2021-2022学年广西钟山县钟山中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年广西钟山县钟山中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】因为，所以,

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

2．以下四个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④；正确的个数有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

【分析】①中两个集合之间关系应用包含关系表示；②中是任何集合的子集；③集合中元素是无序的；④中两个元素之间关系不能用表示.

【详解】在①中，｛0｝与｛0，1，2｝均为集合，两个集合之间的关系要用包含关系而不是属于关系表示，故①错误；②中是任何集合的子集，是正确的；③中由集合元素的无序性知是正确的；④中两个元素之间关系不能用表示.所以正确的有②③.

故选：C

3．已知命题，则命题p的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】全称命题“”的否定为特称命题“”.

【详解】全称命题“”的否定为特称命题“”，故命题p的否定为“”.

故选：D.

4．设，条件p：，条件q：，则p是q的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】条件：，⇒条件：；反之不成立：例如取，则即可判断出．

【详解】∵条件：⇒条件：；

反之，则不成立；例如取，则．

则是的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

5．已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得，，根据不等式的性质，从而可得，

【详解】解：，且，

，，；

，故A正确；

因为，，所以，故B错误；

因为，，所以，故D错误；

对于C：当时，，故C错误；

故选：．

6．设M=3x2-x+1，N=2x2+x，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】采用作差法即可求解

【详解】M-N=3x2-x+1-2x2-x=x2-2x+1=（x-1）2≥0．∴M≥N．

故选A．

【点睛】本题考查作差法比大小，属于基础题

7．已知命题p: ，若p为假命题，则a的取值范围是（   ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】D

【分析】根据p为假命题可得为真命题，由此得，求得答案.

【详解】由题意命题p:为假命题，则为真命题，

即，故 ，即，

故选：D

8．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式解集和一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得；将所求不等式变为，根据一元二次不等式的解法可求得结果.

【详解】的解集为

且方程的两根为：和

，解得：    

即，解得：

的解集为

故选:

【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得的值.属于中档题.

9．50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远、铅球测试及格分别有42人和30人，两项均不及格的有4人，则两项测试全都及格的人数是（    ）

A．16 B．18 C．22 D．26

【答案】D

【分析】设跳远测试及格的同学构成集合A，铅球测试及格的同学构成集合B，表示跳远测试及格或铅球测试及格的同学，表示两项测试全都及格的同学，利用韦恩图求解.

【详解】设跳远测试及格的同学构成集合A，铅球测试及格的同学构成集合B，

则由题意知

中学生的个数为50－4＝46，

中学生的个数为42+30-46＝26，

故两项测试全都及格的人数是26人，

故选：D.

10．不等式成立的一个必要不充分条件是（   ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合必要不充分的定义逐一判断即可.

【详解】由或，显然选项B是充要条件；

由或，不一定能推出选项A，D，能推出选项C，

选项C不能推出或，

故选：C

11．若1≤x≤2时，不等式恒成立，则实数m的最小值为（   ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次函数在区间上恒成立，列出满足的条件求解即可.

【详解】根据题意，令，若不等式在上恒成立，则有或或

解得，所以实数的最小值为:，

故选:B

12．下列命题中假命题的个数是（   ）

（1）有四个实数解

（2）设a，b，c是实数，若二次方程 无实根，则ac≥0

（3）若 ，则x≠2

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【分析】在（1）中先求得后再求解； 在（2）中由可得出ac≥0成立；在（3）中由且可推出x≠2成立.

【详解】在（1）中，得或，故，只有两解，故（1）错误；

在（2）中无实根，则，即，所以ac≥0是正确的，故（2）正确；

在（3）中若 ，则且，即x≠2成立，故（3）正确；

故选：C.

二、填空题

13．已知全集U={x∈Z|-1≤x≤3}，集合A={x∈Z|0≤x≤3}，则 =______

【答案】

【分析】先化简集合，在算即可.

【详解】因为，

，

所以，

故答案为：.

14．已知集合 ，且 ，则实数a的值是__________

【答案】1

【分析】根据，分类讨论a和的取值情况，即可求得答案.

【详解】由题意集合 ，且，

当时，，不满足；

当时，，满足；

当时，，不满足；

当时，，其中符合题意；时，不满足，

故实数a的值是1，

故答案为：1

15．如果关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___.

【答案】

【详解】当时，原命题成立，

否则应有：，解得：，

综上可得：实数的取值范围是.

点睛：不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，.

16．已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．

【答案】3

【分析】根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.

【详解】由不等式性质，得；；

．故可组成3个真命题．

故答案为：3.

三、解答题

17．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.

(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除;

(2)线段的长度都能用正有理数表示;

(3)，.

【答案】(1)存在量词命题，真命题

(2)全称量词命题，假命题

(3)存在量词命题，真命题

【分析】含有全称量词的命题为全称题词命题，含有存在量词的命题为存在量词命题，并举例判断命题的真假.

【详解】（1）含有量词“至少”，故它是存在量词命题，99既能被11整除，又能被9整除，故此命题为真命题.

（2）“线段的长度都能用正有理数表示”为全称量词命题，它是假命题，如线段的长度也可以是.

（3）“，.”含有存在量词，故它是存在量词命题，当时命题成立，故此命题为真命题.

18．已知集合，，其中．

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出集合A，由并集运算求；

（2）根据列出不等式求解，要先讨论集合B是否为.

【详解】（1）由解得， 所以 ，

当时，

∴

（2）∵；∴

①时，；解得；

②时，；解得；

综上，实数的取值范围为．

19．已知集合，a为实数.

(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；

(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；

(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

(3)且

【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解；

（2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程；

（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解.

【详解】（1）若集合是空集，则，

解得.故实数的取值范围为.

（2）若集合是单元素集，则

①当时，即时，，满足题意；

②当，即时，，解得，

此时.

综上所述，或.

（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素.

当中有0个元素时，由(1)知；

当中有2个元素时，解得且.

综上所述，实数的取值范围为且.

20．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．

（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

【答案】（1）y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（2）为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足 0＜x＜．

【分析】试题分析：（1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x和年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．

（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围．

解：（1）由题意得

y=[1.2×（1+0.75x）﹣1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1）（4分）

整理得y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（6分）

（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当

即（9分）

解不等式得．

答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足 0＜x＜．（12分）

【解析】函数模型的选择与应用．

21．关于的不等式.

(1)若不等式的解集为或，求的值；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由解集为或知方程的两根为或，求得的值；

（2）分类讨论解含参不等式，讨论二次项系数是否为0，开口方向，两根的大小.

【详解】（1）因为的解集为，

所以方程的两根为或，

所以，解得．

（2），

当时原不等式变形为，解得；

当时，的根为或．

当时，∴或，

当时，∴，

当时，∴，

当时，∴

综上可得：

当时原不等式解集为；

当时原不等式解集为或；

当时原不等式解集为；

当时原不等式解集为；

当时原不等式解集为．

22．直线与x、y轴分别交于点A、C，抛物线的图象经过A、C和点B(1，0）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）由A，B，C三点的坐标使用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）设点坐标为，将表达成关于的函数，当最大时高DE最大，求得D的坐标及最大距离.

【详解】（1）在直线解析式中，令，得；令，得，

∴，．

设抛物线的解析式为，

∵点，，在抛物线上，

∴，

解得，，．

∴抛物线的解析式为：．

（2）设点坐标为，则．

在直角中，，，由勾股定理得：．

如图所示，连接、，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，

则，，，．

将代入得：，

∴当时，的面积最大，最大值为4．

当时，，∴．

∵，，

∴当的面积最大时，高最大，

则的最大值为：．

∴当与直线的距离最大时，点的坐标为，最大距离为．