2022-2023学年安徽省滁州市定远县民族中学高一上学期11月期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省滁州市定远县民族中学高一上学期11月期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意先简化，对参数进行分类讨论，分别求出当，，时的集合A，根据，分别求出a的取值范围，综合即可得答案.
【详解】集合，，由，可知
当时，或，，
结合数轴知：，解得，即得；
当时，，，满足，故符合；
当时，或，，
结合数轴知：，解得，即得
由①②③知.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查利用由集合关系求参数，解题的关键是由推出，结合数轴得到关于a的不等式，考查了学生的逻辑推理与分类讨论思想，属于基础题.
2．已知命题，命题，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简命题q:或，是的充分不必要条件可知，反之则不成立，所以.
【详解】由可知，或，因为是的充分不必要条件，所以，即是的真子集，故，选B.
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，子集的概念，属于中档题.
3．“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】特称命题的否定是全称命题
【详解】因为特称命题的否定是全称命题
所以“，”的否定是“，”
故选：B
【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.
4．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】C
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.
【详解】A选项，，如，而，所以A选项错误.
B选项，，如，而，所以B选项错误.
C选项，，则，所以，所以C选项正确.
D选项，，如，而，所以D选项错误.
故选：C
5．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果,那么B．如果,那么
C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立
【答案】C
【分析】观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可
【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,
故选C
【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题
6．函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再根据特殊值判断即可；
【详解】解：因为，所以，即，解得，故函数的定义域为，故排除A、B，又，故排除D；
故选：C
7．已知函数，则（ ）
A．3B．－3C．－1D．1
【答案】C
【分析】根据分段函数的特征进行求解.
【详解】.
故选：C
8．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的单调性及定义域化简不等式，即可得解.
【详解】因为函数在定义域上是减函数，且，
则有
解得，所以实数的取值范围是.
故选：A．
二、多选题
9．对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是奇函数，则的图像关于点对称
B．若对，有，则的图像关于直线对称
C．若函数的图像关于直线对称，则为偶函数
D．若，则的图像关于点对称
【答案】ACD
【分析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.
【详解】对A，是奇函数，故图象关于原点对称，
将的图象向右平移1个单位得的图象，
故的图象关于点（1，0）对称，正确；
对B，若对，有，
得，所以是一个周期为2的周期函数，
不能说明其图象关于直线对称，错误.；
对C，若函数的图象关于直线对称，
则的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；
对D，由得，，
的图象关于（1，1）对称，正确.
故选：ACD.
10．对幂函数，下列结论正确的是（ ）
A．的定义域是B．的值域是
C．的图象只在第一象限D．在上递减
【答案】BCD
【分析】根据幂函数的图象和性质，可判断答案.
【详解】对幂函数，的定义域是，因此A不正确
的值域是，B正确
的图象只在第一象限，C正确
在上递减，D正确
故选: ．
11．符号表示不超过的最大整数，若定义函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上不具有单调性
C．函数的值域为
D．方程存在无数个实数根
【答案】BD
【分析】首先读懂高斯取整函数的定义，然后尝试作出的图像，从图像上代入判定各选项是否正确.
【详解】,
故，故A错误，
函数的定义域为,又，
函数是周期为1的函数,当时,,则作出其图像如图所示，故函数在定义域上不具有单调性，故B正确，
由图得其值域为，故C错误，
令，根据其为周期为1的函数，可得到两函数有无数个交点，故方程存在无数个实数根，故D正确，
故选：BD.
【点睛】本题实质上高斯取整函数的应用，由于其在具有广泛的运用，所以备受命题人青睐，本题结合高斯函数构建了一个具有周期性的函数，关键是要作出此函数的图像，那么一一代入选项即可判断.
12．对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为，，则下列说法正确的为（ ）
A．，B．，
C．的值域为D．的值域为
【答案】AC
【分析】根据指数型函数恒过定点的性质判断A，B选项，再根据指数函数与二次函数复合的性质求置于盘判断C，D选项.
【详解】解：令得，即函数图象必过定点，所以，，故正确；
，，解得
，令，所以，，
所以的值域.故正确，
故选：.
三、填空题
13．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______．
【答案】1
【分析】首先解出不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解；
【详解】解：由，得或，
因为的必要不充分条件是“或”，
所以，解得，所以实数a的最大值为1；
故答案为：
14．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则____.
【答案】1
【分析】首先根据条件判断函数的周期，再求函数值.
【详解】根据题意，奇函数定义域为，则，且
又由为偶函数，即的图像关于直线对称，则有，
综合可得，则有，
故函数是周期为4的周期函数，
故，
（1）（-1），
故，
故答案为：1.
15．函数是奇函数，当时，，且，则______．
【答案】8
【解析】根据函数为奇函数可得，代入当时的解析式即可求解.
【详解】根据题意，函数是奇函数，且，
则，
又由当时，，
则，
解可得；
故答案为：8．
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16．设，则，，的大小关系为__________注：用“”将三个数按从小到大的顺序连接
【答案】
【分析】根据指数函数，幂函数单调性比较大小即可解出.
【详解】由题知，
因为在定义域内单调递减，
所以，
因为在定义域内单调递增，
所以，
所以
所以．
故答案为：．
四、解答题
17．已知集合，且.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设条件，条件，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，，由求解；
（2）根据是的充分不必要条件，由是的真子集求解.
【详解】（1）解：，
，
，
；
因为，
，
，
故的取值范围为.
（2）由是的充分不必要条件，得是的真子集，
又,得：，
解得：，
故的取值范围为.
18．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间，上的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法进行求解；
（2）在第一问基础上，分与两种情况进行求解最大值.
【详解】（1）设，则，
因为，
所以，
故，解得：
又
所以，
所以；
（2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为．
当时，，
所以此时函数的最大值为；
当时，，
所以此时函数的最大值为；
综上：．
19．已知函数.
(1)若为奇函数，求实数的值；
(2)试判断在上的单调性，并证明.
【答案】(1)
(2)函数在内是单调增函数，证明见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义得出，即可求得实数的值；
（2）判断函数在内是单调增函数，然后任取、且，作差，通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：根据，，
函数的定义域为，该函数的定义域关于原点对称，
根据为奇函数得，所以，解得.
（2）解：函数在内是单调增函数，证明如下：
任取、且，则，
则，所以，
所以函数在内是单调增函数.
20．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元
【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.
【详解】（1）当时，；
当时，.
所以
（2）当时，.
当时，取得最大值，且最大值为950.
当时，当且仅当时，等号成立.
因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.
21．已知函数（且）.
(1)若，求的单调区间；
(2)已知有最大值，且，，，求a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
【分析】（1）先求出函数的定义域，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则求得答案；
（2）根据题意求出函数的最大值，及的最大值，最后求出答案.
【详解】（1）由得，则的定义域为.
当时，，函数单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减.
故的单调递增区间为.单调递减区间为.
（2），.得.
因为有最大值.所以在上有最大值，则，.
因为，所以.
因为，，，所以.
所以，解得，故a的取值范围为.
22．已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）令，若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）是奇函数，证明见解析；（3）.
【分析】（1）直接建立不等式组，求出定义域；
（2）先判断是奇函数，再用定义法证明；
（3）利用在定义域内为增函数且为奇函数把不等式转化为，直接解出m的范围.
【详解】解：（1）由，解得
∴的定义域为
（2）是奇函数
理由如下：由（1）知定义域关于原点对称
∴是奇函数
（3），
因为为减函数，为增函数，，所以为减函数；
因为为减函数，为增函数，，所以为减函数；
所以在定义域内为减函数且为奇函数.
所以等价于，解得
故m的取值范围为.
【点睛】(1)证明函数的奇偶性通常用定义法；
(2)利用单调性解不等式解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．