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初中数学中考复习 天津市西沽中学2019年中考数学模拟（4月）试卷（含解析）
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这是一份初中数学中考复习 天津市西沽中学2019年中考数学模拟（4月）试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了如图所示的两个三角形，下列事件中，是必然事件的是，下列命题中正确的是，若点A等内容，欢迎下载使用。
2019年天津市西沽中学中考数学模拟试卷（4月份）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．已知sinA＝，则锐角A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
3．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．13个人中至少有两个人生肖相同
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．将一枚质地均匀的硬币向上抛高，落下之后，一定正面向上
5．下列命题中正确的是（ ）
A．若两个多边形相似，则对应边的比相等
B．若两个多边形相似，则对应角的比等于对应边的比
C．若两个多边形的对应角相等，则这两个多边形相似
D．若两个多边形的对应边的比相等，则这两个多边形相似
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③
7．如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程x2+x+n＝0（m≠0）有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
9．已知圆内接正三角形的面积为3，则边心距是（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．若点A（x1，3）、B（x2，﹣1）、C（x3，1）在反比例函数的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3
11．如图，以点P（2，0）为圆心，为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则的最大值是（ ）
A．I B． C．2 D．1.5
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1）、B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：①b＜1；②c＞2；③0＜m＜；④n≤1，则所有正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为 ．
14．已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．
15．二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的最大值是 ．
16．如图，AB为斜靠在墙壁AC上的长梯，梯脚B距墙1.5m，梯上一点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯长AB为 m．
17．如图，⊙O的半径是7，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线段，垂足为E、F、G，连接EF．若OG＝4，则EF为 ．
18．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH＝8，则FG＝ ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解方程：．
20．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）若tanA＝，b＝8，求a和c；
（2）若tanA＝2，c＝2，求b和sinB．
21．（10分）已知反比例函数的图象过点A（﹣2，4）．
（1）这个反比例函数图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？
（2）点B（4，﹣2），C（6，）和D（）哪些点在图象上？
（3）画出这个函数的图象．
22．（10分）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，∠BPC＝42°．
（1）如图①，连接OD，若D为弧AB的中点，求∠ODC的大小；
（2）如图②，连接BD，若DE＝DB，求∠PBD的大小．
23．（10分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝100千米，∠A＝45°，∠B＝30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？（结果保留根号）
24．（10分）如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．
（1）求证：△ACQ≌△ADQ；
（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．
（1）当抛物线经过点P（4，﹣6）时，求抛物线的顶点坐标；
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤5时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的横坐标；
（3）点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线上的两点，设t≤x1≤t+1，当x≥3时，均有y1≥y2，求t的取值范围．
2019年天津市西沽中学中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【分析】根据30°角的正弦值等于解答．
【解答】解：∵sinA＝，
∴A＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记．
2．【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【解答】解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC的中点．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握中心对称图形的特点是解题关键．
3．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
【解答】解：A．13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件；
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；
C．如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件；
D．将一枚质地均匀向上抛出，落下之后，一定正面向上是随机事件；
故选：A．
【点评】本题主要考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．【分析】根据相似多边形的性质与判定解答即可．
【解答】解：A、若两个多边形相似，则对应边的比相等，是真命题；
B、若两个多边形相似，则对应角的比不等于对应边的比，是假命题；
C、若两个多边形的对应角相等，这两个多边形不一定相似，是假命题；
D、两个多边形的对应边的比相等，则这两个多边形不一定相似，是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似多边形的性质与判定，难度不大．
6．【分析】①根据平行四边形的性质可得出CE＝3AE，由AF∥BC可得出△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可得出BC＝3AF，进而可得出DF＝2AF，结论①正确；
②根据相似三角形的性质结合S△AEF＝4，即可求出S△BCE＝9S△AEF＝36，结论②正确；
③由△ABE和△CBE等高且BE＝3AE，即可得出S△BCE＝3S△ABE，进而可得出S△ABE＝12，结论③正确；
④假设△AEF∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出∠AEF＝∠ACD，进而可得出BF∥CD，根据平行四边形的性质可得出AB∥CD，由AB、BF不共线可得出假设不成立，即AEF和△ACD不相似，结论④错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC．
∵点E是OA的中点，
∴CE＝3AE．
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝＝3，
∴BC＝3AF，
∴DF＝2AF，结论①正确；
②∵△AEF∽△CEB，CE＝3AE，
∴＝32，
∴S△BCE＝9S△AEF＝36，结论②正确；
③∵△ABE和△CBE等高，且BE＝3AE，
∴S△BCE＝3S△ABE，
∴S△ABE＝12，结论③正确；
④假设△AEF∽△ACD，则∠AEF＝∠ACD，
∴EF∥CD，即BF∥CD．
∵AB∥CD，
∴BF和AB共线．
∵点E为OA的中点，即BE与AB不共线，
∴假设不成立，即AEF和△ACD不相似，结论④错误．
综上所述：正确的结论有①②③．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
7．【分析】只有闭合两条线路里的两个才能形成通路．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得：
（a，e）
（b，e）
（c，e）
（d，e）
﹣
（a，d）
（b，d）
（c，d）
﹣
（e，d）
（a，c）
（b，c）
﹣
（d，c）
（e，c）
（a，b）
﹣
（c，b）
（d，b）
（e，b）
﹣
（b，a）
（c，a）
（d，a）
（e，a）
∴一共有20种情况，使电路形成通路的有12种情况，
∴使电路形成通路的概率是＝，
故选：C．
【点评】本题结合初中物理的“电路”考查了有关概率的知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．【分析】根据根的判别式得出△＝0，求出m＝4n，代入求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+n＝0（m≠0）有两个相等的实数根，
∴△＝（）2﹣4n＝0，
解得：m＝4n，
∴＝，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，能根据根的判别式的内容求出m＝4n是解此题的关键．
9．【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．
【解答】解：设正三角形的边心距为x，则其半径为2x，边长为2x，
因为圆内接正三角形的面积为3，
所以×2x（x+2x）＝3，
解得：x＝1
所以该圆的内接正六边形的边心距为1，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．
10．【分析】根据反比例函数的性质，结合“点A（x1，3）、B（x2，﹣1）、C（x3，1）在反比例函数的图象上”，根据各个点纵坐标的正负，即可判断横坐标的正负，当x＞0时，根据反比例函数y＝的增减性，即可判断两个正数横坐标的大小，综上，可得到答案．
【解答】解：∵点A（x1，3）、B（x2，﹣1）、C（x3，1）在反比例函数的图象上，
又∵y＞0时，x＞0，y＜0时，x＜0，
即x1＞0，x3＞0，x2＜0，
当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴x1＜x3，
综上可知：x2＜x1＜x3，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数的增减性是解题的关键．
11．【分析】最大值时，得出tan∠MOP有最大值，推出当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，根据解直角三角形得出tan∠MOP＝，由勾股定理求出OM，代入求出即可．
【解答】解：
当最大值时，得出tan∠MOP有最大值，
也就是当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，
此时tan∠MOP＝，在Rt△OMP中，由勾股定理得：OM＝1，
则tan∠MOP＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、坐标与图形性质、切线的性质等知识点，关键是找出符合条件的M的位置，题目比较典型，但是有一定的难度．
12．【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b＝﹣a+1、c＝﹣2a+2，结合a＞0，可得出b＜1、c＜2，即结论①正确②错误；由抛物线顶点的横坐标m＝﹣，可得出m＝﹣，即m＜，结论③不正确；由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），可得出n≤1，结论④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线过点A（﹣1，1），B（2，4），
∴，
∴b＝﹣a+1，c＝﹣2a+2．
∵a＞0，
∴b＜1，c＜2，
∴结论①正确，②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（m，n），
∴m＝﹣＝﹣＝﹣，
∴m＜，结论③不正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），顶点坐标为（m，n），
∴n≤1，结论④正确．
综上所述：正确的结论有①④．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及待定系数法求二次函数解析式，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．【分析】直接根据概率公式计算可得．
【解答】解：∵共有6名学生干部，其中女生有2人，
∴任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y＝（x＞0），答案不唯一．
故答案为：y＝（x＞0），答案不唯一．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：
①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；
②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
15．【分析】将抛物线解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质即可得．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝y＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当x＝﹣1时，y取得最大值4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
16．【分析】易得DE∥BC，那么可得△ADE∽△ABC，利用对应边成比例可得AB的长．
【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即：＝，
∴AB＝2.5m．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
17．【分析】连结OC，由OG⊥AC，根据垂径定理得CG＝AG，在Rt△OCG中，利用勾股定理可计算出CG，得出AC＝2CG＝2，再由OE⊥AB，OF⊥BC得到AE＝BE，BF＝CF，则EF为△BAC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到EF＝AC，即可得出结果．
【解答】解：连结OC，如图，
∵OG⊥AC，
∴CG＝AG，
在Rt△OCG中，CG＝＝＝，
∴AC＝2CG＝2，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF为△BAC的中位线，
∴EF＝AC＝．
故答案为．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理和三角形中位线性质定理；由勾股定理求出CG得出AC是解决问题的突破口．
18．【分析】如解答图，连接CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的长度．
【解答】解：如图所示，连接CG．
在△CGD与△CEB中
∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB，
∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH＝EH＝GH．
过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN＝90°，
又∵∠EHC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠HEM＝∠HCN．
在△HEM与△HCN中，
∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM＝HN，
∴四边形MBNH为正方形．
∵BH＝8，
∴BN＝HN＝4，
∴CN＝BC﹣BN＝6﹣4＝2．
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝2．
∴GH＝CH＝2．
∵HM∥AG，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3．
又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH．
∴，即，
∴FG＝5．
故答案为：5．
【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【分析】把10移到等号的右边，两边平方，求解，后检验根是否有意义．
【解答】解：，
两边平方，得4（x+5）＝x2﹣20x+100（2分）
整理，得：x2﹣24x+80＝0，解得：x1＝20，x2＝4（2分）
经检验：x2＝4是增根，x1＝20是原方程的解，（1分）
∴原方程的解是x＝20（1分）
【点评】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法，注意无理方程要检验根是否有意义，属于基础题．
20．【分析】（1）利用锐角三角形函数的定义求得a，然后结合勾股定理求得c．
（2）由锐角三角函数的定义和勾股定理求得b，然后再由锐角三角形函数的定义来求sinB．
【解答】解：（1）由tanA＝，b＝8得到：＝＝，
a＝6．
根据勾股定理得到：c＝＝＝10．
（2）由tanA＝＝2得到：a＝2b．
由勾股定理得到：c2＝a2+b2，即（2）2＝5b2，b＝2．
所以sinB＝＝＝．
【点评】考查了锐角三角函数定义和勾股定理，利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．
21．【分析】（1）设函数关系式为y＝，把点A（﹣2，4），代入求出解析式即可，根据反比例函数的性质得出图象位于的象限；根据反比例函数的性质得出增减性；
（2）根据反比例函数的特点可得出k＝﹣8，再判断点B（4，﹣2），C（6，）和D（）是否在反比例函数的图象上；
（3）画出这个图象即可．
【解答】解：（1）设函数关系式为y＝，
∵反比例函数的图象过点A（﹣2，4），
∴k＝﹣8，
∵﹣8＜0，
∴这个反比例函数图象分布在第二、四象限，y随x的增大而增大；
（2）∵4×（﹣2）＝﹣8，6×（﹣）＝﹣8，2×（﹣3）＝﹣12，
∴点B（4，﹣2），C（6，）在图象上，点D（）不在图象上；
（3）如图所示：
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．
22．【分析】（1）连接OC，由切线条件可得OC⊥PC，因为∠BPC＝42°，得∠COP＝48°，因为D为弧AB的中点，所以OD⊥AB，可得∠COD＝138°，因为OC＝OD，得∠ODC＝∠OCD，进而得出∠ODC的度数；
（2）连接AC，OC，因为DE＝DB，可设∠DBE＝∠DEB＝x，因为∠ACE＝∠DBE＝x，∠CEA＝∠DEB＝x，可得∠CAE＝180°﹣2x，因为OA＝OC，可得∠OCA＝∠CAE，进而得出∠AOC＝4x﹣180°＝48°，解方程可得出∠PBD的度数．
【解答】解：（1）如图①，连接OC，
∵过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，
∴OC⊥PC，
∵∠BPC＝42°，
∴∠COP＝90°﹣42°＝48°，
∵D为弧AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴∠COD＝90°+48°＝138°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣138°）＝21°；
（2）如图②，连接AC，OC，
∵DE＝DB，
∴∠DBE＝∠DEB＝x，
∵∠ACE＝∠DBE＝x，∠CEA＝∠DEB＝x，
∴∠CAE＝180°﹣2x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAE＝180°﹣2x，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OCA+∠CAE）＝4x﹣180°＝48°，
解得x＝57°，
∴∠PBD＝57°．
【点评】本题考查圆的切线的性质，圆的基本性质，等腰三角形性质，第（2）问通过设未知数建立方程是解题的关键．
23．【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出答案．
【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝100千米，
∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），
AC＝＝50（千米），
AC+BC＝（100+50）千米，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走（100+50）千米；
（2）∵cos30°＝，BC＝100（千米），
∴BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），CD＝BC＝50（千米），
∵tan45°＝，
∴AD＝＝50（千米），
∴AB＝AD+BD＝（50+50）千米，
∴AC+BC﹣AB＝100+50﹣（50+50）＝（50+50﹣50）千米
答：开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走（50+50﹣50）千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24．【分析】（1）由正方形的性质及旋转的性质可得到AD＝AC，利用HL即可证得结论；
（2）利用（1）的结论，结合条件可证得△AOP≌△ADP，进一步可求得∠PAQ＝45°，再结合全等可求得PQ＝OP+CQ；
（3）利用矩形的性质可得到BQ＝EQ＝CQ＝DQ，设P（x，0），则可表示出BQ、PB的长，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可得到关于x的方程，则可求得P点坐标．
【解答】（1）证明：
∵正方形AOBC绕点A旋转得到正方形ADEF，
∴AD＝AC，∠ADQ＝∠ACQ＝90°，
在Rt△ADQ和Rt△ACQ中
∴Rt△ACQ≌Rt△ADQ（HL）；
（2）解：
∵△ACQ≌△ADQ，
∴∠CAQ＝∠DAQ，CQ＝DQ，
在Rt△AOP和Rt△ADP中
∴Rt△AOP≌Rt△ADP（HL），
∴∠OAP＝∠DAP，OP＝OD，
∴∠PAQ＝∠DAQ+DAP＝∠DAC+∠DAO＝（∠DAC+∠DAO）＝∠OAC＝45°，
PQ＝PD+DQ＝OP+CQ；
（3）解：四边形BECD可为矩形，如图，
若四边形BECD为矩形，则BQ＝EQ＝CQ＝DQ，
∵BC＝8，
∴BQ＝CQ＝4，
设P点坐标为（x，0），则PO＝x，
∵OP＝PD，CQ＝DQ，
∴PD＝x，DQ＝4，
在Rt△BPQ中，可知PQ＝x+4，BQ＝4，BP＝8﹣x，
∴（x+4）2+42＝（8﹣x）2，解得x＝，
∴P点坐标为（，0）．
【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定和性质、勾股定理及方程思想等知识．在（1）中注意HL的应用，在（2）中证得Rt△AOP≌Rt△ADP是解题的关键，在（3）中注意矩形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
25．【分析】（1）抛物线经过点P（4，﹣6），代入抛物线即可求出顶点坐标
（2）根据图象的开口和增减性，可以求出抛物线的解析式．即可求出点M，点N的横坐标
（3）根据二次函数的开口的情况进行分类讨论即可．
【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是x＝＝1；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，﹣1≤x≤5，
∴当x＝5时，y的值最大，即M（5，）．
把M（5，）代入y＝ax2﹣2ax﹣2，解得a＝，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣2，
当x＝1时，y＝，
∴N（1，﹣）；
（3）当a＞0时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，
∴t≥3或t+1≤1﹣（3﹣1），
解得，t≥3或t≤﹣2；
当a＜0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，
∴，
∴﹣1≤t≤2．
t的取值范围﹣1≤t≤2．
【点评】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2019年天津市西沽中学中考数学模拟试卷（4月份）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．已知sinA＝，则锐角A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
3．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．13个人中至少有两个人生肖相同
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．将一枚质地均匀的硬币向上抛高，落下之后，一定正面向上
5．下列命题中正确的是（ ）
A．若两个多边形相似，则对应边的比相等
B．若两个多边形相似，则对应角的比等于对应边的比
C．若两个多边形的对应角相等，则这两个多边形相似
D．若两个多边形的对应边的比相等，则这两个多边形相似
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③
7．如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程x2+x+n＝0（m≠0）有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
9．已知圆内接正三角形的面积为3，则边心距是（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．若点A（x1，3）、B（x2，﹣1）、C（x3，1）在反比例函数的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3
11．如图，以点P（2，0）为圆心，为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则的最大值是（ ）
A．I B． C．2 D．1.5
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1）、B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：①b＜1；②c＞2；③0＜m＜；④n≤1，则所有正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为 ．
14．已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．
15．二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的最大值是 ．
16．如图，AB为斜靠在墙壁AC上的长梯，梯脚B距墙1.5m，梯上一点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯长AB为 m．
17．如图，⊙O的半径是7，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线段，垂足为E、F、G，连接EF．若OG＝4，则EF为 ．
18．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH＝8，则FG＝ ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解方程：．
20．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）若tanA＝，b＝8，求a和c；
（2）若tanA＝2，c＝2，求b和sinB．
21．（10分）已知反比例函数的图象过点A（﹣2，4）．
（1）这个反比例函数图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？
（2）点B（4，﹣2），C（6，）和D（）哪些点在图象上？
（3）画出这个函数的图象．
22．（10分）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，∠BPC＝42°．
（1）如图①，连接OD，若D为弧AB的中点，求∠ODC的大小；
（2）如图②，连接BD，若DE＝DB，求∠PBD的大小．
23．（10分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝100千米，∠A＝45°，∠B＝30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？（结果保留根号）
24．（10分）如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．
（1）求证：△ACQ≌△ADQ；
（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．
（1）当抛物线经过点P（4，﹣6）时，求抛物线的顶点坐标；
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤5时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的横坐标；
（3）点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线上的两点，设t≤x1≤t+1，当x≥3时，均有y1≥y2，求t的取值范围．
2019年天津市西沽中学中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【分析】根据30°角的正弦值等于解答．
【解答】解：∵sinA＝，
∴A＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记．
2．【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【解答】解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC的中点．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握中心对称图形的特点是解题关键．
3．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
【解答】解：A．13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件；
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；
C．如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件；
D．将一枚质地均匀向上抛出，落下之后，一定正面向上是随机事件；
故选：A．
【点评】本题主要考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．【分析】根据相似多边形的性质与判定解答即可．
【解答】解：A、若两个多边形相似，则对应边的比相等，是真命题；
B、若两个多边形相似，则对应角的比不等于对应边的比，是假命题；
C、若两个多边形的对应角相等，这两个多边形不一定相似，是假命题；
D、两个多边形的对应边的比相等，则这两个多边形不一定相似，是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似多边形的性质与判定，难度不大．
6．【分析】①根据平行四边形的性质可得出CE＝3AE，由AF∥BC可得出△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可得出BC＝3AF，进而可得出DF＝2AF，结论①正确；
②根据相似三角形的性质结合S△AEF＝4，即可求出S△BCE＝9S△AEF＝36，结论②正确；
③由△ABE和△CBE等高且BE＝3AE，即可得出S△BCE＝3S△ABE，进而可得出S△ABE＝12，结论③正确；
④假设△AEF∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出∠AEF＝∠ACD，进而可得出BF∥CD，根据平行四边形的性质可得出AB∥CD，由AB、BF不共线可得出假设不成立，即AEF和△ACD不相似，结论④错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC．
∵点E是OA的中点，
∴CE＝3AE．
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝＝3，
∴BC＝3AF，
∴DF＝2AF，结论①正确；
②∵△AEF∽△CEB，CE＝3AE，
∴＝32，
∴S△BCE＝9S△AEF＝36，结论②正确；
③∵△ABE和△CBE等高，且BE＝3AE，
∴S△BCE＝3S△ABE，
∴S△ABE＝12，结论③正确；
④假设△AEF∽△ACD，则∠AEF＝∠ACD，
∴EF∥CD，即BF∥CD．
∵AB∥CD，
∴BF和AB共线．
∵点E为OA的中点，即BE与AB不共线，
∴假设不成立，即AEF和△ACD不相似，结论④错误．
综上所述：正确的结论有①②③．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
7．【分析】只有闭合两条线路里的两个才能形成通路．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得：
（a，e）
（b，e）
（c，e）
（d，e）
﹣
（a，d）
（b，d）
（c，d）
﹣
（e，d）
（a，c）
（b，c）
﹣
（d，c）
（e，c）
（a，b）
﹣
（c，b）
（d，b）
（e，b）
﹣
（b，a）
（c，a）
（d，a）
（e，a）
∴一共有20种情况，使电路形成通路的有12种情况，
∴使电路形成通路的概率是＝，
故选：C．
【点评】本题结合初中物理的“电路”考查了有关概率的知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．【分析】根据根的判别式得出△＝0，求出m＝4n，代入求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+n＝0（m≠0）有两个相等的实数根，
∴△＝（）2﹣4n＝0，
解得：m＝4n，
∴＝，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，能根据根的判别式的内容求出m＝4n是解此题的关键．
9．【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．
【解答】解：设正三角形的边心距为x，则其半径为2x，边长为2x，
因为圆内接正三角形的面积为3，
所以×2x（x+2x）＝3，
解得：x＝1
所以该圆的内接正六边形的边心距为1，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．
10．【分析】根据反比例函数的性质，结合“点A（x1，3）、B（x2，﹣1）、C（x3，1）在反比例函数的图象上”，根据各个点纵坐标的正负，即可判断横坐标的正负，当x＞0时，根据反比例函数y＝的增减性，即可判断两个正数横坐标的大小，综上，可得到答案．
【解答】解：∵点A（x1，3）、B（x2，﹣1）、C（x3，1）在反比例函数的图象上，
又∵y＞0时，x＞0，y＜0时，x＜0，
即x1＞0，x3＞0，x2＜0，
当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴x1＜x3，
综上可知：x2＜x1＜x3，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数的增减性是解题的关键．
11．【分析】最大值时，得出tan∠MOP有最大值，推出当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，根据解直角三角形得出tan∠MOP＝，由勾股定理求出OM，代入求出即可．
【解答】解：
当最大值时，得出tan∠MOP有最大值，
也就是当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，
此时tan∠MOP＝，在Rt△OMP中，由勾股定理得：OM＝1，
则tan∠MOP＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、坐标与图形性质、切线的性质等知识点，关键是找出符合条件的M的位置，题目比较典型，但是有一定的难度．
12．【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b＝﹣a+1、c＝﹣2a+2，结合a＞0，可得出b＜1、c＜2，即结论①正确②错误；由抛物线顶点的横坐标m＝﹣，可得出m＝﹣，即m＜，结论③不正确；由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），可得出n≤1，结论④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线过点A（﹣1，1），B（2，4），
∴，
∴b＝﹣a+1，c＝﹣2a+2．
∵a＞0，
∴b＜1，c＜2，
∴结论①正确，②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（m，n），
∴m＝﹣＝﹣＝﹣，
∴m＜，结论③不正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），顶点坐标为（m，n），
∴n≤1，结论④正确．
综上所述：正确的结论有①④．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及待定系数法求二次函数解析式，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．【分析】直接根据概率公式计算可得．
【解答】解：∵共有6名学生干部，其中女生有2人，
∴任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y＝（x＞0），答案不唯一．
故答案为：y＝（x＞0），答案不唯一．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：
①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；
②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
15．【分析】将抛物线解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质即可得．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝y＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当x＝﹣1时，y取得最大值4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
16．【分析】易得DE∥BC，那么可得△ADE∽△ABC，利用对应边成比例可得AB的长．
【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即：＝，
∴AB＝2.5m．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
17．【分析】连结OC，由OG⊥AC，根据垂径定理得CG＝AG，在Rt△OCG中，利用勾股定理可计算出CG，得出AC＝2CG＝2，再由OE⊥AB，OF⊥BC得到AE＝BE，BF＝CF，则EF为△BAC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到EF＝AC，即可得出结果．
【解答】解：连结OC，如图，
∵OG⊥AC，
∴CG＝AG，
在Rt△OCG中，CG＝＝＝，
∴AC＝2CG＝2，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF为△BAC的中位线，
∴EF＝AC＝．
故答案为．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理和三角形中位线性质定理；由勾股定理求出CG得出AC是解决问题的突破口．
18．【分析】如解答图，连接CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的长度．
【解答】解：如图所示，连接CG．
在△CGD与△CEB中
∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB，
∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH＝EH＝GH．
过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN＝90°，
又∵∠EHC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠HEM＝∠HCN．
在△HEM与△HCN中，
∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM＝HN，
∴四边形MBNH为正方形．
∵BH＝8，
∴BN＝HN＝4，
∴CN＝BC﹣BN＝6﹣4＝2．
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝2．
∴GH＝CH＝2．
∵HM∥AG，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3．
又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH．
∴，即，
∴FG＝5．
故答案为：5．
【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【分析】把10移到等号的右边，两边平方，求解，后检验根是否有意义．
【解答】解：，
两边平方，得4（x+5）＝x2﹣20x+100（2分）
整理，得：x2﹣24x+80＝0，解得：x1＝20，x2＝4（2分）
经检验：x2＝4是增根，x1＝20是原方程的解，（1分）
∴原方程的解是x＝20（1分）
【点评】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法，注意无理方程要检验根是否有意义，属于基础题．
20．【分析】（1）利用锐角三角形函数的定义求得a，然后结合勾股定理求得c．
（2）由锐角三角函数的定义和勾股定理求得b，然后再由锐角三角形函数的定义来求sinB．
【解答】解：（1）由tanA＝，b＝8得到：＝＝，
a＝6．
根据勾股定理得到：c＝＝＝10．
（2）由tanA＝＝2得到：a＝2b．
由勾股定理得到：c2＝a2+b2，即（2）2＝5b2，b＝2．
所以sinB＝＝＝．
【点评】考查了锐角三角函数定义和勾股定理，利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．
21．【分析】（1）设函数关系式为y＝，把点A（﹣2，4），代入求出解析式即可，根据反比例函数的性质得出图象位于的象限；根据反比例函数的性质得出增减性；
（2）根据反比例函数的特点可得出k＝﹣8，再判断点B（4，﹣2），C（6，）和D（）是否在反比例函数的图象上；
（3）画出这个图象即可．
【解答】解：（1）设函数关系式为y＝，
∵反比例函数的图象过点A（﹣2，4），
∴k＝﹣8，
∵﹣8＜0，
∴这个反比例函数图象分布在第二、四象限，y随x的增大而增大；
（2）∵4×（﹣2）＝﹣8，6×（﹣）＝﹣8，2×（﹣3）＝﹣12，
∴点B（4，﹣2），C（6，）在图象上，点D（）不在图象上；
（3）如图所示：
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．
22．【分析】（1）连接OC，由切线条件可得OC⊥PC，因为∠BPC＝42°，得∠COP＝48°，因为D为弧AB的中点，所以OD⊥AB，可得∠COD＝138°，因为OC＝OD，得∠ODC＝∠OCD，进而得出∠ODC的度数；
（2）连接AC，OC，因为DE＝DB，可设∠DBE＝∠DEB＝x，因为∠ACE＝∠DBE＝x，∠CEA＝∠DEB＝x，可得∠CAE＝180°﹣2x，因为OA＝OC，可得∠OCA＝∠CAE，进而得出∠AOC＝4x﹣180°＝48°，解方程可得出∠PBD的度数．
【解答】解：（1）如图①，连接OC，
∵过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，
∴OC⊥PC，
∵∠BPC＝42°，
∴∠COP＝90°﹣42°＝48°，
∵D为弧AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴∠COD＝90°+48°＝138°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣138°）＝21°；
（2）如图②，连接AC，OC，
∵DE＝DB，
∴∠DBE＝∠DEB＝x，
∵∠ACE＝∠DBE＝x，∠CEA＝∠DEB＝x，
∴∠CAE＝180°﹣2x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAE＝180°﹣2x，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OCA+∠CAE）＝4x﹣180°＝48°，
解得x＝57°，
∴∠PBD＝57°．
【点评】本题考查圆的切线的性质，圆的基本性质，等腰三角形性质，第（2）问通过设未知数建立方程是解题的关键．
23．【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出答案．
【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝100千米，
∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），
AC＝＝50（千米），
AC+BC＝（100+50）千米，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走（100+50）千米；
（2）∵cos30°＝，BC＝100（千米），
∴BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），CD＝BC＝50（千米），
∵tan45°＝，
∴AD＝＝50（千米），
∴AB＝AD+BD＝（50+50）千米，
∴AC+BC﹣AB＝100+50﹣（50+50）＝（50+50﹣50）千米
答：开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走（50+50﹣50）千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24．【分析】（1）由正方形的性质及旋转的性质可得到AD＝AC，利用HL即可证得结论；
（2）利用（1）的结论，结合条件可证得△AOP≌△ADP，进一步可求得∠PAQ＝45°，再结合全等可求得PQ＝OP+CQ；
（3）利用矩形的性质可得到BQ＝EQ＝CQ＝DQ，设P（x，0），则可表示出BQ、PB的长，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可得到关于x的方程，则可求得P点坐标．
【解答】（1）证明：
∵正方形AOBC绕点A旋转得到正方形ADEF，
∴AD＝AC，∠ADQ＝∠ACQ＝90°，
在Rt△ADQ和Rt△ACQ中
∴Rt△ACQ≌Rt△ADQ（HL）；
（2）解：
∵△ACQ≌△ADQ，
∴∠CAQ＝∠DAQ，CQ＝DQ，
在Rt△AOP和Rt△ADP中
∴Rt△AOP≌Rt△ADP（HL），
∴∠OAP＝∠DAP，OP＝OD，
∴∠PAQ＝∠DAQ+DAP＝∠DAC+∠DAO＝（∠DAC+∠DAO）＝∠OAC＝45°，
PQ＝PD+DQ＝OP+CQ；
（3）解：四边形BECD可为矩形，如图，
若四边形BECD为矩形，则BQ＝EQ＝CQ＝DQ，
∵BC＝8，
∴BQ＝CQ＝4，
设P点坐标为（x，0），则PO＝x，
∵OP＝PD，CQ＝DQ，
∴PD＝x，DQ＝4，
在Rt△BPQ中，可知PQ＝x+4，BQ＝4，BP＝8﹣x，
∴（x+4）2+42＝（8﹣x）2，解得x＝，
∴P点坐标为（，0）．
【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定和性质、勾股定理及方程思想等知识．在（1）中注意HL的应用，在（2）中证得Rt△AOP≌Rt△ADP是解题的关键，在（3）中注意矩形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
25．【分析】（1）抛物线经过点P（4，﹣6），代入抛物线即可求出顶点坐标
（2）根据图象的开口和增减性，可以求出抛物线的解析式．即可求出点M，点N的横坐标
（3）根据二次函数的开口的情况进行分类讨论即可．
【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是x＝＝1；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，﹣1≤x≤5，
∴当x＝5时，y的值最大，即M（5，）．
把M（5，）代入y＝ax2﹣2ax﹣2，解得a＝，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣2，
当x＝1时，y＝，
∴N（1，﹣）；
（3）当a＞0时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，
∴t≥3或t+1≤1﹣（3﹣1），
解得，t≥3或t≤﹣2；
当a＜0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，
∴，
∴﹣1≤t≤2．
t的取值范围﹣1≤t≤2．
【点评】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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