2021-2022学年广西钟山县钟山中学高一上学期第三次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年广西钟山县钟山中学高一上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据集合，，求得，再根据全集求解.

【详解】因为集合，，

所以，

又全集，

所以

故选：C

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

2．设，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解.

【详解】若“”，则有，可推出“”成立，

若“”，则有或，解得或，推不出“”，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的分析与判断，涉及子集的概念，属于容易题.

3．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.

【详解】根据存在量词命题的否定形式是全称量词命题，可知，“”的否定是“”.

故选：C

4．不等式的解集是（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】B

【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．

【详解】解：不等式可转化为，即，即，

所以不等式等价于解得：，

所以原不等式的解集是

故选：B

5．若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简得，再化简得，再化简即得解.

【详解】∵，

∴，

∴，

可得.

故选C.

【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用二次函数的性质求出的范围，再根据指数函数的单调性即可求出函数值域.

【详解】，

，

故的值域为.

故选：A.

【点睛】本题考查指数型函数值域的求法，属于基础题.

7．函数的零点所在的区间为（    ）

A．（-1，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，2）

【答案】C

【分析】由解析式判断各选项区间端点值的函数值符号，结合零点存在性定理确定零点的区间.

【详解】由题设，，，，，

∴零点所在的区间为（，1）.

故选：C

8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.

【详解】因为，，，

所以，

故选：C.

二、多选题

9．若函数在区间上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法中错误的有（    ）

A．若，则不存在实数，使得

B．若，则存在且只存在一个实数，使得

C．若，则有可能存在实数，使得

D．若，则有可能不存在实数，使得

【答案】ABD

【解析】根据零点存在定理判断零点个数不确定，故B、D错误，当，可能存在零点，故A错误，C正确，得到答案.

【详解】根据函数零点存在定理可判断

若，则一定存在实数，使得

但c的个数不确定，故B、D错误，

若，则有可能存在实数，使得，

如，，但在内有两个零点，

故A错误，C正确.

故选：ABD

10．下列说法中，正确的是（    ）

A．半圆所对的圆心角是

B．长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度

C．周角的大小等于

D．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

【答案】ACD

【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可.

【详解】对于A，因为半圆的弧长为，所以其所对的圆心角为，故A正确；

对于B，长度等于半径的弦与弦的两端点到圆心的半径构成了等边三角形，易知其所对的圆心角为，故B错误；

对于C，显然，周角的大小等于，故C正确；

对于D，因为圆心角，所以其所对的弧长为，即1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径，故D正确.

故选：ACD.

11．若正实数 满足 ，则下列选项中正确的是（    ）

A． 有最大值 B．有最小值

C．有最小值4 D．有最小值

【答案】AC

【分析】利用基本不等式可判断A,C;举反例判断B;由基本不等式可得，即可判断D.

【详解】∵正实数 满足 ，

则 ，当且仅当时取等号，此时取得最大值,A正确；

∵当时,,B错误；

  ，当且仅当时取等号，C正确；

由得，即，当且仅当时取等号，

可得，即最小值 ，D错误,

故选：AC.

12．已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由函数图象过点可得的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.

【详解】由图可得，即，

单调递减过点，故A正确；

为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；

为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；

，根据““上不动、下翻上”可知D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解.

【详解】因为，

所以，即，故且，

所以的定义域为.

故答案为：

14．设函数，那么的值为________.

【答案】9

【分析】推导出，由此能求出结果．

【详解】解：∵函数，

∴．

故答案为：9．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．若，，则的最小值为________．

【答案】．

【分析】利用指数运算性质，根据基本不等式求最值.

【详解】，且

当且仅当时取等号，即的最小值是

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16．若函数与的图象关于直线对称，则__________．

【答案】2

【分析】根据两个函数互为反函数，求函数的解析式，再求的值.

【详解】因为函数与的图象关于直线对称，

所以两个函数互为反函数，则，

所以.

故答案为：2

四、解答题

17．计算下列各式：

(1)

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据有理数指数幂及根式的运算性质即可求解；

（2）根据对数运算性质及指数幂的运算性质即可求解.

【详解】（1）原式

.

（2）原式

.

18．已知函数f(x)=x2+bx+c(b，c)，且关于x的不等式f(x)<0的解集为(1，2)

(1)求函数f(x)解析式；

(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1，x[-1，3]，求g(x)值域.

【答案】(1)f(x)=

(2)

【分析】（1）由不等式f(x)<0，即x2+bx+c<0的解集为(1，2)，得1和2为方程x2+bx+c=0的两根，从而即可求解；

（2）根据二次函数的图象与性质即可求解.

【详解】（1）解：因为不等式f(x)<0，即x2+bx+c<0的解集为(1，2)，

所以1和2为方程x2+bx+c=0的两根，

所以，解得，

所以函数f(x)解析式为f(x)=；

（2）解：因为函数g(x)=f(x)+1，，

所以函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，

又，

所以，

所以g(x)的值域为.

19．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.

（1）若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积?

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）根据弧长的公式和扇形的面积公式即可求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）根据扇形的面积公式，结合基本不等式即可得到结论．

【详解】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则

α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，

S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).

(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，

∴R＝，

∴S扇＝α·R2＝α·

＝·＝·≤.

当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.

【点睛】本题主要考查扇形的弧长和扇形面积的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．

20．已知函数是定义在上的函数.

（1）用定义法证明函数在上是增函数；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）解不等式.

【答案】（1）证明见解析；（2）奇函数；（3）.

【分析】(1)根据定义法证明函数在上是增函数；

(2)根据奇偶函数的定义即可判断函数的奇偶性；

(3)根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化即可.

【详解】（1）任取，且，

，

∵，∴，又

∴即

故函数在上是增函数；

（2）∵且定义域关于原点对称 ，∴是上的奇函数；

(3)由(2)得，

又是上的增函数，

∴，解得，

所以原不等式的解集为.

21．设命题；命题，

(1)若为真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题有且只有一个为真，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可

（2）由题可得一真一假，结合（1），再化简命题q,即可求出的取值范围.

【详解】（1）对于：成立，而，有，

∴，∴.

若为真，则；

（2）：存在，使得不等式成立，只需，

而，

当时，取得最小值，最小值是

，∴，∴；

所以若为真，则，

若p，q有且只有一个为真，则一真一假.

若为假命题，为真命题，则，所以；

若为假命题，为真命题，则，所以.

综上，或.

22．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

(1)当时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；

(2)该项目每月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低．

【答案】(1)不能，5000元；

(2)400吨.

【分析】（1）根据条件可得当时，设该项目获利为S，则，然后可得答案；

（2）然后分别求出每段上的最小值作比较即可.

【详解】（1）当时，设该项目获利为S，

则；

当时，，此时该项目不会获利；

当时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．

（2）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

则：①当时，，∴当时，取得最小值240；

②当时，，当且仅当，即时，取得最小值200；

∵，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．