2022-2023学年北京市朝阳区高一上学期数学期末试题（解析版）

2022-2023学年北京市朝阳区高一上学期数学期末试题

一、单选题

1．若，则下列各式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.

【详解】AD选项，，则，但，所以AD选项错误.

B选项，若，则，所以B选项错误.

C选项，若，由于在上递增，所以，所以C选项正确.

故选：C

2．若角满足，则角是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】B

【分析】根据三角函数四个象限符号确定.

【详解】为第二，三象限角或者轴负半轴上的角；

又为第二，四象限角

所以为第二象限角.

故选：B

3．下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.

【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确；

对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确；

对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；

对于D，的值域为，故D不正确.

故选：B.

4．设集合，集合，则A与B的关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.

【详解】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；

由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；

所以.

故选：A

5．声强级（单位：）出公式给出，其中I为声强（单位：）．若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数运算求得正确答案.

【详解】依题意.

故选：C

6．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.

【详解】当，时，，

则当时，有，解得，充分性成立；

当，时，满足，但此时，必要性不成立，

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7．已知函数，有如下四个结论：

①函数在其定义域内单调递减；

②函数的值域为；

③函数的图象是中心对称图形；

④方程有且只有一个实根．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

【答案】D

【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.

【详解】的定义域为，，

所以在上递增，①错误.

由于， ，

所以的值域为.

由于，

所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确.

由得

构造函数，在上单调递增，

，

所以在上存在唯一零点，也即方程有且只有一个实根，④正确.

所以正确结论的序号是③④.

故选：D

8．已知角为第一象限角，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先确定的取值范围，由此求得的取值范围.

【详解】由于角为第一象限角，

所以，

所以，

由于，所以，

所以.

故选：A

9．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（    ）

A．2千克/小时 B．3千克/小时

C．4千克/小时 D．6千克/小时

【答案】C

【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可.

【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，，

令，，则，故当时，最大，此时.

故选：C

10．定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由得，则的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a，b，c，最后根据单调性比较大小.

【详解】由得，∴的周期为2，

又为偶函数，则，，

∵，在上单调递增，∴.

故选：A

二、填空题

11．已知集合，集合，则____________．

【答案】

【分析】根据并集的定义运算即可.

【详解】因为，，

所以，

故答案为：

12．设且，，则的最小值为__________.

【答案】2

【分析】对利用对数运算公式，得到，再由基本不等式以及条件中的，得到答案.

【详解】因为且，

所以且

而，且

所以由基本不等式可得

，

当且仅当，即时，等号成立.

【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.

13．设函数的定义域为I，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是___________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的.

【详解】依题意可知是偶函数，且最大值为，

所以符合题意.

故答案为：（答案不唯一）

14．已知下列五个函数：，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则______________．

【答案】

【分析】观察图象确定函数的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定的解析式.

【详解】由已知， ，

观察图象可得的定义域为，所以或中必有一个函数为，且另一个函数不可能为，又的图象不关于原点对称，所以，所以或，

若，则与函数图象矛盾，

所以，

故答案为：.

15．已知函数，给出以下四个结论：

①存在实数a，函数无最小值；

②对任意实数a，函数都有零点；

③当时，函数在上单调递增；

④对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根．

其中所有正确结论的序号是________________．

【答案】①②④

【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.

【详解】①，当时，，

的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确.

②，由于，

当时，；当时，，

所以对任意实数a，函数都有零点，②正确.

③当时，，

，即函数在上不是单调递增函数，③错误.

④，当时，，

当时，，

画出的图象如下图所示，

由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，④正确.

综上所述，正确结论的序号是①②④.

故答案为：①②④

三、双空题

16．已知角，若，则__________；__________．

【答案】     ##    

【分析】由条件结合诱导公式求，根据特殊角三角函数值求出， 即可.

【详解】因为，所以，故，又，所以，

所以，

故答案为：，.

四、解答题

17．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．

(1)求和的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据二倍角的正弦公式即可求得；

（2）先根据二倍角的余弦公式求出，再根据商数关系求出，再根据两角和的正切公式即可得解.

【详解】（1）解：由题意得，

所以；

（2）解：，

所以，

所以.

18．已知函数．

(1)当时，解不等式；

(2)若命题“，不等式恒成立”是假命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

（2）结合开口方向以及判别式求得的取值范围.

【详解】（1）当时，，即，

，解得

所以不等式的解集为.

（2）当恒成立，

当不为0时，且，

即，

当时,成立，所以

命题“，不等式恒成立”是假命题

所以a的取值范围为：或．

19．已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

(1)求a的值；

(2)求的最小值，以及取得最小值时x的值．

条件①：的最大值为6；

条件②：的零点为．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)若选条件①，则；若选条件②，则

(2)若选条件①，则当时，取得最小值；若选条件②，则当时，取得最小值

【分析】（1）化简的解析式，根据条件①或②求得的值.

（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.

【详解】（1）

.

若选条件①，

则.

若选条件②，

则.

（2）若选条件①，由（1）得，

则当时，取得最小值为.

若选条件②，由（1）得，

则当时，取得最小值为.

20．已知函数．

(1)当时，解不等式；

(2)若函数是偶函数，求m的值；

(3)当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数b的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）即，结合对数、指数函数单调性求解即可；

（2）是偶函数，则，结合对数运算法则化简求值即可

（3）由对数运算得在上单调递增，且值域为，即可由数形结合判断b的取值范围.

【详解】（1）当时，即，即，解得；

（2）函数是偶函数，则，即，即，即，

∵，故；

（3）当时，，.

∵为减函数，故在上单调递增，且值域为

∵函数的图象与直线有公共点，故实数b的取值范围为.

21．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：

①；

②，若，则；

③，若，则．

(1)当时，判断是否为U的子集，说明理由；

(2)当时，若A为U的子集，求证：；

(3)当时，若A为U的子集，求集合A．

【答案】(1)不是U的子集；

(2)证明见解析；

(3)集合.

【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集；

（2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出；

（3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.

【详解】（1）当时，，，，

取，则，但，不满足性质②，

所以不是U的子集.

（2）当时，A为U的子集，

则；

假设，设，即

取，则，但，不满足性质②，

所以，；

假设，

取，，且，则，

再取，，则，

再取，，且，

但与性质①矛盾，

所以.

（3）由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，

所以当时，，

若A为U的子集，，，；

若，取，，则，，

再取，，则，与矛盾，

则，；

若，取，，则，与矛盾，则，；

若，取，，则，与矛盾，则，；

若，取，，则，与矛盾，则，；

取，，则，；

取，，则；

取，，则，；

取，，则；

取，，则，；

综上所述，集合.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.