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初中数学中考复习 题型02 规律探索类试题（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 题型02 规律探索类试题（解析版），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
备战2020年中考数学十大题型专练卷
题型02 规律探索类试题
一、单选题
1．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是-1．
【详解】解：点运动一个用时为秒．
如图，作于D，与交于点E．
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
2．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】，，，，，，…，
，
所以的坐标为，
则的坐标是，
故选C．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
3．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.
【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋…＋250a
＝a＋(2＋22＋…＋250)a，
∵，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋(2＋22＋…＋250)a
＝a＋(251－2)a
＝a＋(2 a－2)a
＝2a2－a ，
故选C.
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．
【详解】解：原式＝
=
= ．
故选B．
【点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
5．已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（ ）
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5
【答案】A
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，依次循环，且，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，，……
∴这个数列以-2，，依次循环，且，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
6．如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的面积公式，即可推出操作次数与余下面积的关系式.
【详解】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积，
第二次：余下面积，
第三次：余下面积，
当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查数字问题，熟练掌握计算法则是解题关键.
7．如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A． B． C．） D．
【答案】D
【分析】先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．
【详解】解：，，
，
四边形ABCD为正方形，
，
，
，
每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，
点D的坐标为．
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.
则展开式中所有项的系数和是( )
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】C
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和，各项系数和是2n;
【详解】观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：各项系数和是2n;
所以，展开式中所有项的系数和是29=512.
故选：C
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
二、填空题
9．有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是_____，这2019个数的和是_____．
【答案】0 2
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决
【详解】．
解：由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
前6个数的和是：，
，
这2019个数的和是：，
故答案为：0，2．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．
10．观察下列一组数：
，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第个数__________（用含的式子表示）
【答案】
【分析】首先观察分母的变化规律，在观察分子的规律，写成比例式化简即可.
【详解】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，
∴；
故答案为；
【点睛】本题主要考查数的规律，这列题目是热点考题，应当熟练掌握.
11．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______.(n为正整数)
【答案】.
【分析】根据题意写出前四项的数据，第1个数为，第2个数为，第3个数为，第4个数为，进行观察，据此规律判断即可．
【详解】第1个数为，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
…，
所以这列数中的第n个数是.
故答案为.
【点睛】此题考查数列中的规律，解题关键在于观察找出规律
12．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为_____．
【答案】
【分析】根据题意得到的横坐标为，即可得到点的横坐标.
【详解】解：由题意可得，
，，，，，，…，
可得的横坐标为
，
点的横坐标为：，
故答案为．
【点睛】本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，得到的横坐标为.
13．如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．
如图，当时，；
如图，当时，；
如图，当时，；
……
依此类推，当（为正整数）时，_____．
【答案】
【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案.
【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．
∴.
故答案为．
【点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律.
14．观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题
的关键．
15．有一列数，按一定规律排列成其中某三个相邻数的积是，则这三个数的和是_____．
【答案】-384
【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
【详解】一列数为
这列数的第个数可以表示为，
其中某三个相邻数的积是，
设这三个相邻的数为
则
即
解得，，
这三个数的和是： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
16．如图，直线分别交轴、轴于点和点，过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点，依此规律…，若图中阴影的面积为，阴影的面积为，阴影的面积为，则_______．
【答案】
【分析】由直线可求出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标，进而得到，的长，也可求出的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有角的直角三角形，然后这个求出、、、、……根据规律得出．
【详解】解：直线，当时，；当时，
，
又，
，
在中，，
；
同理可求出：，，
；
依次可求出：；；……
因此：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同学们对规律的归纳总结，关键在于根据简单的图形寻找规律.
17．如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形.
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形，其中顶点位于轴上，顶点，位于轴上，为坐标原点，则的值为____.
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点，摆放第三个“7”字图形得顶点，依此类推，…，摆放第个“7”字图形得顶点，…，则顶点的坐标为_____.
【答案】（1）； （2）
【分析】（1）根据题意可得，，由同角的余角相等得，根据相似三角形判定得，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得，，，，，在Rt△DCB中，由勾股定理求得
，由（1）知，从而可得，，，结合题意易得：，根据相似三角形性质可得，，，，，从而可得，，观察这两点坐标知由点到点横坐标增加了，纵坐标增加了，依此可得出规律：的坐标为：，将n=2019代入即可求得答案.
【详解】（1）依题可得，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）根据题意标好字母，如图，
依题可得：
，，，
∴，
由（1）知，
∴，，
易得：
，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴由点到点横坐标增加了，纵坐标增加了，
……
∴的坐标为：，
∴的坐标为：，
故答案为，.
【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，设第秒运动到点为正整数），则点的坐标是_____．
【答案】
【分析】如图，作A1H⊥x轴，根据等边三角形的性质以及三角函数的知识可求出，，同理可得，，，，，由此发现点的坐标变化的规律即可求得结果.
【详解】如图，作A1H⊥x轴，
∵△OA1A2是等边三角形，
∴∠A1OH=60°，OH=OA2=，
∴A1H=A1O•sin60°=1×=，
∴，，
同理可得，
，
，
，
，
由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每个点依次为：这样循环，
2019÷6=336…3，
故答案为.
【点睛】本题考查了规律题，涉及了等边三角形的性质，解直角三角形的应用，通过推导得出点的坐标的变化规律是解题的关键.
19．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为_______．
【答案】3n+2.
【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．
【详解】解：由图可得，
图①中棋子的个数为：3+2=5，
图②中棋子的个数为：5+3=8，
图③中棋子的个数为：7+4=11，
……
则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）=3n+2，
故答案为：3n+2．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．
20．将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵
则第20行第19个数是_____________________
【答案】625
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
【详解】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628，
∴第20行第19个数是：628-3=625，
故答案为：625．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n-1）．
21．如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到……记、、的面积分别为、、，如此下去，则_____．
【答案】
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【详解】四边形是正方形，
，
，
，
∴，
，
，
同理可求：，…，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，规律型：图形变换，解题关键在于找到规律
22．如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，，，，，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中与轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，…，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为_____．（为正整数）
【答案】
【分析】连，，，、、与轴分别交于、、，在中，，，由勾股定理得出，同理：，，……，得出的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，得出规律，即可得出结果．
【详解】连接，，，、、与轴分别交于、、，如图所示：
在中，，
∴，
同理：，，……，
∴的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，
…按照此规律可得点的坐标是，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．
23．如图，点在直线上，点的横坐标为，过作，交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形延长交轴于点；按照这个规律进行下去，点的横坐标为_____（结果用含正整数的代数式表示）
【答案】
【分析】过点分别作轴，轴，轴，
轴，轴，……垂足分别为,根据题意求出，得到图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是可以求出点的横坐标为：，再依次求出……即可求解.
【详解】解：过点分别作轴，轴，轴，
轴，轴，……垂足分别为
点在直线上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
即：
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是
点的横坐标为：，
点的横坐标为：
点C3的横坐标为：
点的横坐标为：
点的横坐标为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是规律，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
24．数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为_______（，是整数）．
【答案】
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×4，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×4=，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．
【详解】由于OA=4，
所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=×4=2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4=，
故线段AnA的长度为4-（n≥3，n是整数）．
故答案为4-．
【点睛】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
25．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C的坐标可表示为_______．
【答案】
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【详解】解：根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，所以点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC上从左到右一次取点D1、D2、D3、D4…；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB与点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）=______．
【答案】40380.
【分析】由D1E1∥AB ，D1F1∥AC，可得△CD1E1∽△CBA，△BD1F1∽△BCA，根据相似三角形的对应边成比例结合AB=5，AC=4，可得，，再根据CD1+BD1=BC，可求得4D1E1+5D1F1=20，同理可得4D2E2+5D2F2=20，4D3E3+5D3F3=20，…，4D2019E2019+5D2019F2019=20，继而可求得答案.
【详解】∵D1E1∥AB ，D1F1∥AC，
∴△CD1E1∽△CBA，△BD1F1∽△BCA，
∴， ，
∵AB=5，AC=4，
∴，，
又∵CD1+BD1=BC，
∴，
∴4D1E1+5D1F1=20，
同理：4D2E2+5D2F2=20，4D3E3+5D3F3=20，…，4D2019E2019+5D2019F2019=20，
∴4(D1E1+D2E2+…+D2019E2019)+5(D1F1+D2F2+…+D2019F2019)=2019×20=40380，
故答案为：40380.
【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，相似三角形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和运用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
27．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，点，，，，…在直线上，点，，，,…在轴正半轴上，则前个正方形对角线的和是_____.
【答案】
【分析】根据题意可得,,, ,进而计算每个正方形的对角线,再求和即可.
【详解】解：根据根据题意可得,,,
所以可得正方形的对角线为
正方形的对角线为
正方形的对角线为
正方形的对角线为
正方形的对角线为
所以前个正方形对角线的和为
=
故答案为.
【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据前面的简单的规律，总结出后面的规律.
28．如图，点、、…在反比例函数的图象上，点、、……在反比例函数的图象上，，且，则（为正整数）的纵坐标为______．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】先证明是等边三角形，求出的坐标，作高线，再证明是等边三角形，作高线，设，根据，解方程可得等边三角形的边长和的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点、、…在轴的上方，纵坐标为正数，点、、……在轴的下方，纵坐标为负数，可以利用来解决这个问题．
【详解】过作轴于，
∵，，
是等边三角形，
，
，
和，
过作轴于，
∵，
是等边三角形，
设，则，
中，，
，
∵，
解得：（舍），，
，
，
即的纵坐标为；
过作轴于，
同理得：是等边三角形，
设，则，
中，，
，
∵，
解得：（舍），；
，
，
即的纵坐标为；
…
（为正整数）的纵坐标为：；
故答案为：；
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．
29．如图，有一条折线，它是由过，，组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线与此折线有（且为整数）个交点，则的值为_____．
【答案】
【分析】观察可得，由直线与此折线恰有（且为整数）个交点，得点在直线上，故.
【详解】∵，，，，…，
∴．
∵直线与此折线恰有（且为整数）个交点，
∴点在直线上，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】考核知识点：一次函数图象和点的坐标规律.数形结合分析问题，寻找规律是关键.
三、解答题
30．（阅读）：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
（理解）：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________；
（运用）：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以．
①当，时，如图， ；当， 时，；
②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得 （用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
【答案】（1）见解析，故结论为：直角长分别为、斜边为的直角三角形中；（2）；（3）①6，3；②，见解析.
【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
（2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，每层棋子分别为，，，，…，．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论．
【详解】（1）有三个其面积分别为，和．
直角梯形的面积为．
由图形可知：
整理得，，
．
故结论为：直角长分别为、斜边为的直角三角形中．
（2）行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，每层棋子分别为，，，，…，．
由图形可知：．
故答案为：．
（3）①如图，当，时，，
如图，当，时，．
②方法1．对于一般的情形，在边形内画个点，第一个点将多边形分成了个三角形，以后三角形
内部每增加一个点，分割部分增加部分，故可得．
方法2．以的二个顶点和它内部的个点，共（）个点为顶点，可把分割成个互不重叠的小三角形．以四边形的个顶点和它内部的个点，共（）个点为顶点，可把四边形分割成个互不重叠的小三角形．故以边形的个顶点和它内部的个点，共（）个点作为顶点，可把原n边形分割成个互不重叠的小三角形．故可得．
故答案为：①，；②．
【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
备战2020年中考数学十大题型专练卷
题型02 规律探索类试题
一、单选题
1．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是-1．
【详解】解：点运动一个用时为秒．
如图，作于D，与交于点E．
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
2．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】，，，，，，…，
，
所以的坐标为，
则的坐标是，
故选C．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
3．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.
【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋…＋250a
＝a＋(2＋22＋…＋250)a，
∵，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋(2＋22＋…＋250)a
＝a＋(251－2)a
＝a＋(2 a－2)a
＝2a2－a ，
故选C.
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．
【详解】解：原式＝
=
= ．
故选B．
【点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
5．已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（ ）
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5
【答案】A
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，依次循环，且，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，，……
∴这个数列以-2，，依次循环，且，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
6．如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的面积公式，即可推出操作次数与余下面积的关系式.
【详解】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积，
第二次：余下面积，
第三次：余下面积，
当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查数字问题，熟练掌握计算法则是解题关键.
7．如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A． B． C．） D．
【答案】D
【分析】先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．
【详解】解：，，
，
四边形ABCD为正方形，
，
，
，
每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，
点D的坐标为．
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.
则展开式中所有项的系数和是( )
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】C
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和，各项系数和是2n;
【详解】观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：各项系数和是2n;
所以，展开式中所有项的系数和是29=512.
故选：C
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
二、填空题
9．有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是_____，这2019个数的和是_____．
【答案】0 2
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决
【详解】．
解：由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
前6个数的和是：，
，
这2019个数的和是：，
故答案为：0，2．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．
10．观察下列一组数：
，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第个数__________（用含的式子表示）
【答案】
【分析】首先观察分母的变化规律，在观察分子的规律，写成比例式化简即可.
【详解】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，
∴；
故答案为；
【点睛】本题主要考查数的规律，这列题目是热点考题，应当熟练掌握.
11．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______.(n为正整数)
【答案】.
【分析】根据题意写出前四项的数据，第1个数为，第2个数为，第3个数为，第4个数为，进行观察，据此规律判断即可．
【详解】第1个数为，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
…，
所以这列数中的第n个数是.
故答案为.
【点睛】此题考查数列中的规律，解题关键在于观察找出规律
12．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为_____．
【答案】
【分析】根据题意得到的横坐标为，即可得到点的横坐标.
【详解】解：由题意可得，
，，，，，，…，
可得的横坐标为
，
点的横坐标为：，
故答案为．
【点睛】本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，得到的横坐标为.
13．如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．
如图，当时，；
如图，当时，；
如图，当时，；
……
依此类推，当（为正整数）时，_____．
【答案】
【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案.
【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．
∴.
故答案为．
【点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律.
14．观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题
的关键．
15．有一列数，按一定规律排列成其中某三个相邻数的积是，则这三个数的和是_____．
【答案】-384
【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
【详解】一列数为
这列数的第个数可以表示为，
其中某三个相邻数的积是，
设这三个相邻的数为
则
即
解得，，
这三个数的和是： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
16．如图，直线分别交轴、轴于点和点，过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点，依此规律…，若图中阴影的面积为，阴影的面积为，阴影的面积为，则_______．
【答案】
【分析】由直线可求出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标，进而得到，的长，也可求出的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有角的直角三角形，然后这个求出、、、、……根据规律得出．
【详解】解：直线，当时，；当时，
，
又，
，
在中，，
；
同理可求出：，，
；
依次可求出：；；……
因此：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同学们对规律的归纳总结，关键在于根据简单的图形寻找规律.
17．如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形.
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形，其中顶点位于轴上，顶点，位于轴上，为坐标原点，则的值为____.
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点，摆放第三个“7”字图形得顶点，依此类推，…，摆放第个“7”字图形得顶点，…，则顶点的坐标为_____.
【答案】（1）； （2）
【分析】（1）根据题意可得，，由同角的余角相等得，根据相似三角形判定得，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得，，，，，在Rt△DCB中，由勾股定理求得
，由（1）知，从而可得，，，结合题意易得：，根据相似三角形性质可得，，，，，从而可得，，观察这两点坐标知由点到点横坐标增加了，纵坐标增加了，依此可得出规律：的坐标为：，将n=2019代入即可求得答案.
【详解】（1）依题可得，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）根据题意标好字母，如图，
依题可得：
，，，
∴，
由（1）知，
∴，，
易得：
，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴由点到点横坐标增加了，纵坐标增加了，
……
∴的坐标为：，
∴的坐标为：，
故答案为，.
【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，设第秒运动到点为正整数），则点的坐标是_____．
【答案】
【分析】如图，作A1H⊥x轴，根据等边三角形的性质以及三角函数的知识可求出，，同理可得，，，，，由此发现点的坐标变化的规律即可求得结果.
【详解】如图，作A1H⊥x轴，
∵△OA1A2是等边三角形，
∴∠A1OH=60°，OH=OA2=，
∴A1H=A1O•sin60°=1×=，
∴，，
同理可得，
，
，
，
，
由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每个点依次为：这样循环，
2019÷6=336…3，
故答案为.
【点睛】本题考查了规律题，涉及了等边三角形的性质，解直角三角形的应用，通过推导得出点的坐标的变化规律是解题的关键.
19．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为_______．
【答案】3n+2.
【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．
【详解】解：由图可得，
图①中棋子的个数为：3+2=5，
图②中棋子的个数为：5+3=8，
图③中棋子的个数为：7+4=11，
……
则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）=3n+2，
故答案为：3n+2．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．
20．将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵
则第20行第19个数是_____________________
【答案】625
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
【详解】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628，
∴第20行第19个数是：628-3=625，
故答案为：625．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n-1）．
21．如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到……记、、的面积分别为、、，如此下去，则_____．
【答案】
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【详解】四边形是正方形，
，
，
，
∴，
，
，
同理可求：，…，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，规律型：图形变换，解题关键在于找到规律
22．如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，，，，，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中与轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，…，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为_____．（为正整数）
【答案】
【分析】连，，，、、与轴分别交于、、，在中，，，由勾股定理得出，同理：，，……，得出的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，得出规律，即可得出结果．
【详解】连接，，，、、与轴分别交于、、，如图所示：
在中，，
∴，
同理：，，……，
∴的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，
…按照此规律可得点的坐标是，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．
23．如图，点在直线上，点的横坐标为，过作，交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形延长交轴于点；按照这个规律进行下去，点的横坐标为_____（结果用含正整数的代数式表示）
【答案】
【分析】过点分别作轴，轴，轴，
轴，轴，……垂足分别为,根据题意求出，得到图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是可以求出点的横坐标为：，再依次求出……即可求解.
【详解】解：过点分别作轴，轴，轴，
轴，轴，……垂足分别为
点在直线上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
即：
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是
点的横坐标为：，
点的横坐标为：
点C3的横坐标为：
点的横坐标为：
点的横坐标为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是规律，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
24．数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为_______（，是整数）．
【答案】
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×4，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×4=，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．
【详解】由于OA=4，
所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=×4=2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4=，
故线段AnA的长度为4-（n≥3，n是整数）．
故答案为4-．
【点睛】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
25．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C的坐标可表示为_______．
【答案】
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【详解】解：根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，所以点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC上从左到右一次取点D1、D2、D3、D4…；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB与点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）=______．
【答案】40380.
【分析】由D1E1∥AB ，D1F1∥AC，可得△CD1E1∽△CBA，△BD1F1∽△BCA，根据相似三角形的对应边成比例结合AB=5，AC=4，可得，，再根据CD1+BD1=BC，可求得4D1E1+5D1F1=20，同理可得4D2E2+5D2F2=20，4D3E3+5D3F3=20，…，4D2019E2019+5D2019F2019=20，继而可求得答案.
【详解】∵D1E1∥AB ，D1F1∥AC，
∴△CD1E1∽△CBA，△BD1F1∽△BCA，
∴， ，
∵AB=5，AC=4，
∴，，
又∵CD1+BD1=BC，
∴，
∴4D1E1+5D1F1=20，
同理：4D2E2+5D2F2=20，4D3E3+5D3F3=20，…，4D2019E2019+5D2019F2019=20，
∴4(D1E1+D2E2+…+D2019E2019)+5(D1F1+D2F2+…+D2019F2019)=2019×20=40380，
故答案为：40380.
【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，相似三角形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和运用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
27．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，点，，，，…在直线上，点，，，,…在轴正半轴上，则前个正方形对角线的和是_____.
【答案】
【分析】根据题意可得,,, ,进而计算每个正方形的对角线,再求和即可.
【详解】解：根据根据题意可得,,,
所以可得正方形的对角线为
正方形的对角线为
正方形的对角线为
正方形的对角线为
正方形的对角线为
所以前个正方形对角线的和为
=
故答案为.
【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据前面的简单的规律，总结出后面的规律.
28．如图，点、、…在反比例函数的图象上，点、、……在反比例函数的图象上，，且，则（为正整数）的纵坐标为______．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】先证明是等边三角形，求出的坐标，作高线，再证明是等边三角形，作高线，设，根据，解方程可得等边三角形的边长和的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点、、…在轴的上方，纵坐标为正数，点、、……在轴的下方，纵坐标为负数，可以利用来解决这个问题．
【详解】过作轴于，
∵，，
是等边三角形，
，
，
和，
过作轴于，
∵，
是等边三角形，
设，则，
中，，
，
∵，
解得：（舍），，
，
，
即的纵坐标为；
过作轴于，
同理得：是等边三角形，
设，则，
中，，
，
∵，
解得：（舍），；
，
，
即的纵坐标为；
…
（为正整数）的纵坐标为：；
故答案为：；
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．
29．如图，有一条折线，它是由过，，组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线与此折线有（且为整数）个交点，则的值为_____．
【答案】
【分析】观察可得，由直线与此折线恰有（且为整数）个交点，得点在直线上，故.
【详解】∵，，，，…，
∴．
∵直线与此折线恰有（且为整数）个交点，
∴点在直线上，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】考核知识点：一次函数图象和点的坐标规律.数形结合分析问题，寻找规律是关键.
三、解答题
30．（阅读）：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
（理解）：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________；
（运用）：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以．
①当，时，如图， ；当， 时，；
②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得 （用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
【答案】（1）见解析，故结论为：直角长分别为、斜边为的直角三角形中；（2）；（3）①6，3；②，见解析.
【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
（2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，每层棋子分别为，，，，…，．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论．
【详解】（1）有三个其面积分别为，和．
直角梯形的面积为．
由图形可知：
整理得，，
．
故结论为：直角长分别为、斜边为的直角三角形中．
（2）行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，每层棋子分别为，，，，…，．
由图形可知：．
故答案为：．
（3）①如图，当，时，，
如图，当，时，．
②方法1．对于一般的情形，在边形内画个点，第一个点将多边形分成了个三角形，以后三角形
内部每增加一个点，分割部分增加部分，故可得．
方法2．以的二个顶点和它内部的个点，共（）个点为顶点，可把分割成个互不重叠的小三角形．以四边形的个顶点和它内部的个点，共（）个点为顶点，可把四边形分割成个互不重叠的小三角形．故以边形的个顶点和它内部的个点，共（）个点作为顶点，可把原n边形分割成个互不重叠的小三角形．故可得．
故答案为：①，；②．
【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
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