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初中数学中考复习 微专题八 解直角三角形的实际应用的基本类型课件PPT
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这是一份初中数学中考复习 微专题八 解直角三角形的实际应用的基本类型课件PPT，共32页。
【主干必备】解直角三角形的实际应用1.根据题意,将实际问题抽象为解_________三角形问题,画出图形,弄清已知条件中各量之间的关系.
2.若三角形是直角三角形,根据边角关系进行计算;若不是直角三角形,可通过添加辅助线构造_________三角形来解决.
【微点警示】 解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准三角形.
【核心突破】类型一仰角、俯角问题【例1】(2019·河南中考)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶
部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cs 34°=0.83,tan 34°≈0.67, ≈1.73)
【自主解答】∵∠ACE=90°,∠CAE=34°,CE=55 m,∴tan∠CAE= ≈82.1 m,∵AB=21 m,∴BC=AC-AB=61.1 m,在Rt△BCD中,tan60°= ,∴CD= BC≈1.73×61.1≈105.7 m,
∴DE=CD-EC≈105.7-55≈51 m,答:炎帝塑像DE的高度约为51 m.
类型二航海问题【例2】(2019·资阳中考)如图,南海某海域有两艘外国渔船A,B在小岛C的正南方向同一处捕鱼.一段时间后,渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处.
(1)求渔船B航行的距离.(2)此时,在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船,其中B渔船在点D的南偏西60°方向,A渔船在点D的西南方向,我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域.请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离.(注:结果保留根号)
【自主解答】(1)由题意得,∠CAB=30°,∠ACB=90°,BC=20,∴AB=2BC=40海里,答:渔船B航行的距离是40海里.
(2)过B作BE⊥AE于E,过D作DH⊥AE于H,延长CB交DH于G,则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形,∴BE=GH=AC=20 ,AE=BC=20,设BG=EH=x,∴AH=x+20,由题意得,∠BDG=60°,∠ADH=45°,∴DG= x,DH=AH,
∴20 + x=x+20,解得:x=20 ,∴BG=20 ,AH=20+20 ,∴BD= =40,AD= AH=20 +20 .
答:中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里,到外国渔船A的距离是(20 +20 )海里.
类型三坡度问题【例3】(2019·天水中考)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1∶1,文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长),为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1∶ .(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
(1)若新坡面坡角为α,求坡角α的度数.(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.
【自主解答】(1)∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为1∶ ,∴tanα= ,∴α=30°.
(2)该文化墙PM不需要拆除,理由:作CD⊥AB于点D,则CD=6米,∵新坡面的坡度为1∶ ,∴tan∠CAD= ,解得,AD=6 米,∵坡面BC的坡度为1∶1,CD=6米,∴BD=6米,∴AB=AD-BD=(6 -6)米,
又∵PB=8米,∴PA=PB-AB=8-(6 -6)=14-6 ≈14-6×1.732≈3.6米>3米,∴该文化墙PM不需要拆除.
【明·技法】运用解直角三角形解决实际问题的一般步骤(1)审明题意,画出图形,将实际问题抽象为数学问题.(2)分析图形,找到或通过作辅助线构造出直角三角形.(3)解直角三角形,必要时列出方程,得到与实际问题有关的线段长度或角的度数.
(4)结合题意,写出实际问题的答案.
【题组过关】1.河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比是1∶ (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是( )A.5 米B.10米 C.15米D.10 米
2.(2019·益阳中考)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )
A.asinα+asinβ B.acsα+acsβC.atanα+atanβD.
3.(2018·乌鲁木齐中考)如图,小强想测量楼CD 的高度,楼在围墙内,小强只能在围墙外测量.他无法测得观测点到楼底的距离,于是小强在A处仰望楼顶,测得仰角为37°,再往楼的方向前进30 米至B 处,测得楼顶的仰角为53°
( A, B, C三点在一条直线上),求楼CD 的高度(结果精确到0.1米,小强的身高忽略不计).世纪金榜导学号
【解析】设楼CD高为x米,依题意,有∠DAC=37°,∠DBC=53°,在Rt△ACD 中,∠DCA=90°,tan∠DAC= ,∴AC= ,同理,BC= ,又AB=AC-BC ,
即30= ,解得 x≈52.3.答:楼CD的高度是52.3米.
4.(2019·海南中考)如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观察站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.
(1)填空:∠BAC =_______度,∠C =_______度. (2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).
【解析】(1)30 45(2)设BP=x海里,由题意得BP⊥AC,∴∠BPC=∠BPA=90°,∵∠C=45°,∴∠CBP=∠C=45°,∴CP=BP=x,在Rt△ABP中,∠BAC=30°, ∠ABP=60°,∴AP=tan∠ABP·BP=BP ·tan 60°= x,∴ x+ x=10,
【主干必备】解直角三角形的实际应用1.根据题意,将实际问题抽象为解_________三角形问题,画出图形,弄清已知条件中各量之间的关系.
2.若三角形是直角三角形,根据边角关系进行计算;若不是直角三角形,可通过添加辅助线构造_________三角形来解决.
【微点警示】 解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准三角形.
【核心突破】类型一仰角、俯角问题【例1】(2019·河南中考)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶
部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cs 34°=0.83,tan 34°≈0.67, ≈1.73)
【自主解答】∵∠ACE=90°,∠CAE=34°,CE=55 m,∴tan∠CAE= ≈82.1 m,∵AB=21 m,∴BC=AC-AB=61.1 m,在Rt△BCD中,tan60°= ,∴CD= BC≈1.73×61.1≈105.7 m,
∴DE=CD-EC≈105.7-55≈51 m,答:炎帝塑像DE的高度约为51 m.
类型二航海问题【例2】(2019·资阳中考)如图,南海某海域有两艘外国渔船A,B在小岛C的正南方向同一处捕鱼.一段时间后,渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处.
(1)求渔船B航行的距离.(2)此时,在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船,其中B渔船在点D的南偏西60°方向,A渔船在点D的西南方向,我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域.请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离.(注:结果保留根号)
【自主解答】(1)由题意得,∠CAB=30°,∠ACB=90°,BC=20,∴AB=2BC=40海里,答:渔船B航行的距离是40海里.
(2)过B作BE⊥AE于E,过D作DH⊥AE于H,延长CB交DH于G,则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形,∴BE=GH=AC=20 ,AE=BC=20,设BG=EH=x,∴AH=x+20,由题意得,∠BDG=60°,∠ADH=45°,∴DG= x,DH=AH,
∴20 + x=x+20,解得:x=20 ,∴BG=20 ,AH=20+20 ,∴BD= =40,AD= AH=20 +20 .
答:中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里,到外国渔船A的距离是(20 +20 )海里.
类型三坡度问题【例3】(2019·天水中考)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1∶1,文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长),为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1∶ .(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
(1)若新坡面坡角为α,求坡角α的度数.(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.
【自主解答】(1)∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为1∶ ,∴tanα= ,∴α=30°.
(2)该文化墙PM不需要拆除,理由:作CD⊥AB于点D,则CD=6米,∵新坡面的坡度为1∶ ,∴tan∠CAD= ,解得,AD=6 米,∵坡面BC的坡度为1∶1,CD=6米,∴BD=6米,∴AB=AD-BD=(6 -6)米,
又∵PB=8米,∴PA=PB-AB=8-(6 -6)=14-6 ≈14-6×1.732≈3.6米>3米,∴该文化墙PM不需要拆除.
【明·技法】运用解直角三角形解决实际问题的一般步骤(1)审明题意,画出图形,将实际问题抽象为数学问题.(2)分析图形,找到或通过作辅助线构造出直角三角形.(3)解直角三角形,必要时列出方程,得到与实际问题有关的线段长度或角的度数.
(4)结合题意,写出实际问题的答案.
【题组过关】1.河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比是1∶ (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是( )A.5 米B.10米 C.15米D.10 米
2.(2019·益阳中考)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )
A.asinα+asinβ B.acsα+acsβC.atanα+atanβD.
3.(2018·乌鲁木齐中考)如图,小强想测量楼CD 的高度,楼在围墙内,小强只能在围墙外测量.他无法测得观测点到楼底的距离,于是小强在A处仰望楼顶,测得仰角为37°,再往楼的方向前进30 米至B 处,测得楼顶的仰角为53°
( A, B, C三点在一条直线上),求楼CD 的高度(结果精确到0.1米,小强的身高忽略不计).世纪金榜导学号
【解析】设楼CD高为x米,依题意,有∠DAC=37°,∠DBC=53°,在Rt△ACD 中,∠DCA=90°,tan∠DAC= ,∴AC= ,同理,BC= ,又AB=AC-BC ,
即30= ,解得 x≈52.3.答:楼CD的高度是52.3米.
4.(2019·海南中考)如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观察站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.
(1)填空:∠BAC =_______度,∠C =_______度. (2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).
【解析】(1)30 45(2)设BP=x海里,由题意得BP⊥AC,∴∠BPC=∠BPA=90°,∵∠C=45°,∴∠CBP=∠C=45°,∴CP=BP=x,在Rt△ABP中,∠BAC=30°, ∠ABP=60°,∴AP=tan∠ABP·BP=BP ·tan 60°= x,∴ x+ x=10,
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