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    2022-2023学年安徽省滁州市定远中学高一上学期分班模拟考试数学试题(解析版)1

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    2022-2023学年安徽省滁州市定远中学高一上学期分班模拟考试数学试题(解析版)1

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    这是一份2022-2023学年安徽省滁州市定远中学高一上学期分班模拟考试数学试题(解析版)1,共18页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容,欢迎下载使用。
    数学试题
    考试范围:集合和常用逻辑用语,函数与导数,三角函数与解三角形,等式与不等式;考试时间:100分钟;命题人:董天宇
    注意事项:
    1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
    2.请将答案正确填写在答题卡上
    一、单选题
    1. 已知集合,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据一元二次不等式的求解可化简,根据集合的交运算即可求解.
    【详解】,则.
    故选:A
    2. 下列命题错误的是()
    A. ,
    B. 命题“”的否定是“”
    C. 设,则“且”是“”的必要不充分条件
    D. 设,则“”是“”的必要不充分条件
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据题意,对四个选项一一进行分析,举出例子当时,,即可判断A选项;根据特称命题的否定为全称命题,可判断B选项;根据充分条件和必要条件的定义,即可判断CD选项.
    【详解】解:对于A,当时,,,故A正确;
    对于B,根据特称命题的否定为全称命题,
    得“”的否定是“”,故B正确;
    对于C,当且时,成立;
    当时,却不一定有且,如,
    因此“且”是“”的充分不必要条件,故C错误;
    对于D,因为当时,有可能等于0,当时,必有,
    所以“”是“”的必要不充分条件,故D正确.
    故选:C.
    3. 下列说法正确的是()
    A. 与角终边相同的角的集合可以表示为
    B. 若为第一象限角,则仍为第一象限角
    C. 函数是偶函数,则的一个可能值为
    D. 点是函数的一个对称中心
    【答案】D
    【解析】
    【分析】A写出其终边相同的角的集合判断;B由且,进而确定的范围,即可判断;C由三角函数的性质可得且,即可判断;D将点代入判断是否为对称中心即可.
    【详解】A:,则与其终边相同的角为,错误;
    B:由且,则且,故为第一或三象限角,错误;
    C:由已知且,则且,的不可能为,错误;
    D:,故是一个对称中心,正确.
    故选:D
    4. 函数,,的大致图象()
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】先将函数解析式化简,根据奇偶性的概念,判定的奇偶性,排除A,B;再由特殊值验证,即可得出结果.
    【详解】因为,
    所以,所以为奇函数,图像关于原点对称,排除A,B;
    又,,
    则,即,排除D,
    故选:C.
    【点睛】本题主要考查函数图像的识别,属于常考题型.
    5. 设,,,其中为自然对数的底数,则a,b,c的大小关系是()
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据指数函数与对数函数的性质,求得的取值范围,即可求解.
    【详解】由指数函数的性质,可得,且,
    由对数函数的性质,可得,所以,
    所以.
    故选:C.
    6. 若,则不等式的解集是
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【详解】分析:先根据a的范围确定a与的大小关系,然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集.
    详解:∵0<a<1,
    ∴a<,
    而是开口向上的二次函数,大于零的解集在两根之外
    ∴的解集为{x|}
    故选C.
    点睛:(1)解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集.
    (2)解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即判别式的符号进行分类,最后当根存在时,再根据根的大小进行分类.
    7. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足,,则b+c的取值范围是()
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由余弦定理与基本不等式求出,再由三角形三边关系得到,从而求出b+c的取值范围.
    【详解】依题意得b2+c2-bc=3,即,
    解得:,,当且仅当时取等号,
    又,因此b+c的取值范围是.
    故选:B
    8. 若函数是奇函数,则使得成立的的取值范围是
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【详解】的定义域为,它应该关于原点对称,所以,又时,,,为奇函数.又原不等式可以化为,所以,所以,选C.
    点睛:如果一个函数为奇函数或偶函数,那么它的定义域必须关于原点对称,我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.
    二、多选题
    9. 把函数的图像向左平移个单位长度,再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图像,下列关于函数的说法正确的是()
    A. 最小正周期为B. 单调递增区间
    C. 图像的一个对移中心为D. 图像的一条对称轴为直线
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】由函数图像变换得到解析式即可判断A;利用整体代换法求出函数单调增区间即可判断B;
    分别求出和的值即可判断C和D.
    【详解】函数的图像先向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),
    得到的图像,则其最小正周期为,A正确;
    令解得增区间是,B正确;
    当时函数的值为,故C错误;
    当时,函数的值为,
    故图像的一条对称轴为直线,D正确.
    故选:ABD.
    10. 设,则下列不等式中一定成立的是()
    A. B.
    C. D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.
    【详解】A选项:,当且仅当时,等号成立,故A正确;
    B选项:,所以,当且仅当时,等号成立,故B错;
    C选项:,当且仅当时,等号成立,故C正确;
    D选项:,当且仅当,即,时,等号成立,故D正确.
    故选:ACD.
    11. 已知函数,则()
    A. 曲线在点处的切线方程为
    B. 曲线的极小值为
    C当时,仅有一个整数解
    D. 当时,仅有一个整数解
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】对于A,利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解;
    对于B,利用函数极值的定义及导数法求函数极值的步骤即可求解;
    对于C,D,根据 B选项结论,画出函数图象,利用函数仅有一个整数解,只需要的图象在的图象的下方的横坐标为整数且只有一个即可求解.
    【详解】对于A,,所以曲线在点处的斜率为,所以曲线在点处的切线方程为即,故A正确;
    对于B, ,
    令,则,解得,
    当时,,
    当时,,
    所以在上单调递增,在上单调递减.
    当时,取得极小值为,故B不正确;
    对于C,D,由B选项知,在上单调递增,在上单调递减. 当时,取得极小值为,如图所示
    由题意可知,直线恒过,
    所以,,
    要使仅有一个整数解,只要是的图象在的图象的下方的横坐标为整数且只有一个,
    当,即时,仅有一个整数解,故C正确,
    当时,当时,,当时,,
    当时,,无整数解,D不正确.
    故选:AC.
    【点睛】解决此题的关键,对于A,利用导数的几何意义即可,对于B,利用导数法求函数极值的步骤即可,对于C,D, 画出函数图象,要使仅有一个整数解,只要是的图象在的图象的下方的横坐标为整数且只有一个,即即可.
    12. 若,则()
    A. B.
    C. D.
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】分别构造、、,利用导数研究它们在上的单调性比较大小即可,应用特殊值法判断D.
    【详解】A:令且,则,仅当时等号成立,故导函数恒大于0,
    故在定义域上递增,则,即,
    所以,错误;
    B:令且,则,
    故在定义域上递增,则,即,
    所以,则,即,正确;
    C:令且,则,
    故在定义域上递增,则,即,
    所以,则,正确;
    D:当时,,错误.
    故选:BC
    【点睛】关键点点睛:根据不等式构造函数,应用导数研究单调性,进而比较大小关系.
    三、填空题
    13. 若且,则函数的图象恒过的定点的坐标为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】令,得,计算,得到答案.
    【详解】令,得,∴,
    ∴函数的图象恒过定点.
    故答案为:.
    14. 圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是_______.
    【答案】
    【解析】
    【详解】试题分析:设圆的半径为,其外切正三角形的边长为,则,又弧长为,所以圆心角为.
    考点:1.弧度制的定义及应用;2.三角形内切圆性质.
    15. 已知定义在上的奇函数,当时,,则的值为_________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据定义域的对称性,求得,再结合函数的奇偶性和题设条件,得到,即可求解.
    【详解】解:由题意,定义在上的奇函数,
    可得,解得,
    又由当时,,
    所以,
    故答案为:.
    16. 函数满足对任意都成立,其值域是,已知对任何满足上述条件的都有,则的取值范围为___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由题可得,然后可得当时不合题意,进而即得;或等价于恒成立,即恒成立,进而即得.
    【详解】法一:令,解得(负值舍去),
    当时,,
    当时,,
    且当时,总存,使得,
    故,
    若,易得,
    所以,
    即实数的取值范围为;
    法二:原命题等价于任意,
    所以恒成立,
    即恒成立,又,
    所以,
    即实数的取值范围为.
    故答案为:.
    【点睛】数学中的新定义题目解题策略:①仔细阅读,理解新定义的内涵;②根据新定义,对对应知识进行再迁移.
    四、解答题
    17. 设集合,,或.
    (1)若,求实数m的取值范围;
    (2)若中只有一个整数,求实数m的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据集合交集的性质,可得两集合之间的关系,分类讨论是否为空集,列出不等式,可得答案;
    (2)由题意,明确交集中的唯一的整数,结合这个整数,列出不等式,可得答案.
    【小问1详解】
    因为,所以.
    ①当时,由,得,解得;
    ②当,即时,成立.
    综上,实数m的取值范围是.
    【小问2详解】
    因为中只有一个整数,所以,且,解得,
    所以实数m的取值范围是.
    18. 某汽车公司购买了辆大客车,每辆万元,用于长途客运,预计每辆车每年收入约万元,每辆车第一年各种费用约为万元,且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
    写出辆车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式.
    这辆车运营多少年,可使年平均运营利润最大?
    【答案】;运营年可使年平均运营利润最大.
    【解析】
    【分析】先分别计算出每辆车年总收入与总支出,从而可求总利润(万元)与运营年数的函数关系式;
    年平均运用利润为,利用基本不等式可求平均运营利润最大值.
    【详解】解:依题意,每辆车年总收入为万元,
    总支出为,
    .
    年平均利润为.
    又,,当且仅当时,等号成立,此时.
    运营年可使年平均运营利润最大,最大利润为万元.
    【点睛】本题以函数为载体,考查函数模型,结合基本不等式的运用,属于基础题.
    19. 已知奇函数 .
    (1)求实数a的值;
    (2)判断函数 f (x)在上的单调性,并利用函数单调性的定义证明;
    (3)当x[2,5],时,ln(1+x)>m+ln(x-1) 恒成立,求实数m的取值范围.
    【答案】(1) a=1; (2) f(x)在(1,+∞)上为减函数;(3)
    【解析】
    【分析】(1)利用函数的奇偶性的定义,推出结果即可;
    (2)利用函数的单调性的定义证明即可;
    (3)推出m的表达式,利用函数的单调性求解函数的最值,推出结果即可.
    【详解】解:
    (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
    即ln=-ln.
    ∴=,即(a2-1)x2=0,得a=±1,
    经检验a=-1时不符合题意,∴a=1.
    (2)f(x)=ln,f(x)在(1,+∞)上为减函数.
    下面证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,
    f(x1)-f(x2)=ln-ln=ln(·)=ln
    ∵x1<x2,∴x2-x1>0,>1,
    ∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),
    ∴f(x)为(1,+∞)上的减函数.
    (3)由已知得m<ln(1+x)-ln(x-1),即m<ln.
    由(2)知f(x)=ln在[2,5]上为减函数.
    则当x=5时,(ln)min=
    于是..
    【点睛】本题考查函数恒成立函数的奇偶性以及函数的单调性的应用,考查转化思想以及计算能力.
    20. 已知函数f(x)=x|x-a|+bx.
    (1)若a=2,且f(x)是R上的增函数,求实数b的取值范围;
    (2)当b=0时,若关于x的方程f(x)=x+1有三个实根,求a的取值范围.
    【答案】(1)b≥2(2)a>3或者a<-1
    【解析】
    【分析】(1)写出解析式,利用单调性求解;
    (2)将关于x的方程f(x)=x+1的实根个数问题转化为的图像的交点个数问题,再由图象得出结论.
    【详解】解:(1)当a=2,f(x)=x|x-2|+bx=,f(x)是R上的增函数,
    则,,故b≥2.
    (2)b=0,f(x)=x|x-a|=x+1,若x=0显然不成立,
    上式可变为|x-a|=1+,由|x-a|≥0,则1+≥0得,
    分别作出图像,
    则关于x的方程f(x)=x+1有三个实根等价于的图像有三个交点,
    又函数的图像如图所示:
    根据图象可知,当的图像有三个交点时,a>3或者a<-1,
    故a的取值范围为a>3或者a<-1.
    【点睛】考查了分段函数的单调性问题及函数零点问题,重点考查了数形结合的数学思想方法,中档题.
    21. 已知奇函数的定义域为,且当时,.
    (1)求解析式;
    (2)已知,存在,使得,试判断,的大小关系并证明.
    【答案】(1);(2)当时,;当时,证明见解析.
    【解析】
    【分析】(1)令得,利用时和奇函数的性质即可.
    (2)结合函数零点存在性定理和函数的奇偶性,计算即可得出结果.
    【详解】(1)令,则,因为为奇函数,
    所以,
    所以.
    (2)当时,,易知在上单调递增,
    因为,
    所以在上存在唯一零点,
    因为为奇函数,所以在上存在唯一零点,
    所以有两个零点,
    易知在上单调递增,
    因为,
    所以在上存在唯一零点,且,
    因为,所以,即,即,
    所以也是的一个零点,
    所以当时,;当时.
    22. 已知函数是偶函数.
    (I)证明:对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点;
    (II)若方程有且只有一个解,求实数的取值范围.
    【答案】(I)证明见解析;(II).
    【解析】
    【分析】(I)先利用偶函数的定义结合对数的运算性质求出的值,然后利用定义法证明函数在上单调递增,即可证明出所证结论;
    (II)由,得出,令,将问题转化为关于的方程有且只有一个正根,然后分三种情况讨论:①;②,;③,方程有一个正根一个负根.分析这三种情况,可求出实数的取值范围.
    【详解】(I)由函数是偶函数可得:,,
    ,即对一切恒成立,.
    由题意可知,只要证明函数在定义域上为单调函数即可.
    任取、且,则,
    ,,,即,.
    函数在上为单调增函数.
    对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点;
    (II)若方程有且只有一解,
    也就是方程有且只有一个实根.
    令,问题转化为方程:有且只有一个正根.
    (1)若,则,不合题意;
    (2)若时,由或,当时,不合题意;当时,;
    (3)若时,,若方程一个正根与一个负根时,则.
    综上:实数的取值范围是.
    【点睛】关键点睛:利用函数的奇偶性求参数、函数的零点问题,涉及函数的单调性以及二次函数的零点问题,解题时要注意将这些知识点进行等价转化处理,属于中等题.

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