2021-2022学年广西柳州市民族高中高一下学期3月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年广西柳州市民族高中高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用复数除法化简复数，进而求得复数的虚部

【详解】

则的虚部为

故选：B

2．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量的模公式求解.

【详解】因为，，

所以，

所以，

故选：B

3．已知向量，若，则m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平行向量的坐标表示计算即可.

【详解】且，

解得，

故选：D.

4．向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积的运算律求出，再根据夹角公式求出，从而得解；

【详解】解：因为，，，所以，即，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以；

故选：D

5．在中，，则三角形的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形

C．正三角形 D．等腰三角形

【答案】A

【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到的形状为直角三角形.

【详解】中，，

则，整理得，则，

则的形状为直角三角形，

故选：A.

6．如图，A处为长江南岸某渡口码头，北岸B码头与A码头相距，江水向正东流.已知一渡船从A码头按方向以的速度航行，且，若航行到达北岸的B码头，则江水速度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由力学可知的位移是由和水流合成的，故满足平行四边形法则，解这个平行四边形即可.

【详解】如图，

以方向为邻边，为对角线作平行四边形，渡船经过小时航行，即，由题意，，，由余弦定理得.所以，渡船在按方向航行时，江水向方向流，形成合位移使渡船沿到达北岸B码头，此时水流动距离为，则水流速度为，

故选：C.

7．如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，；若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意求得，化简得到，结合，求得的值，即可求解.

【详解】在中，，，，AD为BC边上的高，

可得，

由

又因为，所以，所以.

故选：B.

8．中，，D为AB的中点，，则（    ）

A．0 B．2 C．-2 D．-4

【答案】A

【分析】取为基底，表示出即可求解.

【详解】在中，D为AB的中点，，取为基底，

所以,

.

所以.

因为，，所以.

即.

故选：A

二、多选题

9．下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

【答案】AD

【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.

【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；

对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；

对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；

对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，

可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；

若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，

此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.

故选：AD.

10．下列说法中错误的是（    ）

A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底

B．若与共线，则

C．若两非零向量，满足，则

D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形

【答案】ABD

【分析】利用基底定义判断选项A；利用向量数量积定义判断选项B；利用向量垂直充要条件判断选项C；利用向量夹角定义判断选项D.

【详解】选项A：已知，，则，则与不可以

作为平面内所有向量的一组基底.判断错误；

选项B：若与共线，则或.判断错误；

选项C：若两非零向量，满足，则

即，整理得，则.判断正确；

选项D：平面直角坐标系中，，，，

则，，

则

又，则，则

则为钝角三角形. 判断错误.

故选：ABD

11．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若是锐角三角形，则

B．若，则是等腰三角形

C．若，则是等腰三角形

D．若是等边三角形，则

【答案】ACD

【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.

【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；

对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；

对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确.

故选：ACD.

12．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是

【答案】AD

【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.

【详解】设，，，，

则，，，

对于A ，，故A正确；

对于B ，，故B不正确；

对于C，若，则，，，

所以，所以，

所以的面积是，故C不正确；

对于D，若，则，则，则，，，

所以，，

所以外接圆半径为.故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．已知复数，若，则___________.

【答案】

【分析】根据复数相等的概念求解即可.

【详解】解：因为

所以，解得

所以

故答案为：

14．已知，，若，则______．

【答案】2

【分析】求出的坐标，由推出，列出方程即可求得m.

【详解】已知，，

所以，

由可得，解得．

故答案为：2.

15．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答

【详解】解：因为，，所以，

因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，

所以且，

解得且，所以的取值范围为，

故答案为：

16．△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为_______．

【答案】

【分析】由余弦定理的边角关系可得，即可求，再利用三角形面积公式求面积即可.

【详解】由余弦定理得：，则，解得：，

∴.

故答案为：.

四、解答题

17．已知，，．

(1)求；

(2)求与的夹角；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量数量积的运算律可求得，根据可求得结果；

（2）利用向量夹角公式可求得，进而确定夹角.

【详解】（1），，

.

（2）由（1）知：，，

，.

18．已知向量，，．

若，求实数k的值；

若向量满足，且，求向量．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）利用坐标运算可得，解这个方程可得；

（2）因向量共线故可设，利用已知的模长可得的值从而得到所求的向量．

【详解】（1）由题设有，，

因为，故，所以．

（2）因为，故，所以，解得，

所以或．

【点睛】如果，那么：

（1）若，则存在实数使得 且；

（2）若，则；

19．在中，角的对边分别是，，，且

(1)求角A；

(2)若，且面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理即可求得角A；

（2）由三角形面积求出，利用余弦定理结合完全平方公式求得，即得答案.

【详解】（1）由题意在 中，，

即，故 ，

由于 ，所以 .

（2）由题意的面积是 ， ,即, ，

由 ,,得,

则 ，

故的周长为 .

20．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地和，测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.

【答案】

【分析】在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出．

【详解】，

，

在中，由正弦定理得，即，

解得．

，，

是等边三角形，．

在中，由余弦定理得，

．

蓝方这两支精锐部队的距离为．

【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．

21．在中，，，，为边中点．

(1)求的值；

(2)若点满足，求的最小值；

【答案】(1)

(2)最小值为

【分析】（1）以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；

（2）根据点在上，设，求出、的坐标，则，利用二次函数配方求最值可得答案.

【详解】（1）如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，

所以，，，

为边中点，所以，，，

则；

（2）若点满足，则点在上，

由（1），设，则，，

则，

所以当时的最小值为.

22．在中，,点D在边上，，求的长.

【答案】

【详解】试题分析：根据题意，设出的内角所对边的长分别是，由余弦定理求出的长度，再由正弦定理求出角的大小，在中.利用正弦定理即可求出的长度.

试题解析：如图，

设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得

，

所以.

又由正弦定理得.

由题设知，所以.

在中，由正弦定理得.

【解析】1.正弦定理、余弦定理的应用.