公式即可求得侧面积，底面是直径是2的圆，两者面积的和就是全面积．
【解答】解：这个几何体是圆锥．
圆锥的侧面积是：×2π×2＝2π；
底面积是：π，
则全面积是：2π+π＝3π≈9.42．
故答案为：9.42．
【点评】本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类题的关键是由三视图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
17．【分析】作EM⊥x轴于点M，由点E的纵坐标为1可得EM＝1．根据△ODE的面积是，求出OD＝．解直角△EMD，求出DM＝＝，那么OM＝OD+DM＝3，E（3，1）．再将E点坐标代入y＝，即可求出k的值．
【解答】解：如图，作EM⊥x轴于点M，则EM＝1．
∵△ODE的面积是，
∴OD•EM＝，
∴OD＝．
在直角△OAD中，∵∠A＝90°，∠AOD＝30°，
∴∠ADO＝60°，
∴∠EDM＝∠ADO＝60°．
在直角△EMD中，∵∠DME＝90°，∠EDM＝60°，
∴DM＝＝＝，
∴OM＝OD+DM＝3，
∴E（3，1）．
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点E，
∴k＝3×1＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识．求出E点坐标是解题的关键．
18．【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以求得△AOB的面积，本题得以解决．
【解答】解：设点A的坐标为（a，﹣），
∵反比例函数y＝﹣在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本替考查反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．
三．解答题（共2小题，满分14分）
19．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）根据平行线QF∥BC，可以推知△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC；然后根据相似三角形的对应边成比例可求得；再根据已知条件“AD为BC边中线”来证明QE＝EF；
（2）分类讨论：
①当点P与点B（或点C）重合时，AD为△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位线，PQ+PR＝2AD；
②当点P在BD上（不与点B重合）运动时，由（1）证明可知，AE为△RQF的中位线，PQ+PR＝2AD；
③当点P在CD上（不与点C重合）运动时，PQ+PR＝2AD．
【解答】（1）证明：∵QF∥BC，
∴△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC．（1分）
∴，
∵BD＝DC，
∴QE＝EF．（3分）
（2）解：当点P与点B（或点C）重合时，AD为△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位线，
∴PQ+PR＝2AD．
当点P在BD上（不与点B重合）运动时，由（1）证明可知，AE为△RQF的中位线，
∴RQ＝2AE．
∵QF∥BC，PQ∥AD，
∴四边形PQED为平行四边形．
∴PQ＝DE，
∴PQ+PR＝2DE+QR＝2DE+2AE＝2AD．（5分）
同理可证，当点P在CD上（不与点C重合）运动时，
PQ+PR＝2AD．
∴P在BC上运动时，PQ+PR为定值，
即PQ+PR＝2AD．（7分）
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质．要注意的是（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．
四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
21．【分析】作AD⊥BC，交BC的延长线于D，设AD为xnmile，根据正切的概念用x分别表示出BD、CD，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：作AD⊥BC，交BC的延长线于D，
设AD为xnmile，
由题意得，∠B＝90°﹣67°＝23°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
则CD＝AD•tan45°＝x，BD＝，
BD﹣CD＝BC，
由题意得，，
解得x＝，
∵8nmile＜nmile，
∴渔船没有触礁的危险．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
22．【分析】（1）把点A的横坐标为代入y＝x求出其纵坐标，然后把A点的坐标代入y＝求出k即可．
（2）根据纵坐标为3，求出横坐标，再求出过A，C两点的直线方程，然后根据△AOC的面积＝S△COD﹣S△AOD求解即可．
（3）设P点坐标（a， a），根据题意，分两种情形①点M只能在横坐标轴上，②M在y轴上时，分别即可求解．
【解答】解：（1）把点A的横坐标为代入y＝x，
∴其纵坐标为1，
把点（，1）代入y＝，解得：k＝．
（2）∵双曲线y＝上点C的纵坐标为3，
∴横坐标为，
∴过A，C两点的直线方程为：y＝kx+b，把点（，1），（，3），代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+4，设y＝﹣x+4与x轴交点为D，
则D点坐标为（，0），
∴△AOC的面积＝S△COD﹣S△AOD＝××3﹣××1＝．
（3）设P点坐标（a， a），由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60°，
∵以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，P在直线y＝x上，
当点M只能在x轴上时，
∴N点的横坐标为a，代入y＝，解得纵坐标为：，
根据OP＝NP，即得：||＝|﹣|，
解得：a＝±1．
故P点坐标为：（1，）或（﹣1，﹣）．
当点M在y轴上时，同法可得p（3，）或（﹣3，﹣）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及反比例函数图象上坐标的特征，难度较大，关键掌握用待定系数法解函数的解析式．
五．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
23．【分析】首先过点D作DF⊥OA于F，由点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，根据角平分线的性质，即可得DF＝DE，则可得D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，则可证得⊙D与OA相切．
【解答】证明：过点D作DF⊥OA于F，
∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF＝DE，
即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，
∴⊙D与OA相切．
【点评】此题考查了切线的判定与角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，注意掌握圆的切线的判定方法．
六．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
24．【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．
【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
七．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
25．【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠A＝∠B，根据旋转的性质，可得∠AOC＝∠BOD＝30°，OD＝OB＝OA，∠D＝∠B，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】证明：∵OA＝OB，∠AOB＝50°，
∴∠A＝∠B．
∵将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，OD＝OB＝OA，∠D＝∠B．
在△AOF和△DOH中，
，
∴△AOF≌△DOH（ASA），
∴OF＝OH，
∵OC＝OB，
∴FC＝BH．
在△FCE和△HBE中，
，
∴△FCE≌△HBE（AAS），
∴EF＝EH．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质得出∠AOC＝∠BOD＝30°，OD＝OB＝OA，∠D＝∠B是解题关键．
八．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
26．【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
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