2022-2023学年福建省福州市连江第一中学高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省福州市连江第一中学高一上学期11月期中考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市连江第一中学高一上学期11月期中考试数学试题 一、单选题1．已知均为实数集的子集，，则（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】由包含关系可确定，由并集定义可得结果.【详解】，，.故选：B.2．下面各组函数中是同一函数的是（    ）A．与B． 与 C．与D．与【答案】C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A．函数的定义域为，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；B．函数的定义域为，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；故选：C．3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（    ）A．若a＜b，则 B．若a＞b＞0，则C．若a＞b，则 D．若，则a＞b【答案】D【分析】举反例说明选项AC错误；作差法说明选项B错误；不等式性质说明选项D正确.【详解】当时，，选项A错误；，所以，所以选项B错误；时，，所以选项C错误；时，，所以选项D正确.故选：D4．已知函数，若，则=（    ）A．0 B．6 C．3 D．3【答案】C【分析】分三种情况讨论，化简，求出值可得答案.【详解】当，则相应方程无解；当，，则；当，则相应方程无解.综上：.故选：C5．已知不等式解集为，若不等式解集为B，则（      ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由不等式解集为可得，从而求出，再利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为不等式解集为，所以，化为，即，解得，，所以，故选：B.6．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（    ）A． B．10 C． D．2【答案】B【分析】由已知，将坐标轴上的点代入函数解析式，列出关系式，解方程即可.【详解】由图知，过点，过点，则，有    解得，所以，故选：B.7．命题p: 在为增函数，命题Q：在单调减函数，则命题P是命题Q（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】计算命题：或；命题：或，得到答案.【详解】 在为增函数，故，解得；在单调减函数，则，解得或故命题P是命题Q充分不必要条件.故选：A8．设偶函数的定义域为，且满足，对于任意都有（） 成立，（1）不等式解集为     （2）不等式解集为  （3）不等式解集为（4）不等式解集为其中成立的是（    ）.A．（1）与（3） B．（1）与（4）C．（2）与（3） D．（2）与 （4）【答案】A【分析】对于（1）（2）令得的单调性，分，两种情况解决.对于（3）（4）构造函数根据判断单调性，由求解即可.【详解】当时，则，在上为增函数，偶函数的定义域为，在上为减函数，当时，则，当时，（1）正确，（2）错误设则，是偶函数，且在上为增函数，不等式，或不等式解集为，（3）正确，（4）错误，故选：A 二、多选题9．下列说法正确的有（   ）A．命题“”的否定是“”B．两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件C．若为上的奇函数， 则为上的偶函数D．若，则，【答案】BC【分析】根据全称命题的否定为特称命题可判断A，根据必要不充分条件的定义可判断B，根据奇偶性的定义可判断C，根据换元法可求解D.【详解】命题“”的否定是“”，故A错误，两个三角形面积相等，不能得到两个三角形全等，但是两个三角形全等，那么他们的面积一定相等，所以两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，故B正确，若为上的奇函数，则，所以故，因此为上的偶函数，故C正确，若，令，所以，故则，，故D错误，故选：BC10．下列说法正确的是（    ）A．若幂函数的图象经过点，则解析式为B．若函数，则在区间上单调递减C．幂函数始终经过点和D．若幂函数图象关于轴对称，则【答案】ACD【分析】设出幂函数解析式，代入点的坐标即可判断A项；根据幂指数与0的关系以及函数的性质，可判断B项；代入即可判断C项；根据已知可求出，根据函数的奇偶性以及单调性，即可判断D项.【详解】对于A项，设幂函数解析式为，代入点，可得，所以，解得，所以解析式为，故A项正确；对于B项，由已知为幂函数，且，所以在区间上单调递减.又，所以为偶函数，根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故B项错误；对于C项，因为，所以，，故C项正确；对于D项，由已知可得，，解得或.又幂函数图象关于轴对称，所以，.所以有，又在区间上单调递增，且，所以，故D项正确.故选：ACD.11．已知正数满足，则下列选项正确的是（    ）A．的最小值是4 B．最小值为1C．的最小值是2 D．的最大值是【答案】CD【分析】A利用“1”代换求最值，B因为，所以，且，代入中化简构造基本不等式验证即可，C先把式子变形，再运用基本不等式，D先构造，再运用基本不等式.【详解】A.因为正数满足，即所以，当且仅当，即时等号成立，故选项A不正确.B. 因为，所以，且，所以，当且仅当或，不满足故取不到最小值，故B选项不正确.C. ，当且仅当时等号成立，故选项C正确.D.因为，所以，则，当且仅当时等号成立，故选项D正确.故选：CD.12．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ）A．若为的跟随区间，则B．函数存在跟随区间C．若函数存在跟随区间，则D．二次函数存在“3倍跟随区间”【答案】ACD【分析】A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解的值；B，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解，的值，结合函数图象进行判断；C，先设跟随区间为，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出，的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围，D，若存在3倍跟随区间，则设定义域为，值域为，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【详解】选项：由已知可得函数在区间,上单调递增，则有 ，解得或1（舍，所以，正确；选项：若存在跟随区间，又因为函数在单调区间上递减，图象如图示， 则区间一定是函数的单调区间，即 或,则有，解得，此时异号，故函数不存在跟随区间，不正确；选项：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间，则有，即，两式作差得：，即，又，所以，得，所以，设，则，即在区间上有两个不相等的实数根，只需：，解得，正确；选项：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为，值域为，当时，函数在定义域上单调递增，则，是方程的两个不相等的实数根，解得或，故存在定义域为使得值域为，正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强. 三、填空题13．已知的定义域为，则的定义域是__________.【答案】【分析】本题考查抽象函数的定义域，中的范围即的取值范围，就可以求得的定义域.【详解】因为的定义域为，所以，则，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：14．已知命题“”为假命题，则取值范围为_________【答案】【分析】根据题意将特称命题转化全称命题，然后分和两种情况求解即可【详解】因为命题“”为假命题,则为真命题,则当时,满足题意,当时,则,则，综上,的取值范围为.故答案为:.15．某种商品原以每件20元的价格销售，可以售出300件，据市场调查，商品的单价每提高2元，销售量就减少10件，若销售总收入不低于6000元，则定价范围是______【答案】【分析】设提价后每件产品的定价为元，则销售总收入为元，根据题意列出不等式即可求解.【详解】设提价后每件产品的定价为元，则销售总收入为元，依题意有，整理得，解得，所以定价范围为.故答案为：.16．设函数，为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是__________【答案】【分析】由可求得，即若，只需；根据奇偶性可求得解析式，分别在、和的情况下，解不等式即可求得结果.【详解】当时，由得：；当时，由得：；则的解集为；当时，，，又为上的奇函数，，又，；当时，由得：；当时，成立；当时，由得：；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：. 四、解答题17．已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)条件选择见解析，. 【分析】(1)取化简，化简A，再根据交集的定义求；(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.【详解】（1）由题意得，．当时，，∴；（2）选择①．∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为．选择②∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为．选择③∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为．18．设 ，，命题，命题.（1）当时，试判断命题是命题的什么条件；（2）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件.【答案】（1）命题是命题的必要不充分条件；（2）.【分析】解分式不等式求得集合；（1）求出集合后，根据可确定结果；（2）分别在、和三种情况下，根据必要不充分条件所要求的集合的包含关系可求得结果.【详解】由得：，即，解得：或，或；，（1）当时，，，，，命题是命题的必要不充分条件.（2）当，即时，，此时，满足条件；当，即时，，此时，满足条件；当，即时，，若命题是命题的必要不充分条件，则，即；综上所述：的取值范围为.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够通过集合的包含关系来确定推出关系.19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象如图所示，(1)请画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调减区间；(2)写出函数，的解析式；(3)若函数，，求函数的最大值的解析式．【答案】(1)作图见解析，单调递减区间是，；(2)f（x）＝(3) 【分析】（1）根据奇函数的图象性质补充图象，观察图象写出函数的单调递减区间；（2）根据奇函数性质先求出时函数的解析式，从而可得的解析式；（3）由（2），结合二次函数在闭区间上最值的求解方法即可得答案.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以在上的图象与其在上的图象关于原点对称，由此可得图象如图所示，单调减区间是，； （2）因为函数f（x）是定义在上的奇函数，所以．因为当时，，所以当时，，， 所以；（3）因为函数，所以，                      ①当时，即         ；②当时，即时，，③当时，即时，，20．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求a，b的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式，.【答案】（1）；（2）在上递增，证明见解析；（3）.【分析】（1）由题意，令，代入求解，再检验是奇函数，即得解；（2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可；（3）利用奇函数原式等价于，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可.【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，所以，，所以检验：，为奇函数满足题意（2）在上递增，证明如下：任取，其中，所以，故在上递增.（3）由可得，因为是定义在上的奇函数，所以，因为是增函数，所以，即，解得：，所以不等式的解集为.21．某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为百元．若氦气日产量不足，日均额外成本为（百元）；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．(1)写出总成本（百元）关于日产量的关系式(2)当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．【答案】(1)(2)当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元 【分析】（1）根据生产天数要求，可确定的取值范围；计算可得日产量不足和大于等于时，氦气的平均成本，由此可得关系式；（2）分别在、的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论.【详解】（1）若每天生产氦气，则需生产天，，则；若氦气日产量不足，则氦气的平均成本为百元；若氦气日产量大于等于，则氦气的平均成本为百元；.（2）当时，（当且仅当，即时取等号），当时，取得最小值；当时，，令，则，，则当，即时，取得最小值；综上所述：当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元.22．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．（1）求函数图象的对称中心；（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.【解析】（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，然后利用得出与，代入上式求解；（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．即，整理得，于是，解得．所以的对称中心为；（2）函数在上为增函数；（3）由已知，值域为值域的子集．由（2）知在上单增，所以的值域为．于是原问题转化为在上的值域．①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．因为，所以，解得．②当，即时，在单减，单增，又过对称中心，所以在单增，单减；此时．欲使，只需且解不等式得，又，此时．③当，即时，在单减，在上亦单减，由对称性，知在上单减，于是．因为，所以,解得．综上，实数的取值范围为．【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数的单调性及最值是关键．